莫厚旭，郭艳凤，朱萍丽，廖干杰

广西科技大学，理学院，广西 柳州

收稿日期：2019年1月4日；录用日期：2019年1月22日；发布日期：2019年1月29日

利用扩展的(G'/G)展开法和新的辅助方程，通过借助齐次平衡法确定相关次幂，求解(3 + 1)维Yu-Toda-Sasa-Fukuyama (YTSF)势方程的新精确解，得到了(3 + 1)维YTSF势方程的一些新的精确解的形式，并给出解的相应图形。

关键词 :扩展的(G'/G)展开法，YTSF势方程，精确解

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随着社会的进步，科技的发展，非线性偏微分方程在物理、数学等学科上的应用越来越广泛，因此也引起了许多数学家的关注。近年来，在许多学者的努力下，提出了许多求解非线性偏微分方程的精确解的方法，例如：Fourier变换 [ 1 ] ，三波法 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] ，可变分离法 [ 5 ] 等方法来求解某类非线性偏微分方程的精确解。

本文主要考虑(3 + 1)维Yu-Toda-Sasa-Fukuyama (YTSF)势方程的新精确解。此方程为

在1998年，Song-Ju Yu等人 [ 6 ] 将Bogoyavlenskii-Schiff方程 [ 7 ]

v t + ϕ ( v ) v z = 0 , ϕ ( v ) = ∂ x 2 + 4 v + 2 v x ∂ x − 1 ,

拓展为一个新的(3 + 1)维非线性演化方程

( − 4 v t + ϕ ( v ) v z ) + 3 v y y = 0 , ϕ ( v ) = ∂ x 2 + 4 v + 2 v x ∂ x − 1 ,

于是它被称为(3 + 1)维的Yu-Toda-Sasa-Fukuyama (YTSF)势方程，他们随后给出了该方程的行波解。为了方便研究，利用变换 v = u x 把此方程化为它的潜在形式，也就是本文将要考虑的(3 + 1)维Yu-Toda-Sasa-Fukuyama (YTSF)势方程。

通过扩展的同宿测试法 [ 8 ] [ 9 ] ，可以获得(3 + 1)维Yu-Toda-Sasa-Fukuyama (YTSF)势方程 [ 10 ] 的精确纽结呼吸波解，利用auto-Backland [ 11 ] 变换和广义投影的Riccati [ 12 ] 方程方法可以得到关于(3 + 1)维YTSF势方程的一些类孤立波子解和非行波解。本文将利用扩展的 ( G ′ / G ) 展开法 [ 13 ] 和新的辅助方程 [ 13 ]

A G G ″ − B G G ′ − C ( G ′ ) 2 − E G 2 = 0 , (2)

来求解YTSF势方程的一些新精确解的形式。

1) 对于一般的非线性偏微分方程

其中 L 是 及关于 x , y , z , t 的各阶导数的多项式。然后对(3)进行行波变换

w ( ζ ) = w ( x , y , z , t ) , ζ = a x + b y + c z + d 1 t , (4)

a , b , c , d 1 为待定常数，将(4)代入(3)中，(3)就可化为

Q ( w ′ , w ″ , w ‴ , w ( 4 ) , ⋯ ) = 0. (5)

其中 w ′ = d w d ξ , u ″ = d 2 w d ξ 2 , L

2) 设方程(5)的拟解为

w ( ξ ) = ∑ g = − m m e g ( d + H ) g + ∑ g = 1 m f g ( d + H ) g . (6)

其中 H ( ξ ) = ( G ′ G ) ， e g , f g 中为待定常数， g 可取 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ , ± m ， m 可通过齐次平衡法求出来，并且 G ( ξ ) 满足以下非线性常微分方程

A G G ″ − B G G ′ − C ( G ′ ) 2 − E G 2 = 0 , (7)

其中 A , B , C , E 为待定常数。

3) 将方程(6)和方程(7)代入方程(5)中，并将 ( d + H ) 中相同的指数幂的系数合并，令各次幂的系数为零，得到一个关于 e g , d , f g ( g = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ , ± m ) ， a , b , c , d 1 ， A , B , C , E 的代数方程组。

4) 利用maple软件求解代数方程组，确定待定常数之间的关系。

5) 通过文献 [ 13 ] ，得到5组关于 H ( ξ ) 的表达式

a) 当 B ≠ 0 , ϕ = A − C 且 Ω = B 2 + 4 E ϕ > 0 时，

H ( ζ ) = ( G ′ G ) = B 2 ϕ + Ω 2 ϕ C 1 sinh ( Ω 2 ϕ ζ ) + C 2 cosh ( Ω 2 ϕ ζ ) C 2 sinh ( Ω 2 ϕ ζ ) + C 1 cosh ( Ω 2 ϕ ζ ) (8)

b) 当 B ≠ 0 , ϕ = A − C 且 Ω = B 2 + 4 E ϕ < 0 时，

H ( ζ ) = ( G ′ G ) = B 2 ϕ + − Ω 2 ϕ − C 1 sin ( − Ω 2 ϕ ζ ) + C 2 cos ( − Ω 2 ϕ ζ ) C 2 sin ( − Ω 2 ϕ ζ ) + C 1 cos ( − Ω 2 ϕ ζ ) (9)

c) 当 B ≠ 0 , ϕ = A − C 且 Ω = B 2 + 4 E ϕ = 0 时，

H ( ζ ) = ( G ′ G ) = B 2 ϕ + C 2 C 1 + C 2 ζ (10)

d) 当 B = 0 , ϕ = A − C 且 Δ = ϕ E > 0 时，

H ( ζ ) = ( G ′ G ) = Δ ϕ C 1 sinh ( Δ ϕ ζ ) + C 2 cosh ( Δ ϕ ζ ) C 2 sinh ( Δ ϕ ζ ) + C 1 cosh ( Δ ϕ ζ ) (11)

e) 当 B = 0 , ϕ = A − C ， Δ = ϕ E < 0 时，

H ( ζ ) = ( G ′ G ) = Δ ϕ − C 1 sinh ( − Δ ϕ ζ ) + C 2 cosh ( − Δ ϕ ζ ) C 2 sinh ( − Δ ϕ ζ ) + C 1 cosh ( − Δ ϕ ζ ) (12)

对方程(1)引入变换(4) w ( ζ ) = w ( x , y , z , t ) , ζ = a x + b y + c z + d 1 t ，可将(1)化为方程

− 4 a d 1 w ″ + a 3 c w ( 4 ) + 6 a 2 c w ′ w ″ + 3 b 2 = 0. (13)

对方程(13)两边进行一次积分得

( − 4 a d 1 + 3 b 2 ) w ′ + a 3 c w ‴ + 3 a 2 c ( w ′ ) 2 + k = 0. (14)

其中 k 为待定常数，由(6)可知 w 关于 ( d + H ) 的最高次幂为 m ， 关于 ( d + H ) 的最高次幂为 m + 1 ， w ‴ 关于 ( d + H ) 的最高次幂为 m + 3 ，由齐次平衡法得,最高阶导数线性项 w ‴ 和非线性项 ( w ′ ) 2 进行平衡，则 m + 3 = 2 m + 2 ，解得 m = 1 。则(6)的表达式为

W ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + H ) − 1 + e 1 ( d + H ) (15)

将(15)代入(14)，得到3组解符合我们(3 + 1)维方程的系数关系

第一组：

a = a , b = b , c = c , d = d , k = 0 , d 1 = 1 4 a 3 c Ω + 3 A 2 b 2 a A 2 , e − 1 = − 2 a d 2 φ + f 1 A − 2 a E A , e 1 = 0 , f 1 = f 1 .

第二组：

a = a , b = b , c = c , d = − 1 2 B ϕ , k = 0 , d 1 = 1 4 4 a 3 c Ω + 3 A 2 b 2 a A 2 , e − 1 = − 1 2 2 A f 1 φ − a Ω A φ , e 1 = 2 a φ A , f 1 = f 1 .

第三组：

当第一、二、三组解满足 H ( ζ ) 的条件时， w ( ζ ) 的表达式为

w 11 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + B 2 φ + Ω 2 φ C 1 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 2 cosh ( Ω 2 φ ζ ) C 2 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 1 cosh ( Ω 2 φ ζ ) ) − 1 ,

w 12 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + B 2 φ + − Ω 2 φ − C 1 sin ( − Ω 2 φ ζ ) + C 2 cos ( − Ω 2 φ ζ ) C 2 sin ( − Ω 2 φ ζ ) + C 1 cos ( − Ω 2 φ ζ ) ) − 1 ,

w 13 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + B 2 φ + C 2 C 1 + C 2 ζ ) − 1 ,

w 14 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + Δ M C 1 sinh ( Δ φ ζ ) + C 2 cosh ( Δ φ ζ ) C 2 sinh ( Δ φ ζ ) + C 1 cosh ( Δ φ ζ ) ) − 1 ,

w 15 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + − Δ φ − C 1 sin ( − Δ φ ζ ) + C 2 cos ( − Δ φ ζ ) C 2 sin ( − Δ φ ζ ) + C 1 cos ( − Δ φ ζ ) ) − 1 .

w 21 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + B 2 φ + Ω 2 φ C 1 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 2 cosh ( Ω 2 φ ζ ) C 2 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 1 cosh ( Ω 2 φ ζ ) ) − 1 + e 1 ( d + B 2 φ + Ω 2 φ C 1 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 2 cosh ( Ω 2 φ ζ ) C 2 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 1 cosh ( Ω 2 φ ζ ) ) ,

w 22 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + B 2 φ + − Ω 2 φ − C 1 sin ( − Ω 2 φ ζ ) + C 2 cos ( − Ω 2 φ ζ ) C 2 sin ( − Ω 2 φ ζ ) + C 1 cos ( − Ω 2 φ ζ ) ) − 1 + e 1 ( d + B 2 φ + − Ω 2 φ − C 1 sin ( − Ω 2 φ ζ ) + C 2 cos ( − Ω 2 φ ζ ) C 2 sin ( − Ω 2 φ ζ ) + C 1 cos ( − Ω 2 φ ζ ) ) ,

w 23 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + B 2 φ + C 2 C 1 + C 2 ζ ) − 1 + e 1 ( d + B 2 φ + C 2 C 1 + C 2 ζ ) ,

w 24 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + Δ M C 1 sinh ( Δ φ ζ ) + C 2 cosh ( Δ φ ζ ) C 2 sinh ( Δ φ ζ ) + C 1 cosh ( Δ φ ζ ) ) − 1 + e 1 ( d + Δ M C 1 sinh ( Δ φ ζ ) + C 2 cosh ( Δ φ ζ ) C 2 sinh ( Δ φ ζ ) + C 1 cosh ( Δ φ ζ ) ) ,

w 25 ( ζ ) = e 0 + ( e − 1 + f 1 ) ( d + − Δ φ − C 1 sin ( − Δ φ ζ ) + C 2 cos ( − Δ φ ζ ) C 2 sin ( − Δ φ ζ ) + C 1 cos ( − Δ φ ζ ) ) − 1 + e 1 ( d + − Δ φ − C 1 sin ( − Δ φ ζ ) + C 2 cos ( − Δ φ ζ ) C 2 sin ( − Δ φ ζ ) + C 1 cos ( − Δ φ ζ ) ) .

w 31 ( ζ ) = e 0 + e 1 ( d + B 2 φ + Ω 2 φ C 1 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 2 cosh ( Ω 2 φ ζ ) C 2 sinh ( Ω 2 φ ζ ) + C 1 cosh ( Ω 2 φ ζ ) ) ,

w 32 ( ζ ) = e 0 + e 1 ( d + B 2 φ + − Ω 2 φ − C 1 sin ( − Ω 2 φ ζ ) + C 2 cos ( − Ω 2 φ ζ ) C 2 sin ( − Ω 2 φ ζ ) + C 1 cos ( − Ω 2 φ ζ ) ) ,

w 33 ( ζ ) = e 0 + e 1 ( d + B 2 φ + C 2 C 1 + C 2 ζ ) ,

w 34 ( ζ ) = e 0 + e 1 ( d + Δ M C 1 sinh ( Δ φ ζ ) + C 2 cosh ( Δ φ ζ ) C 2 sinh ( Δ φ ζ ) + C 1 cosh ( Δ φ ζ ) ) ,

w 35 ( ζ ) = e 0 + e 1 ( d + − Δ φ − C 1 sin ( − Δ φ ζ ) + C 2 cos ( − Δ φ ζ ) C 2 sin ( − Δ φ ζ ) + C 1 cos ( − Δ φ ζ ) ) .

令 r = α 1 x + α 2 y + α 3 z ( α 1 , α 2 , α 3 为不为零的常数)，利用maple软件画出部分解的图像，如下：(图1~图3)

图1. 三角函数求解示意图

图2. 合理分区解示意图

图3. 双曲函数求解示意图

本文通过引用文献 [ 13 ] 中扩展的 ( G ′ / G ) 方法求解(3 + 1)维YTSF势方程的精确解，此方法是把原来 ( G ′ / G ) 正次幂的形式扩展成 ( d + G ′ / G ) 展正负次幂的形式，在此基础上引入新的辅助常微分方程(2)的解的不同形式。通过maple软件确定表达式中待定参数之间的关系，即当方程(2)系数 A , B , C , E 满足(8)~(12)的关系时，得到了非线性偏微分方程的(3 + 1)维YTSF势方程的新的负幂次形式的精确解，包括双曲函数解、有理分式解和三角函数解的形式，并且此方法还可以用于求解其它非线性偏微分方程。三角函数具有周期性，三角函数解的图像如图1；有理分式的图像如图2所示，由图可以看出此图为中心对称图形；双曲函数是一种类似于三角函数的函数，具有三角函数的一些性质，双曲函数解的图像如图3，是中心对称图像。同时也希望能为大家拓宽解决此类问题的方法。

莫厚旭,郭艳凤,朱萍丽,廖干杰. 利用扩展的(G'/G)展开法求(3 + 1)维YSFY势方程的精确解Using the Extend (G'/G) Expansion Method to Obtain the Exact Solution of the (3 + 1)-Dimensional Potential YTSF Equation[J]. 理论数学, 2019, 09(01): 111-118. https://doi.org/10.12677/PM.2019.91014