在微积分的教学过程中，要解决的主要问题是如何把抽象的数学理论运用浅显易懂的语言去讲述，让学生在不知不觉中理解数学的真谛，得到数学的熏陶，学会数学的思考方法，达到能够运用数学来解决不同学科和领域中实际问题的目的 [ 4 ] 。通常，我们把数学语言分为三种：自然语言、符号语言和图像语言。其中，图像语言是数学最直观的语言，在教学中如果完全按照课本上的描述去讲解微积分的那些概念、定理只能使学生的大脑中储存一些干巴巴的条文，缺乏活灵活现的具体形象，会令学生丧失对数学的兴趣，更糟糕的是基本知识都掌握不好。比如极限是微积分最难理解的概念之一，可它又是大学新生学习微积分时最先和必须要理解的，如果直接用ε大Ν(ε-δ)符号语言讲授极限、导数和积分等概念，会使学生坠入云里雾里，不知所云。这时可从生活中的实例如我国战国时代的名家公孙龙等提出的“截丈问题”及魏晋时期的数学家刘徽的“割圆术”讲起，通过用图形动画的演示便于学生通过直观思维的方式对极限先有一个直感(极限是研究变量变化趋势的)，再穿插介绍微积分的发展历史，告诉同学那些大数学家们也是在微积分创立后，争论了二百多年才建立的极限理论，进而树立他们学习的自信心，同时，我们可以利用数轴给出极限的几何意义从而使它的抽象程度降低，在讲解时只要抓住关键点ε的任意性及大Ν(δ)的存在性，这样一来，同学们接受这个概念就容易多了。

夸美纽斯十分重视通过感官发展悟性，主张知识要经过理解再去记忆，而理解的根本条件就是借助实际。可以说，任何抽象的数学概念、公式甚至数学思想和方法在现实中都能发现其具体的实例，在教学过程中，充分利用学生头脑中已有的东西，通过直观的叙述，能收到事半功倍的效果。

我们知道多元函数的可积性理论与一元函数没有太大的本质区别，因此重积分的重点在于计算，而计算的重点又在于如何根据给定的具体问题将多重积分化为累次积分，以使计算简捷。实际中重积分化为累次积分的方法有投影法和截面法，为使学生更直观的理解它们的区别，我在教学中经常会从生活中最简单最常见的事情作为素材讲授，比如以一个胡萝卜为例，现计算它的质量(比重已知)。用投影法来计算即是先把胡萝卜立起来切成一条一条的，计算每条胡萝卜的质量 ，再把所有的M_i加起来，即是整个胡萝卜的质量；而对截面法来讲是把胡萝卜先切成一片一片，首先计算每片的质量 ，再把所有M_i相加。实践表明，用生活中常见的实例做类比，不但使学生懂得了这两种重积分的计算方法的区别和联系，也让学生对积分的实质有了更加直观的认识，同时使他们对相关知识的掌握也更加牢固。

微积分的很多概念都可以用这种方法来讲授，比如在讲授梯度时，我们可以把梯度的概念与登山运动员爬山联系起来，在不考虑体力及外部环境等客观因素的情况下，运动员怎样才能最快到达山顶，可使学生更能体会到梯度的应用，从而增强他们学习的兴趣。

微积分中还有很多从名字上看就很难理解的概念，如通量和环流量，这时我们可以透过一些自然现象和社会热点启发学生发现身边的数学。比如以建设水库大坝为例，大坝侧面的倾斜度肯定不是随意设计的，因为要根据水库的库容及当地的自然环境，必须考虑单位时间内流向它的流量，所以到底倾斜度设计为多少合适是需要工程技术人员经过严密计算的。再有大家经常会发现一片树叶在河水中漂流时，除了顺流而下，还会旋转，原因是什么？进而引入环流量这个概念。

数学建模是一种数学的思考方法，是一种用数学语言描述实际现象的过程。当人们需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，在了解对象信息、分析内在规律等工作的基础上，用数学语言把它表述为数学式子(或称为数学模型)，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验，这个全过程就称为数学建模。微积分的讲授是一种传递间接知识的方法，其内容多以抽象的理论知识为主，然而理论是来源于实践并为实践服务的，所以，数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是培养高素质创新人才的有效途径。全世界各个国家每年都举办各种各样的建模比赛，目的即是培养学生团结协作、自我开拓和创新实践的能力。对工科学生而言，通过微积分的学习不仅要理解、掌握相关的知识，提高自己的数学素养，而且要更好地运用数学去分析、解决现实中的一些自然现象和社会现象，所以，在教学中我们会适时的引导学生利用学到的数学理论去发现、解决遇到的相关问题，鼓励他们参加数学建模，这样既满足了他们的好奇心，又能让学生感受到成就感，进而培养他们对数学的热爱，激发他们的求知欲望和进取精神，而且对他们将来走向社会也有很好的教育作用。

事实上，在微积分的产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。微积分中的很多概念和公式比如导数、定积分、Fermat引理等都有十分现实和具体的背景。以Fermat引理为例，最开始是天文学家Kepler在研究行星运动时观测到，行星运动到它的椭圆轨道长轴的端点附近时，切向加速度会趋于零。Fermat就根据这一事实，分析了一个函数的增量在极值点附近的变化情况，进而得到了寻找函数极值的一种方法，即Fermat引理。

就近代和现代数学的发展来看，很多数学理论也是来源于实践以及其他学科的。比如泛函分析起源于物理学中的量子理论，是数学家为了解释Dirac函数而产生的一门学科，现在又广泛的应用于很多科学领域。还有，我们发现自然界中有许多突变和飞跃的过程，如水沸腾，火山爆发，某地突然地震等等，这些突变现象把系统空间变成了不连续的，微积分是无法解决的，而科学家在研究这类突变现象时遇到了各种各样的困难，其中最主要的是缺乏恰当的数学工具来提供他们的数学模型。因此，又迫使数学家想法设法研究能描述这些不连续现象的数学理论，终于，1972年法国数学家雷内·托姆在他的一本著作中提出并明确的阐明了突变理论。随后，他还组成一个研究团体，细心研究，扩展应用，提出一系列数学模型，用以解释自然界和社会现象中所发生的不连续的变化过程，托姆也为此成就而荣获当前国际数学界的最高奖之一——菲尔兹奖。