主要以贵州省的贵州大学，贵州民族大学，贵州师范大学，贵州医科大学，贵州中医学院和遵义医学院的学术型硕士研究生为研究对象。把二本及其以上录取人数与总录取人数比、应届生和往届生比、本科学历录取人数与总录取人数比、省内录取人数和省外人数录取人数比这些因素作为生源结构的二级指标。把各个高校的学术讲座和学科竞赛人均次数、实践课的开设人均次数、实践项目和基地人均数这些因素作为培养环节的二级指标。把学校生师比、导师职称比(正高与导师人数比)、学位比(博士学位与导师人数比)、导师发表高质量论文数比(核心及其以上)、导师承担课题数比(省部级及其以上)作为师资结构的二级指标。把学校每年投入的研究生奖学金额、研究生激励机制(研究生课题研究费等)、助学岗位津贴额作为资金投入的二级指标。把图书馆生均图书册作为硬件设施投入的指标。根据二级指标的数据，利用层次分析法分别得出一级指标——生源结构、培养环节、师资结构、生均资金投入、硬件设施生均投入的数量指标。这些数量指标作为DEA模型的输入指标。通过同样的方法确定研究生发表论文数(核心及其以上)生均比、生均省级优秀论文比和一次性初次就业率的数量指标。这些数量指标作为DEA模型的输出指标。

通过实证调查以及根据互联网，贵州省学位与研究教育信息平台中每年每所高校提交的年度研究生质量报告中提供的数据，对2014、2015、2016年的数据取平均值作为指标值，得到贵州大学，贵州民族大学，贵州师范大学，贵州医科大学，贵州中医学院和遵义医学院六所高校的6个决策单元的五个输入指标值(见表1)以及三个输出指标值(见表2)。

表1. 输入指标值

表2. 输出指标值

分别用 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 ， x 5 以及 x 6 代表贵州大学，贵州民族大学，贵州师范大学，贵州医科大学，贵州中医学院和遵义医学院六个决策单元， x j = ( x 1 j , x 2 j , x 3 j , x 4 j , x 5 j ) T ，其中 j = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ， x i j 为第j个决策单元的第i个输入指标， y j = ( y 1 j , y 2 j , y 3 j ) T ，其中 j = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ， y r j 为第j个决策单元的第r个输出指标，上标 ( ⋯ ) T 为列向量。权系数 λ = ( λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4 , λ 5 ) T 和 μ = ( μ 1 , μ 2 , μ 3 ) T 为实数向量。决策单元j的效率评价指数为

h j = ∑ r = 1 3 μ r y r j ∑ i = 1 5 λ i x i j .

当对第 j 0 个决策单元的效率进行评价时，以权系数 λ , μ 为变量，以第 j 0 个决策单元的效率指数为目标，以所有决策单元的效率指数 h j < _ _ 1 为约束条件，构成如下的C²R模型：

( C 2 R ) { max Z = h j 0 , s .t .   h j < _ _ 1 ,     λ ≥ 0 , μ ≥ 0 , (1)

其中“ < _ _ ”表示向量的每个分量都小于或等于，“ ≤ ”表示每个分量都小于或等于并且至少有一个分量不等于，“<”表示每个分量都小于并且不等于。

定理3.1 [ 20 ] 决策单元的最优效率评价指数Z与输入量 x i j 以及输出量 y r j 的量纲选取无关。

对模型(1)使用Charnes-Cooper变换：

m = 1 λ T x j 0 ,   α = m λ ,   β = m μ ,

简单计算可以将其化为如下等价的线性规划模型：

( LP ) { max W = β T y j 0 , s .t .   α T x j − β T y j ≥ 0 ,     α T x j 0 = 1 ,     α ≥ 0 , β ≥ 0 , (2)

定理3.2 [ 20 ] DEA-C²R模型(1)与线性规划LP模型(2)的最优解在下述意义下是等价的：

1) 若 α 0 , β 0 为线性规划LP(2)的最优解，那么 α 0 , β 0 也是DEA-C²R模型(1)的最优解，并且最优值相等；

2) 若 λ 0 , μ 0 为DEA-C²R模型(1)的最优解，那么

α 0 = m 0 λ 0 ,   β 0 = m 0 μ 0

为线性规划LP模型(2)的最优解，并且最优值相等，其中

m 0 = 1 λ 0 T x j 0 .

定义3.3 [ 20 ] 若线性规划LP模型(2)的最优解 α 0 , β 0 满足

W = β 0 T y j 0 = 1 ,

那么称决策单元 j 0 为弱DEA有效。

定义3.4 [ 20 ] 若线性规划LP模型(2)的最优解中存在 α 0 > 0 , β 0 > 0 满足

W = β 0 T y j 0 = 1 ,

那么称决策单元 j 0 为DEA有效。

根据表1和表2的数据以及线性规划模型LP，决策单元1对应的线性规划LP为：

{ max   W = 0.09 β 1 + 0.005 β 2 + 0.73 β 3 , s .t .   0.53 α 1 + 0.02 α 2 + 0.54 α 3 + 0.07 α 4 + 92.8 α 5 − 0.09 β 1 − 0.005 β 2 − 0.73 β 3 ≥ 0 ,     0.51 α 1 + 0.08 α 2 + 0.29 α 3 + 0.09 α 4 + 173.7 α 5 − 0.051 β 1 − 0.003 β 2 − 0.81 β 3 ≥ 0 ,     0.60 α 1 + 0.06 α 2 + 0.35 α 3 + 0.13 α 4 + 174.4 α 5 − 0.14 β 1 − 0.014 β 2 − 0.60 β 3 ≥ 0 ,     0.61 α 1 + 0.05 α 2 + 0.65 α 3 + 0.13 α 4 + 119.8 α 5 − 0.19 β 1 − 0.01 β 2 − 0.76 β 3 ≥ 0 ,     0.64 α 1 + 0.06 α 2 + 0.49 α 3 + 0.10 α 4 + 162 α 5 − 0.13 β 1 − 0.04 β 2 − 0.74 β 3 ≥ 0 ,     0.12 α 1 + 0.11 α 2 + 0.61 α 3 + 0.12 α 4 + 128.2 α 5 − 0.25 β 1 − 0.024 β 2 − 0.76 β 3 ≥ 0 ,     0.53 α 1 + 0.02 α 2 + 0.54 α 3 + 0.07 α 4 + 92.8 α 5 = 1     α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 , β 1 , β 2 , β 3 ≥ 0 (3)

利用Excel对线性规划模型LP(3)进行求解得最优解为

α 1 0 = ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0.10 ) T , β 1 0 = ( 0 , 0 , 1.37 ) T (4)

以及最优值为 Z 1 0 = 1 。改变模型(3)中目标函数的系数和第七个约束条件的系数，可以分别得到决策单元2，3，4，5，6对应的线性规划模型，同样用Excel求解，可以得到决策单元2对应模型的最优解为

α 2 0 = ( 0 , 0 , 0 , 0.95 , 0.004 ) T , β 2 0 = ( 0 , 0 , 1.23 ) T (5)

以及最优值为 Z 2 0 = 1 。决策单元3对应模型的最优解为

α 3 0 = ( 0 , 0 , 0 , 2.23 , 0.001 ) T , β 3 0 = ( 3.51 , 0 , 0.85 ) T (6)

以及最优值为 Z 3 0 = 1 。决策单元4对应模型的最优解为

α 4 0 = ( 0 , 1.1 , 0 , 0 , 0.007 ) T , β 4 0 = ( 2.24 , 0 , 0.76 ) T (7)

以及最优值为 Z 4 0 = 1 。决策单元5对应模型的最优解为

α 5 0 = ( 0 , 2.8 , 1.2 , 0 , 0.001 ) T , β 5 0 = ( 2.07 , 1.8 , 0.89 ) T (8)

以及最优值为 Z 5 0 = 1 。决策单元6对应模型的最优解为

α 6 0 = ( 0.53 , 0 , 0 , 0 , 0.007 ) T , β 6 0 = ( 0 , 0 , 1.32 ) T (9)

以及最优值为 Z 6 0 = 1 。