Shamir的 ( k , n ) 门限秘密分享方案的基本思想是：首先，要把秘密S分割成 n 份影子信息；其次，分别将 n 份影子信息分发给 n 个参与者进行保管；最后，任意 k ( k ≤ n ) 份影子信息联合起来才能恢复出S。

基于拉格朗日插值多项式算法的秘密分享方案 [ 6 ] 描述如下。令 k − 1 次的拉格朗日多项式为：

f ( x ) = m 0 + m 1 x + m 2 x 2 + ⋯ + m k − 1 x k − 1 ， (1)

其中，k为整数且 k ≤ n ，系数 m 1 , m 2 , ⋯ , m k − 1 可根据情况任意选取 [ 7 ] 。

令水印图像为秘密S，则基于拉格朗日插值多项式算法的秘密分享方案可描述为：将一幅水印图像分解成n幅影子图像，任何一幅影子图像均无法独自恢复出水印图像，只有把其中的任意 k ( k ≤ n ) 份影子联合起来才能恢复出水印图像。

Ni等人提出了一种基于直方图平移的可逆水印算法 [ 8 ] ，其算法思想为：首先，绘出图像的灰度直方图，并找出其中的最大值点a和最小值点b，为方便讨论，不妨设 a < b ；其次，将图像中所有在 [ a + 1 , b − 1 ] 的灰度值加1，即将 [ a + 1 , b − 1 ] 的直方图向右平移一位，从而像素值为 a + 1 的像素点的个数变为0；再次，在嵌入水印时，若水印值为1，则像素值为a的灰度值加1，即为 a + 1 ；若水印值为0，则保持 a 的像素值不变；最后，提取水印信息时，顺序扫描图像，若像素灰度值为a，则提取的水印信息为0；若像素灰度值为 a + 1 ，则提取的水印信息为1 [ 9 ] 。若想恢复出原始宿主图像，只需把灰度值处在区间 [ a + 1 , b ] 的灰度值减1即可。

设水印图像为 W ，根据基于拉格朗日插值多项式算法的秘密分享方案，生成n幅影子图像步骤如下：

步骤1：令公式(1)中的 m 0 = w i j ，其中 w i j ∈ W ；

步骤2：随机选取 m 1 , m 2 , ⋯ , m k − 1 的值作为公式(1)的系数；

步骤3：选择 W 上 n 个不同的非零值 x 1 , x 2 , ⋯ , x n ，且将此 n 个值公开，分别计算 w i j 1 = f ( x 1 ) , w i j 2 = f ( x 2 ) , ⋯ , w i j n = f ( x n ) ；

步骤4：对 W 中的所有像素进行步骤1~步骤3的操作，即可得到n幅影子图像，即 W 1 = { w i j 1 } , W 2 = { w i j 2 } , ⋯ , W n = { w i j n } 。

设 k ( k ≤ n ) 幅载体图像为 I 1 , I 2 , ⋯ , I k ，从 n 幅影子图像中任选 k 幅即 W 1 , W 2 , ⋯ , W k 作为水印信息，分别嵌入到 k 幅载体图像中。根据秘密分享方案， k 幅影子图像可以恢复出原水印图像。提出的多图像水印算法嵌入影子图像的详细步骤如下：

步骤1：绘制 I 1 的直方图，找出其中的最大值点a，并在最大值点右侧寻找最小值点b [ 10 ] ；

步骤2：直方图平移。在像素值为 [ a , b ] 内的像素点上嵌入影子信息，先顺序扫描图像，当扫描到的像素值为 [ a + 1 , b − 1 ] 内的值时，将其值加上1，其他的像素值不变；

步骤3：嵌入影子。扫描载体图像，当扫描到的像素值为a时，在该像素点嵌入1位影子信息 w i j 1 ∈ W 1 且 w i j 1 ∈ { 0 , 1 } 。嵌入规则为：若嵌入的水印影子信息为0，则该点像素值不变；若嵌入的影子信息为1，则该点的像素值加1；

步骤4：类似地，将影子图像 W 2 , W 3 , ⋯ , W k 分别嵌入到 I 2 , I 3 , ⋯ , I k ，最终可得含水印图像为 I 1 W , I 2 W , ⋯ , I k W 。

步骤1：提取影子图像。对含水印图像 I 1 W 的像素值进行顺序扫描，若扫描到的像素值为a，则恢复的影子信息为“0”；若扫描到的像素值为 a + 1 ，则恢复的影子信息为“1”，从而恢复出影子图像 W 1 。类似地，可提取出含水印图像 I 2 W , I 3 W , ⋯ , I k W 中的 k − 1 幅影子图像 W 2 , W 3 , ⋯ , W k ；

步骤2：将k组不同的值 ( x 1 , w i j 1 ) , ( x 2 , w i j 2 ) , ⋯ , ( x k , w i j k ) 分别代入公式(1)可得如下方程组，其中， w i j 1 ∈ W 1 , w i j 2 ∈ W 2 , ⋯ , w i j k ∈ W k ，为影子图像 ( i , j ) 位置的像素值，

w i j 1 ( x 1 ) = m 0 + m 1 x 1 + m 2 x 1 2 + ⋯ + m k − 1 x 1 k − 1 mod 255 w i j 2 ( x 2 ) = m 0 + m 1 x 2 + m 2 x 2 2 + ⋯ + m k − 1 x 2 k − 1 mod 255                                                                                                                                                                                                                                       ⋮                     w i j p ( x k ) = m 0 + m 1 x k + m 2 x k 2 + ⋯ + m k − 1 x k k − 1 mod 255 ； (2)

步骤3：通过求解方程组式(2)的解就能得到所需要的 m 0 , m 1 , m 2 , ⋯ , m k − 1 的值，其中 m 0 就是要恢复水印图像的像素值，将其存储在需要恢复水印图像的相应位置。类似地，对每个像素进行处理，最后能恢复出水印图像 [ 11 ] [ 12 ] ；

步骤4：恢复载体图像。再次顺序扫描图像，将扫描到的 [ a + 1 , b ] 内的像素值减去1，即可恢复载体图像。

透明性是指数字水印的嵌入不能影响图像的正常使用，不会引起人类视觉系统的察觉。透明性可通过人眼进行主观评价或利用峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio，简称PSNR)进行客观评价。PSNR定义为：

PSNR = 10 lg 255 2 1 m × n ∑ i = 0 m − 1 ∑ j = 0 n − 1 ( X ( i , j ) − X W ( i , j ) ) 2 (3)

其中， X ( i , j ) 为原始图像的像素值， X W ( i , j ) 为含水印图像的像素值。PSNR值越小，则表示图像质量下降越多，透明性越差。反之，其值越大，透明性越好。

实验测得，图3所示的含水印图像对应的PSNR平均值30.86。虽然该数值偏小些，但是基于直方图平移的图像水印算法是一种可逆水印技术，可无损地恢复出原始载体图像。

鲁棒性是指含水印图像在经过常规信号处理操作后仍能检测水印的能力。针对图像的常规操作包括空间滤波、JPEG压缩、剪切攻击、打印与复印、几何变形和噪声攻击等。鲁棒性评价一般由归一化相关系数(Normalized Correlation，简称NC)来衡量。NC的定义为：

NC = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n W ( i , j ) W ′ ( i , j ) ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n W 2 ( i , j ) (4)

其中， W 表示原始水印图像， W ′ 为提取的水印图像。NC越接近于1，则表明提取的水印就越接近于原始水印，水印算法的鲁棒性越健壮。

在无噪声的情况下，计算图4和图1对应的NC的值为1，即提取的水印图像与原始水印图像完全相同。同时，通过对图像的JPEG压缩、裁剪攻击和高斯噪声攻击等测试，表明了新算法具有良好的鲁棒性。

安全性是指水印算法能够抵抗各种破坏水印行为的能力，即未授权者不能去除、嵌入和检测水印。同时，水印信息应该很难被他人复制和伪造。

新算法利用了秘密分享的方案，将一幅水印图像分解成n幅影子图像。在提取水印时，必须由p份影子图像联合起来才能提取出水印图像，从而提高了图像水印算法的安全性。

嵌入容量是指采用水印算法能嵌入水印信息的多少。人们期望水印算法具有较大的嵌入容量。新算法将p幅影子图像分别嵌入到p幅载体图像中，从而扩大了水印算法的嵌入容量。同时，用户也可根据实际应用需要，通过调整载体图像的幅数，来控制嵌入容量的大小。

算法的时间复杂度是衡量算法执行效率的重要依据，通常用函数 T ( n ) 来表示。

在生成影子图像时，须构造一个 k − 1 次拉格朗日多项式，如公式(1)所示。其时间复杂度 T ( n ) = O ( n k − 1 ) 。在提取水印图像时，须构造拉格朗日方程组，如公式(2)所示。其时间复杂度为 T ( n ) = O ( n k − 1 ) 。

同时，在影子图像嵌入过程中，主要包括像素比较、像素扫描和像素平移三个操作，其复杂度分析为：1) 需要 ( n − 1 ) 次像素比较来确定峰值点和零值点，其中n为灰度级数；2) 令图像大小size，则需要

进行size次像素扫描；3) ∑ i ∈ ( peak _ point , zero _ point ) h ( i ) 次像素平移和一半数量峰值点向零点变化的加法操作 1 2 h ( peak _ point ) 。其中， h ( i ) 为直方图函数， peak _ point 为峰值点， zero _ point 为零点。因此，嵌入水印算法的复杂度为：

T ( n ) = O ( ( n − 1 ) + size + ∑ i ∈ U ( peak _ point , zero _ point ) h ( i ) + 1 2 h ( peak _ point ) ) (5)

对于实际图像，由于size远大于n，故嵌入操作的时间复杂度近似为 T ( n ) = O ( size ) [ 14 ] 。

实验测得，将1幅影子图像嵌入到1幅载体图像中平均耗时为0.36秒。说明新算法是高效的。