黄娟

广东海洋大学，数学与计算机学院，广东 湛江

收稿日期：2019年1月2日；录用日期：2019年1月21日；发布日期：2019年1月28日

本文将在正相协相依样本下，利用分组经验似然比方法，构造分布函数的置信区间。

关键词 :正相协，分组经验似然，置信区间

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Joag-Dey和Proschan (1983, [ 1 ] )提出了PA (positive associate)随机变量在可靠性理论和多元统计分析中有广泛的应用。经验似然是由Owen (1988)提出的一种非参数推断方法 [ 2 ] [ 3 ] ，其有类似Bootstrap的抽样特性。这一方法与传统的统计方法比较有很多优点。比如：用经验似然方法构造置信区间拥有域保持性，变换不变性，置信域的形状由数据自行决定，以及Bartlett纠偏性和无需构造轴统计量等等。因而在相依情形下，经验似然方法研究成果少见 [ 4 ] - [ 10 ] ，尤其在PA相依样本见之甚少。目前，关于分布函数的研究多数局限于非参数核方法。本文将尝试在PA相依样本下，攻克普通经验似然方法的缺陷，重新利用分组经验似然方法，构造未知的分布函数置信区间。首先给出PA序列概念。

定义1： [ 1 ] 称随机变量 X 1 , X 2 , ⋯ , X n ( n ≥ 2 )是PA的，如果对于集合 { 1 , 2 , ⋯ , n } 的任何两个不相交的非空子集 A 1 和 A 2 ，都有

C o v ( f 1 ( X i , i ∈ A 1 ) , f 2 ( X j , j ∈ A 2 ) ) ≥ 0

此处， f 1 与 f 2 是任何两个使得协方差存在的对每个变量均非降(或非升)的函数。称随机变量序列 { X i , i ∈ N } 是PA序列，如果对任何 n ≥ 2 ，随机变量 X 1 , X 2 , ⋯ , X n ( n ≥ 2 )都是PA (正相协)的。

若 X 1 , X 2 , ⋯ , X n 为来自总体 X 的正相协样本，由于 E I { X i ≤ x } = F ( x ) ，

经验似然 R ( F ( x ) ) = sup { ∏ i = 1 n n w i , w i ≥ 0 , ∑ i = 1 n w i = 1 , ∑ i = 1 n w i I { X i ≤ x } = F ( x ) }

对数经验似然为 l ( F ( x ) ) = − 2 log R ( F ( x ) ) = 2 ∑ i = 1 n log ( 1 + s [ I { X i ≤ x } − F ( x ) ] ) 。

此处 s ∈ R 1 ，且满足 K ( s ) = 1 n ∑ i = 1 n I { X i ≤ x } − F ( x ) 1 + s [ I { X i ≤ x } − F ( x ) ] = 0 。

条件：

1) X 1 , X 2 , ⋯ , X n 是来自总体的强平稳PA样本；

2) 令 u n = sup k ∑ j : | j − k | ≥ n C o v [ ( I { X j ≤ x } − F ( x ) ) , ( I { X k ≤ x } − F ( x ) ) ] < ∞ ，若对某个 r > 2 ，满足 u n = O ( n − ( r − 2 ) 2 ) ，

3) ∑ i = 1 ∞ C o v [ ( I { X 1 ≤ x } − F ( x ) ) , ( I { X 1 + i ≤ x } − F ( x ) ) ] < ∞ ；

定理1：如果上述条件成立，我们有

l ( F ( x ) ) → d A 2 σ 2 χ ( 1 ) 2 , n → ∞ 。

此处 A 2 = V a r [ I { X ≤ x } − F ( x ) ] + 2 ∑ i = 1 ∞ C o v [ ( ( I { X 1 ≤ x } − F ( x ) ) , ( I { X 1 + i ≤ x } − F ( x ) ) ) ] ， σ 2 = V a r ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 。

然而 A 2 和 σ 2 未知，定理1的结果不能应用，为了攻克这一缺陷，下面利用分组经验似然方法，重新构造经验似然比函数。

记 m = [ n α ] , g = [ n 2 m ] ，其中 [ ⋅ ] 表示取整， 0 < α < 1 2 为简单起见，使 n = 2 m g 。

令 ξ i = ∑ j = 1 m [ I { X 2 ( i − 1 ) m + j ≤ x } − F ( x ) ] η i = ∑ j = 1 m [ I { X ( 2 i − 1 ) m + j ≤ x } − F ( x ) ] Y 2 i − 1 = ξ i m , Y 2 i = η i m (对任意的 i = 1 , 2 , ⋯ , g )

由于 { X i | i ≥ 1 } 的强平稳性， Y i ( i = 1 , ⋯ , 2 g ) 有共同分布函数 G ，对应经验分布函数 G 2 g 。分组经验似然比为 R ′ ( F ( x ) ) = sup { ∏ i = 1 2 g 2 g P ′ i | ∑ i = 1 2 g P ′ i = 1 , P ′ i ≥ 0 , ∑ i = 1 2 g P ′ i m Y i = 0 } 。

对数经验似然比为 l ′ ( F ( x ) ) = − 2 log R ′ ( F ( x ) ) = 2 ∑ i = 1 2 g log ( 1 + λ m Y i ) 。

此处 λ ∈ R 1 且满足 K ′ ( λ ) = 1 2 g ∑ i = 1 2 g m Y i 1 + λ m Y i = 0 。

定理2：在定理1的条件下，我们有 l ′ ( F ( x ) ) → d χ ( 1 ) 2 ， n → ∞ 。

利用定理2，当样本 n 比较大时，可构造未知的分布函数 F ( x ) 的置信水平为 1 − α 的渐近置信区域： P ( F ( x ) | l ′ ( F ( x ) ) ≤ C α ) ≈ 1 − α ，其中 C α 为 χ ( 1 ) 2 分布的上 α 分位点，例如 α 取0.05或0.01。

引理1：记 Z n = max 1 ≤ i ≤ n | [ E I { X i ≤ x } − F ( x ) ] | ，有 Z n = ο p ( n 1 2 ) 。

证明：由于 [ E I { X i ≤ x } − F ( x ) ] 有界，易得

Z n = max 1 ≤ i ≤ n | [ E I { X i ≤ x } − F ( x ) ] | = ο p ( n 1 2 ) 。

引理2： [ 7 ] 若 X 1 , X 2 , ⋯ , X n 为PA变量，有 | X j | ≤ C ，且 E X j = 0 ， j = 1 , ⋯ , N 。令 S n = ∑ j = 1 n X j ， u n = sup k ∑ j : | j − k | ≥ n C o v ( X j , X k ) ，假设对某个 r > 2 ， u n = O ( n − ( r − 2 ) 2 ) ，则

sup m ∈ N ∪ { 0 } E | S m + n − S n | r ≤ C n r 2 。

引理3： [ 11 ] 设 { X i | i ≥ 1 } 是强平稳PA序列，并且 ∑ i = 1 ∞ C o v ( X 1 , X 1 + i ) < ∞ ，假定 E X 1 = 0 ， E | X 1 | 2 < ∞ ，则 A 0 2 = E X 1 2 + 2 ∑ i = 1 ∞ E ( X 1 X 1 + i ) 收敛，且有

sup − ∞ < x < ∞ | P ( 1 n ∑ i = 1 n X i A 0 < x ) − Φ ( x ) | → 0 ，其中 Φ ( x ) 为标准正态分布。

引理4：设 { X i | i ≥ 1 } 是强平稳PA序列，则有 1 2 g ∑ i = 1 2 g m ( Y i ) 2 = A 2 + ο p ( 1 ) 。

其中 A 2 = V a r [ I { X ≤ x } − F ( x ) ] + 2 ∑ i = 1 ∞ C o v [ ( I { X 1 ≤ x } − F ( x ) ) , ( I { X 1 + i ≤ x } − F ( x ) ) ] 。

证明：令 S 2 = 1 2 g ∑ i = 1 2 g m ( Y i ) 2 ，利用引理2和条件2有

E ( S 2 ′ − E S 2 ′ ) 2 = ( m 2 g ) 2 E [ ∑ i = 1 2 g ( ( Y i ′ ) 2 − E ( Y i ′ ) 2 ) ] 2 ≤ C ( m 2 2 g ) E ( Y i ) 4 ≤ C m 2 2 g E | I { X i ≤ x } − F ( x ) | 4 m 2 ≤ C 2 g E | I { X i ≤ x } − F ( x ) | 4 → 0

此处 C 为某个正常数，不同的地方 C 取值可不同。

因此有 S 2 = E S 2 + ο p ( 1 ) 。

由于 E S 2 = m 2 g ∑ i = 1 2 g E ( Y i ) 2 = m E ( Y i ) 2 = 1 m E ( ∑ i = 1 m I { X i £ x } − F ( x ) ) 2 = 1 m { m V a r ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) + 2 m ∑ i = 1 m − 1 C o v [ ( I { X 1 ≤ x } − F ( x ) ) , ( I { X 1 + i ≤ x } − F ( x ) ) ] − 2 ∑ i = 1 m − 1 i C o v [ ( I { X 1 ≤ x } − F ( x ) ) , ( I { X 1 + i ≤ x } − F ( x ) ) ] } = V a r ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) + 2 ∑ i = 1 m − 1 C o v [ ( I { X 1 ≤ x } − F ( x ) ) , ( I { X 1 + i ≤ x } − F ( x ) ) ] − 2 m ∑ i = 1 m − 1 i C o v [ ( I { X 1 ≤ x } − F ( x ) ) , ( I { X 1 + i ≤ x } − F ( x ) ) ]

利用引理3和文献 [ 12 ] 知 E S 2 = A 2 + ο ( 1 ) 。

综上可得 S 2 = E S 2 + ο p ( 1 ) = A 2 + ο ( 1 ) + ο p ( 1 ) = A 2 + ο p ( 1 ) 。

定理1的证明：

由于

P { ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) < 0 } ≥ ε > 0 , P { ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) > 0 } ≥ ε > 0 ， (3.1)

这表明0是集合 { I { X 1 ≤ x } − F ( x ) , 1 ≤ i ≤ n } 所构成的凸包的内点，

因此 R ( F ( x ) ) = sup { R ( F ) | ∫ I { X i ≤ x } − F ( x ) d F = 0 , F ≪ F n } 存在为正。 (3.2)

观察到 R ( F ( x ) ) = sup ∏ i = 1 n n w i ， (3.3)

对上式右端对 w i 求上确界时，满足 w i ≥ 0 , ∑ i = 1 n w i = 1 , 且 ∑ i = 1 n w i [ I { X i ≤ x } − F ( x ) ] = 0 。

利用拉格朗日乘子法，可得 w i = 1 n ( 1 + s ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) ) , 1 ≤ i ≤ n 。 (3.4)

此处 s ∈ R 1 ，且满足

h ( s ) = 1 n ∑ i = 1 n I { X i ≤ x } − F ( x ) 1 + s ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) = 0

0 = | h ( s ) | = 1 n | ∑ i = 1 n ( I { X i i ≤ x } − F ( x ) ) − ∑ i = 1 n s ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 2 1 + ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) | ≥ | s | 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 2 1 + | s | Z n − | 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) | (3.5)

再利用引理3知： | s | 1 + | s | Z n = Ο p ( 1 n ) ，利用引理2得 s = Ο p ( 1 n ) 。(3.6)

令 γ i = s ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) , s 满足 h ( s ) = 0 ，

利用(3.6)式及引理1知： max 1 ≤ i ≤ n | γ i | = Ο p ( 1 n ) ο p ( n ) = ο p ( 1 ) 。 (3.7)

则有 0 = h ( s ) = 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 1 + s ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) = 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 1 + γ i = 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) ( 1 − γ i + γ i 2 1 + γ i ) = 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) − s 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 2 + 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) γ i 2 1 + γ i 。

令 s = 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 2 + β , 利用(3.6)，(3.7)式和引理4可得

β = 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 3 s 2 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 2 ( 1 + γ i ) = ο p ( n ) Ο p ( 1 n ) = ο p ( 1 n ) 。

借助Taylor展开，我们有 log ( 1 + γ i ) = γ i − γ i 2 2 + η i ，对某正数 G 有

P { | η i | ≤ G | γ i | 3 , 1 ≤ i ≤ n } → 1 , n → ∞ 。

则有

l ( F ( x ) ) = − 2 log R ( F ( x ) ) = 2 ∑ i = 1 n log ( 1 + γ i ) = 2 ∑ i = 1 n γ i − ∑ i = 1 n γ i 2 + 2 ∑ i = 1 n η i = 2 ∑ i = 1 n ( 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 2 + β ) ( ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) ) − ∑ i = 1 n ( 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 2 + β ) 2 ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 2 + 2 ∑ i = 1 n η i = 2 n ( ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 2 ) 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 2 + 2 β ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) − 1 n ( ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) ) 2 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 2 − 2 β ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) − β 2 ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 2 + 2 ∑ i = 1 n η i

= n ( 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) ) 2 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 2 − n β 2 1 n ∑ i = 1 n ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) 2 + 2 ∑ i = 1 n η i ≙ I 1 + I 2 + I 3 。 (3.8)

再利用引理3知： I 1 → d A 2 σ 2 χ ( 1 ) 2 ， n → ∞ 。 (3.9)

由条件得： I 2 = ο p ( 1 ) 。 (3.10)

又由(3.6)和引理2得 | 2 ∑ i = 1 n η i | ≤ 2 B | s | 3 ∑ i = 1 n | ( I { X i ≤ x } − F ( x ) ) | 3 = ο p (1)

其中 B 为某个正数，故有 I 3 = ο p ( 1 ) 。 (3.11)

综合(3.9)~(3.11)式便得 l ( θ 0 ) → d A 2 σ 2 χ ( 1 ) 2 ， n → ∞ 。 (3.12)

定理2的证明：

只需证明 l ′ ( F ( x ) ) = − 2 log R ′ ( F ( x ) ) → d χ ( 1 ) 2 n → ∞ 。 (3.13)

观察到 R ′ ( F ( x ) ) = sup ∏ i = 1 2 g 2 g P i ′ ，对上式右端对 P i ′ 求上确界时，

满足 P ′ i ≥ 0 , ∑ i = 1 2 g P i ′ = 1 , ∑ i = 1 2 g P i ′ m Y i = 0 。

借助拉格朗日乘子法得 P i = 1 2 g ( 1 + λ m Y i ) , 1 ≤ i ≤ 2 g ， (3.14)

此处 ，且满足 。

利用引理1证明得 。 (3.15)

有 。 (3.16)

。 (3.17)

展开 得 (3.18)

此处 。

利用引理4得 。 (3.19)

利用(3.18)及(3.19)式得 。 (3.20)

又由引理1，引理2，(3.17)及(3.20)式知 。记 。

利用(3.17)和(3.18)式得： 。 (3.21)

又展开 可得

。

记 ，有 。 (3.22)

利用引理4和(3.18)式得

。 (3.23)

又利用(3.21)，(3.22)和(3.24)式得

。 (3.24)

利用(3.23)式并利用Taylor展开式，则有

此处 。

利用引理3及引理4，得 ， 。 (3.26)

利用(3.24)式得 。 (3.27)

利用(3.18)和(3.24)式得 ，

从而可得 。 (3.28)

综上(3.25)~(3.28)式得 ， 。 (3.29)

本论文得到广东省自然科学基金项目资助(2016A030313812; 2018A030307070)。

黄 娟. 正相协相依样本下分布函数的经验似然统计推断Empirical Likelihood Statistic Inference for Distribution Function for PA Dependent Samples[J]. 理论数学, 2019, 09(01): 89-97. https://doi.org/10.12677/PM.2019.91012