毛亮，刘青青^*

华南理工大学，数学学院，广东 广州

收稿日期：2018年12月24日；录用日期：2019年1月11日；发布日期：2019年1月18日

本文主要研究了可压缩微极流体系统在 ℝ 3 中柯西问题解的高阶导数的衰减估计。解的L²范数的衰减率已经被刘和张 [ 1 ] 研究，本文利用傅里叶变换的方法证明了该系统解的一阶导数的衰减率为 ( 1 + t ) − 5 4 ，推广了文 [ 1 ] 的结果。

关键词 :可压缩微极流体，傅里叶变换，衰减估计

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我们下面考虑的系统满足下列方程：

{ ρ t + d i v ( ρ u ) = 0 , ( ρ u ) t + d i v ( ρ u ⊗ u ) + ∇ p ( ρ ) = ( μ + ζ ) Δ u + ( μ + λ − ζ ) ∇ d i v u + 2 ζ ∇ × ω , ( ρ ω ) t + d i v ( ρ u ⊗ ω ) + 4 ζ ω = μ ′ Δ ω + ( μ ′ + λ ′ ) ∇ d i v ω + 2 ζ ∇ × u . (1.1)

该方程中的 ρ = ρ ( x , t ) ≥ 0 , u = u ( x , t ) ∈ ℝ 3 , ω = ω ( x , t ) ∈ ℝ 3 和 p ( ρ ) 分别表示密度，速度，微自转速度和压力，其中 ( t , x ) ∈ ( 0 , + ∞ ) × ℝ 3 。常数 μ , λ , μ ′ , λ ′ , ζ 是流体的一些粘性系数，并且满足 μ > 0 、 2 μ + 3 λ − 4 ζ ≥ 0 、 μ ′ > 0 、 2 μ ′ + 3 λ ′ ≥ 0 和 ζ > 0 。

初始值为

( ρ , u , ω ) ( 0 , x ) = ( ρ 0 , u 0 , ω 0 ) ( x ) , x ∈ ℝ 3 (1.2)

在无穷远处

( ρ , u , ω ) ( t , x ) → ( 1 , 0 , 0 )   | x | → ∞ , t ≥ 0 (1.3)

这个系统被称为微极流体模型，可以描述等熵可压缩微极流体的运动 [ 2 ] 。与经典的Navier-Stokes方程相比，这个模型引入了一种新的向量场，即粒子旋转的角速度场。在数学上，这种微旋转速度可能导致一些新的困难；物理上，微极流体可能代表由悬浮在粘性介质中的刚性、随机定向(或球形)粒子组成的流体，在这种介质中，粒子的形变被忽略，多元悬浮液、动物血液和液晶都是这种介质。

由于微极流体系统在数学和物理学的重要性，有非常多的文献研究了它的数学理论。对不可压缩的流体，也即是 ρ 为常数， ∇ ⋅ u = 0 ，我们可以参考文献 [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 。

对于可压缩的微极流体方程，Mujaković在一维空间或具有球对称的三维空间中，对该模型解的局部存在性、整体存在性和正则性做了一系列的研究 [ 6 ] - [ 12 ] 。其他作者，如陈 [ 13 ] 证明了初始带真空的一维模型强解的整体存在性。在三维模型中，陈、黄、张 [ 14 ] 证明了柯西问题强解的爆破准则。陈、徐、张 [ 15 ] 解决了具有真空和不连续初始值的整体弱解。Mujaković和她的合作者Dražić建立了可压缩的球对称、等方性、粘性和热传导的微极流体模型，对于这个模型他们分别先后证明了齐次边界条件下解的局部存在性，整体存在性，长时间行为和解的唯一性 [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] 。

最近，刘和张 [ 1 ] 证明了该系统的平衡解的整体稳定性和最优衰减估计，主要结果如下。

引理1.1：当 N ≥ 4 时，存在 δ 0 > 0 , C 0 使得

‖ [ ρ 0 − 1 , u 0 , ω 0 ] ‖ N ≤ δ 0 (1.4)

对于该微极流体系统的柯西问题(1.1)~(1.3)有唯一的整体解 [ ρ ( t , x ) , u ( t , x ) , ω ( t , x ) ] 满足

‖ [ ρ ( t ) − 1 , u ( t ) , ω ( t ) ] ‖ N 2 + ∫ 0 t ( ‖ ∇ ρ ( s ) ‖ N − 1 2 + ‖ ∇ u ( s ) ‖ N 2 + ‖ ∇ ω ( s ) ‖ N 2 ) d s ≤ C 0 ‖ [ ρ 0 − 1 , u 0 , ω 0 ] ‖ N 2 (1.5)

并且，存在 δ 1 > 0 , C 1 使得

‖ [ ρ 0 − 1 , u 0 , ω 0 ] ‖ N + ‖ [ ρ 0 − 1 , u 0 , ω 0 ] ‖ L 1 ≤ δ 1 (1.6)

则 [ ρ ( t , x ) , u ( t , x ) , ω ( t , x ) ] 满足

‖ [ ρ − 1 , u ] ‖ ≤ C 1 ( 1 + t ) − 3 4 , ‖ ω ‖ ≤ C 1 ( 1 + t ) − 5 4 (1.7)

注1.1：在本文中，我们假设 N = 4 ，那么在引理1.1中，结合(1.4)和(1.5)可以得到

‖ [ ρ ( t ) − 1 , u ( t ) , ω ( t ) ] ‖ H 4 2 ≤ C 0 δ 0 2 (1.8)

这里我们用 C 0 δ 0 2 代表小量 ε 0 2 。

受稳定性和 L 2 范数衰减结果的影响，本文的主要工作是研究该微极流体系统解的一阶衰减估计。我们的主要结果是下面的定理。

定理1.1：假设初始值 ‖ [ ρ 0 − 1 , u 0 , ω 0 ] ‖ ∈ H 4 ，并且满足(1.1)~(1.3)中所有的条件，那么该微极流体系统柯西问题的整体解 ( ρ − 1 , u , ω ) 存在时间衰减估计为

‖ ∇ [ ρ − 1 , u , ω ] ‖ ≤ C ( 1 + t ) − 5 4 (1.9)

最后，我们需要引入时间球 S 0 的概念，

S 0 : = { ξ ∈ ℝ 3 | | ξ | ≤ ( R 1 + t ) 1 2 }

S 0 在我们的证明中起到了非常重要的作用，它可以帮助我们通过使用低阶导数的衰减得到高阶导数的衰减估计，可以参看Navier-Stokes系统 [ 20 ] [ 21 ] 。本文用这种方法得到高阶导数的衰减估计。

注1.2：在本文中，我们用 H s ( ℝ 3 ) ( s ∈ ℝ ) 来表示通常意义下的Sobolev空间的范数 ‖ ⋅ ‖ H s 和 L p ( ℝ 3 ) ( 1 ≤ p ≤ ∞ ) 来表示通常意义下的 L p 空间的范数 ‖ ⋅ ‖ L p 。我们定义

∇ k v = { ∂ x α v i | | α | = k ; i = 1 , 2 , 3 } , v = ( v 1 , v 2 , v 3 )

为方便后面的使用，下面是一些需要用到的不等式。

引理1.2：若 f ∈ H 4 ( ℝ 3 ) ，那么我们有下列不等式：

( 1 )   ‖ f ‖ L 6 ≤ C ‖ ∇ f ‖ L 2 ， ( 2 )   ‖ f ‖ L p ≤ C ‖ f ‖ H 1 , 2 ≤ p ≤ 6 , ( 3 )   ‖ f ‖ L ∞ ≤ C ‖ ∇ f ‖ H 1 . (1.10)

引理1.3：(Moser-type型积分不等式)若 s ≥ 1 是整数，那么就有

1) 对于 f , g ∈ H s ∩ L 1 并且 m ≤ s ，

‖ ∇ m ( f g ) ‖ L 2 ≤ C ( ‖ f ‖ L ∞ ‖ ∇ m g ‖ L 2 + ‖ g ‖ L ∞ ‖ ∇ m f ‖ L 2 ) . (1.11)

2) 对于 f ∈ H m , ∇ f ∈ L ∞ , g ∈ H m − 1 ∩ L ∞ 并且 m ≤ s ，

‖ ∇ m ( f g ) − f ∇ m g ‖ L 2 ≤ C ( ‖ ∇ f ‖ L ∞ ‖ ∇ m − 1 g ‖ L 2 + ‖ g ‖ L ∞ ‖ ∇ m f ‖ L 2 ) . (1.12)

假设稳态的微级流体系统是平凡的，取 ρ = 1 , u = 0 , ω = 0 。令 n = ρ − 1 。

那么 U : = [ n , u , ω ] 满足

n t + d i v u = S 1 , (2.1)

u t + γ ∇ n − ( μ + ζ ) Δ u − ( μ + λ − ζ ) ∇ d i v u − 2 ζ ∇ × ω = S 2 , (2.2)

ω t + 4 ζ ω − μ ′ Δ ω − ( μ ′ + λ ′ ) ∇ d i v ω − 2 ζ ∇ × u = S 3 . (2.3)

这里的 S i ( i = 1 , 2 , 3 ) 分别为

{ S 1 = − n d i v u − u ⋅ ∇ n , S 2 = − u ⋅ ∇ u − f ( n ) [ ( μ + ζ ) Δ u + ( μ + λ − ζ ) ∇ d i v u + 2 ζ ∇ × ω ] − h ( n ) ∇ n , S 3 = − u ⋅ ∇ ω − f ( n ) [ μ ′ Δ ω + ( μ ′ + λ ′ ) ∇ d i v ω − 4 ζ ω + 2 ζ ∇ × u ] . (2.4)

其中

初始值为

( n , u , ω ) ( x , 0 ) = ( n 0 , u 0 , ω 0 ) ( x ) .

引理3.1：在(1.1)~(1.3)式的条件下，我们有

d d t ‖ ∇ ( γ n , u , ω ) ‖ H 3 3 + C 1 ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 + C 2 ‖ ∇ 2 ω ‖ H 3 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 + C ‖ ∇ n ‖ H 1 2 ‖ ω ‖ L 2 2 . (3.1)

证明：对(2.1)，(2.2)，(2.3)式中左右两边同时关于空间求 m ( m = 1 , 2,3,4 ) 阶空间导数，再分别乘以 ，然后在 ℝ 3 上积分，我们可以得到

{ 1 2 d d t ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 + 〈 ∇ m n , ∇ m ∇ d i v u 〉 = 〈 ∇ m n , ∇ m S 1 〉 , 1 2 d d t ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 + γ 〈 ∇ m u , ∇ m ∇ n 〉 − ( μ + ζ ) 〈 ∇ m u , ∇ m Δ u 〉             − ( μ + λ − ζ ) 〈 ∇ m u , ∇ m ∇ d i v u 〉 − 2 ζ 〈 ∇ m u , ∇ m ∇ × ω 〉 = 〈 ∇ m u , ∇ m S 2 〉 , 1 2 d d t ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 + 4 ζ 〈 ∇ m ω , ∇ m ω 〉 − μ ′ 〈 ∇ m ω , ∇ m Δ ω 〉 − ( μ ′ + λ ′ ) 〈 ∇ m ω , ∇ m ∇ d i v u 〉           − 2 ζ 〈 ∇ m ω , ∇ m ∇ × u 〉 = 〈 ∇ m ω , ∇ m S 3 〉 . (3.2)

然后将 γ ( 3.2 ) 1 , ( 3.2 ) 2 和 ( 3.2 ) 3 求和，我们可以得到

1 2 d d t ( γ ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 + ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 ) + ( μ + ζ ) ‖ ∇ m ∇ u ‖ L 2 2 + ( μ + λ − ζ ) ‖ ∇ m d i v u ‖ L 2 2 + 4 ζ ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 + μ ′ ‖ ∇ m ∇ ω ‖ L 2 2 + ( μ ′ + λ ′ ) ‖ ∇ m d i v ω ‖ L 2 2 = 4 ζ 〈 ∇ m ω , ∇ m ∇ × u 〉 + γ 〈 ∇ m n , ∇ m S 1 〉 + 〈 ∇ m u , ∇ m S 2 〉 + 〈 ∇ m ω , ∇ m S 3 〉 (3.3)

根据柯西不等式，我们知道

4 ζ 〈 ∇ m ω , ∇ m ∇ × u 〉 ≤ 4 ζ ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 + ζ ‖ ∇ m ∇ × u ‖ L 2 2 (3.4)

结合(3.3)和(3.4)，我们可以得到

1 2 d d t ( γ ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 + ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 + ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 ) + μ ‖ ∇ m ∇ u ‖ L 2 2 + ( μ + λ − ζ ) ‖ ∇ m d i v u ‖ L 2 2 + μ ′ ‖ ∇ m ∇ ω ‖ L 2 2 + ( μ ′ + λ ′ ) ‖ ∇ m d i v ω ‖ L 2 2 ≤ γ 〈 ∇ m n , ∇ m S 1 〉 + 〈 ∇ m u , ∇ m S 2 〉 + 〈 ∇ m ω , ∇ m S 3 〉 (3.5)

第一步：我们处理 〈 ∇ m n , ∇ m S 1 〉 这一项。

1) 当 m = 1 时，根据分部积分法和引理(1.1)，我们可以得到

〈 ∇ ( n d i v u ) , ∇ n 〉 = − 〈 n d i v u , ∇ 2 n 〉 ≤ ‖ n ‖ L 3 ‖ ∇ d i v u ‖ L 2 ‖ ∇ n ‖ L 2 2 ≤ ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ L 2 2 + ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 (3.6)

类似的，我们可以得到

〈 ∇ ( u ⋅ ∇ n ) , ∇ n 〉 = − 〈 u ⋅ ∇ n , ∇ 2 n 〉 ≤ ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ L 2 2 (3.7)

结合(3.6)和(3.7)，可以得到

〈 ∇ S 1 , ∇ n 〉 ≤ ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ 2 L 2 + ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 (3.8)

2) 当 m = 2 , 3 , 4 时，利用Hőlder不等式和引理(1.1)~引理(1.3)，我们可以得到

〈 ∇ m ( n d i v u ) , ∇ m n 〉 ≤ C ‖ ∇ m ( n d i v u ) ‖ L 2 ‖ ∇ m n ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 (3.9)

对于第二部分

〈 ∇ m ( u ⋅ ∇ n ) , ∇ m n 〉 = 〈 ∇ m ( u ⋅ ∇ n ) − u ⋅ ∇ m ∇ n , ∇ m n 〉 + 〈 u ⋅ ∇ m ∇ n , ∇ m n 〉 =I 1 + I 2 (3.10)

利用柯西不等式和引理(1.1)~引理(1.3)，我们有

I 1 ≤ C ( ‖ ∇ u ‖ L ∞ ‖ ∇ m − 1 ∇ n ‖ L 2 + ‖ ∇ n ‖ L ∞ ‖ ∇ m u ‖ L 2 ) ‖ ∇ m n ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 (3.11)

利用分部积分法和Hőlder不等式，可以得到

I 2 = 〈 u , 1 2 ∇ | ∇ m n | 2 〉 = − 〈 ∇ ⋅ u , 1 2 | ∇ m n | 2 〉 ≤ ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 (3.12)

所以，结合(3.11)和(3.12)，可以得到

〈 ∇ m ( u ⋅ ∇ n ) , ∇ m n 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 (3.13)

结合(3.9)和(3.13)，我们有

〈 ∇ m S 1 , ∇ m n 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 , ( m = 2 , 3 , 4 ) (3.14)

对 〈 ∇ m S 1 , ∇ m n 〉 从 m = 1 到 m = 4 求和，根据(3.8)和(3.14)，可以得到

∑ m = 1 4 〈 ∇ m S 1 , ∇ m n 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 (3.15)

第二步：接下来处理 〈 ∇ m u , ∇ m S 2 〉 这一项。

1) 当 m = 1 时，我们有

〈 ∇ u , ∇ S 2 〉 = − 〈 ∇ ( u ⋅ ∇ u ) , ∇ u 〉 − 〈 ∇ ( n Δ u ) , ∇ u 〉 − 〈 ∇ ( n ∇ d i v u ) , ∇ u 〉 − 〈 ∇ ( n ∇ × ω ) , ∇ u 〉 − 〈 ∇ ( n ∇ n ) , ∇ u 〉 = ∑ i = 1 5 I i (3.16)

利用分部积分法，Hőlder不等式和引理(1.1)~引理(1.3)，我们可以得到

I 1 = 〈 u ⋅ ∇ u , ∇ 2 u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 I 2 = 〈 n Δ u , ∇ 2 u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 I 3 = 〈 n ∇ d i v u , ∇ 2 u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 I 4 = 〈 n ∇ × ω , ∇ 2 u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 2 I 5 = 〈 n ∇ n , ∇ 2 u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ L 2 2 (3.17)

将(3.17)代入(3.16)中，我们可以得到

〈 ∇ u , ∇ S 2 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 2 (3.18)

2) 当 时。首先利用柯西不等式和引理(1.1)~引理(1.3)，可以得到

〈 ∇ m ( u ⋅ ∇ u ) , ∇ m u 〉 ≤ C ( ‖ u ‖ L ∞ ‖ ∇ m ∇ u ‖ L 2 + ‖ ∇ u ‖ L ∞ ‖ ∇ m u ‖ L 2 ) ‖ ∇ m u ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 2 (3.19)

同理，我们可以得到

〈 ∇ m ( n ∇ × ω ) , ∇ m u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m + 1 ω ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 〈 ∇ m ( n ∇ n ) , ∇ m u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 (3.20)

另一方面，我们需要处理 〈 ∇ m ( n Δ u ) , ∇ m u 〉 这一项。利用分部积分法，可以得到

〈 ∇ m ( n Δ u ) , ∇ m u 〉 = 〈 ∇ m [ ∇ ( n ⋅ d i v u ) − ∇ n ⋅ d i v u ] , ∇ m u 〉 = 〈 ∇ m [ ∇ ( n ⋅ d i v u ) ] , ∇ m u 〉 − 〈 ∇ m [ ∇ n ⋅ d i v u ] , ∇ m u 〉 =I 1 + I 2 (3.21)

再利用柯西不等式、Hőlder不等式和引理(1.1)~引理(1.3)，我们可以分别得到

I 1 ≤ C ( ‖ n ‖ L ∞ ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 + ‖ d i v u ‖ L ∞ ‖ ∇ m n ‖ L 2 ) ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 I 2 ≤ C ( ‖ ∇ n ‖ L ∞ ‖ ∇ m u ‖ L 2 + ‖ d i v u ‖ L ∞ ‖ ∇ m n ‖ L 2 ) ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 (3.22)

将(3.22)代入到(3.21)中，得到

〈 ∇ m ( n Δ u ) , ∇ m u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 (3.23)

同理可以得到

〈 ∇ m ( n ∇ d i v u ) , ∇ m u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 (3.24)

将 〈 ∇ m u , ∇ m S 2 〉 从 m = 1 到 求和，根据(3.18)，(3.19)，(3.20)，(3.23)，(3.24)得到

∑ m = 1 4 〈 ∇ m u , ∇ m S 2 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ H 3 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 (3.25)

第三步：最后我们来处理 〈 ∇ m ω , ∇ m S 3 〉 这一项.

1) 当 m = 1 时，我们有

〈 ∇ ω , ∇ S 3 〉 = − 〈 ∇ ( u ⋅ ∇ ω ) , ∇ ω 〉 − 〈 ∇ ( n Δ ω ) , ∇ ω 〉 − 〈 ∇ ( n ∇ d i v ω ) , ∇ ω 〉 − 〈 ∇ ( n ω ) , ∇ ω 〉 − 〈 ∇ ( n ∇ × u ) , ∇ ω 〉 = ∑ i = 1 5 I i (3.26)

类似于(3.17)，我们有

I 1 ≤ ‖ u ‖ L 3 ‖ ∇ ω ‖ L 6 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 2 I 2 ≤ ‖ n ‖ L 2 ‖ Δ ω ‖ L 2 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 2 I 3 ≤ ‖ n ‖ L 2 ‖ ∇ d i v ω ‖ L 2 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 2 I 4 ≤ ‖ n ω ‖ L 2 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 ≤ ε ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 2 + C ‖ ∇ n ‖ H 1 2 ‖ ω ‖ L 2 2 I 5 ≤ ‖ n ‖ L 3 ‖ ∇ u ‖ L 6 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 2 (3.27)

将(3.27)代入到(3.26)中得到

〈 ∇ ω , ∇ S 3 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 2 + C ‖ ∇ n ‖ H 1 2 ‖ ω ‖ L 2 2 (3.28)

2) 当 2 ≤ m ≤ 4 时。利用柯西不等式、Hőlder不等式和引理(1.1)~引理(1.3)，可以得到

〈 ∇ m ( u ∇ ω ) , ∇ m ω 〉 ≤ C ( ‖ u ‖ L ∞ ‖ ∇ m ∇ ω ‖ L 2 + ‖ ∇ ω ‖ L ∞ ‖ ∇ m u ‖ L 2 ) ‖ ∇ m ω ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m + 1 ω ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 (3.29)

同理可以得到，

〈 ∇ m ( n ∇ × u ) , ∇ m ω 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 〈 ∇ m ( n ω ) , ∇ m ω 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 (3.30)

对于 〈 ∇ m ( n Δ ω ) , ∇ m ω 〉 这一项，我们先用引理(1.1)和分部积分法来处理

〈 ∇ m ( n Δ ω ) , ∇ m ω 〉 = 〈 ∇ m ( n Δ ω ) − n ∇ m Δ ω , ∇ m ω 〉 + 〈 n ∇ m Δ ω , ∇ m ω 〉 ≤ C ( ‖ ∇ n ‖ L ∞ ‖ ∇ m − 1 Δ ω ‖ L 2 + ‖ Δ ω ‖ L ∞ ‖ ∇ m n ‖ L 2 ) ‖ ∇ m ω ‖ L 2 + 〈 n ∇ m Δ ω , ∇ m ω 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m + 1 ω ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 (3.31)

同样的我们可以得到

〈 ∇ m ( n ∇ d i v ω ) , ∇ m ω 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ m + 1 ω ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m ω ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ m n ‖ L 2 2 (3.32)

将 〈 ∇ m ω , ∇ m S 3 〉 从 m = 1 到 m = 4 求和，根据(3.28)~(3.32)，得到

∑ m = 1 4 〈 ∇ m ω , ∇ m S 3 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ H 3 2 + C ‖ ∇ n ‖ H 1 2 ‖ ω ‖ L 2 2 (3.33)

第四步：将(3.5)式左右两边从 m = 1 到 m = 4 求和，根据(3.15)、(3.25)和(3.33)，有

d d t ‖ ∇ ( γ n , u , ω ) ‖ H 3 3 + C 1 ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 + C 2 ‖ ∇ 2 ω ‖ H 3 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 + C ‖ ∇ n ‖ H 1 2 ‖ ω ‖ L 2 2 .

引理3.2：在(1.1)~(1.3)式的条件下，我们可以得到

d d t ( ∑ k = 1 3 〈 ∇ k u , ∇ k ∇ n 〉 ) + γ ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 ≤ C ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 + C ‖ ∇ 2 ω ‖ H 2 2 (3.34)

证明：在方程(2.2)式中，左右两边同时取 m 阶导数，然后同时乘以 ∇ k ∇ n ( k = 1 , 2 , 3 ) ，得到

〈 ∇ k u t , ∇ k ∇ n 〉 + γ ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 2 = ( μ + ζ ) 〈 ∇ k ∇ n , ∇ k Δ u 〉 + ( μ + λ − ζ ) 〈 ∇ k ∇ n , ∇ k d i v u 〉 +2 ζ 〈 ∇ k ∇ n , ∇ k ∇ × ω 〉 + 〈 ∇ k ∇ n , ∇ k S 2 〉 (3.35)

为了处理掉 〈 ∇ k u t , ∇ k ∇ n 〉 这一项，我们需要用到分部积分法和方程(2.1)

〈 ∇ k u t , ∇ k ∇ n 〉 = d d t 〈 ∇ k u , ∇ k ∇ n 〉 − 〈 ∇ k u , ∇ k ∇ n t 〉 = d d t 〈 ∇ k u , ∇ k ∇ n 〉 − 〈 ∇ k u , ∇ k ∇ S 1 〉 + 〈 ∇ k u , ∇ k ∇ d i v u 〉 (3.36)

将(3.36)代入(3.35)中得到

d d t 〈 ∇ k u , ∇ k ∇ n 〉 + γ ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 2 = ‖ ∇ k d i v u ‖ L 2 2 + 〈 ∇ k u , ∇ k ∇ S 1 〉 + ( μ + ζ ) 〈 ∇ k ∇ n , ∇ k Δ u 〉 + ( μ + λ − ζ ) 〈 ∇ k ∇ n , ∇ k ∇ d i v u 〉 +2 ζ 〈 ∇ k ∇ n , ∇ k ∇ × ω 〉 + 〈 ∇ k ∇ n , ∇ k S 2 〉 (3.37)

第一步：我们需要处理 〈 ∇ k u , ∇ k ∇ S 1 〉 这一项。当 k = 1 时，利用分部积分法和柯西不等式，得到

〈 ∇ u , ∇ ∇ S 1 〉 = − 〈 ∇ d i v u , ∇ S 1 〉 = 〈 ∇ d i v d i v u , S 1 〉 = 〈 ∇ d i v d i v u , n d i v u 〉 + 〈 ∇ d i v d i v u , u ∇ n 〉 ≤ ‖ n ‖ L 3 ‖ d i v u ‖ L 6 ‖ ∇ 3 u ‖ L 2 + ‖ u ‖ L 3 ‖ ∇ n ‖ L 6 ‖ ∇ 3 u ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 3 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ L 2 2 (3.38)

当 k = 2 , 3 时，利用分部积分法和引理(1.1)~引理(1.3)得

〈 ∇ k u , ∇ k ∇ S 1 〉 = − 〈 ∇ k d i v u , ∇ k S 1 〉 = − 〈 ∇ k d i v u , ∇ k ( n d i v u ) 〉 − 〈 ∇ k d i v u , ∇ k ( u ⋅ ∇ n ) 〉 ≤ C ( ‖ ∇ n ‖ H 1 ‖ ∇ k + 1 u ‖ L 2 + ‖ ∇ d i v u ‖ H 1 ‖ ∇ k n ‖ L 2 ) ‖ ∇ k + 1 u ‖ L 2 + C ( ‖ ∇ u ‖ H 1 ‖ ∇ k + 1 n ‖ L 2 + ‖ ∇ 2 n ‖ H 1 ‖ ∇ k u ‖ L 2 ) ‖ ∇ k + 1 u ‖ L 2 ≤ C ε 0 ‖ ∇ k + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k + 1 n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k n ‖ L 2 2 (3.39)

对 〈 ∇ k u , ∇ k ∇ S 1 〉 从 k = 1 到 k = 3 求和，根据(3.38)和(3.39)得到

∑ k = 1 3 〈 ∇ k u , ∇ k ∇ S 1 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ H 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 (3.40)

应用柯西不等式和Hőlder不等式，得到

〈 ∇ k Δ u , ∇ k ∇ n 〉 ≤ ‖ ∇ k Δ u ‖ L 2 ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 ≤ ε ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 2 + C ‖ ∇ k + 2 u ‖ L 2 2 〈 ∇ k ∇ d i v u , ∇ k ∇ n 〉 ≤ ‖ ∇ k ∇ d i v u ‖ L 2 ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 ≤ ε ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 2 + C ‖ ∇ k + 2 u ‖ L 2 2 〈 ∇ k ∇ × ω , ∇ k ∇ n 〉 ≤ ‖ ∇ k ∇ × ω ‖ L 2 ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 ≤ ε ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 2 + C ‖ ∇ k + 1 ω ‖ L 2 2 (3.41)

第二步：处理 〈 ∇ k ∇ n , ∇ k S 2 〉 这一项。当 k = 1 时，类似于(3.38)可以得到

〈 ∇ ∇ n , ∇ ( u ∇ u ) 〉 = − 〈 ∇ 2 d i v n , u ∇ u 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 3 n ‖ L 2 2 〈 ∇ ∇ n , ∇ ( n Δ u ) 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 3 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 3 n ‖ L 2 2 〈 ∇ ∇ n , ∇ ( n ∇ d i v u ) 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 3 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 3 n ‖ L 2 2 〈 ∇ ∇ n , ∇ ( u ∇ × ω ) 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 3 n ‖ L 2 2 〈 ∇ ∇ n , ∇ ( n ∇ n ) 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 3 n ‖ L 2 2 (3.45)

当 k = 2 , 3 时，我们有

〈 ∇ k ∇ n , ∇ k ( u ∇ u ) 〉 ≤ ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 ‖ ∇ k ( u ∇ u ) ‖ L 2                 ≤ C ( ‖ u ‖ L ∞ ‖ ∇ k ∇ u ‖ L 2 + ‖ ∇ u ‖ L ∞ ‖ ∇ k u ‖ L 2 ) ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2                 ≤ C ε 0 ‖ ∇ k u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k + 1 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k + 1 n ‖ L 2 2 〈 ∇ k ∇ n , ∇ k ( n Δ u ) 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ k + 2 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k n ‖ L 2 2 〈 ∇ k ∇ n , ∇ k ( n ∇ d i v u ) 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ k + 2 u ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k n ‖ L 2 2 (3.46)

〈 ∇ k ∇ n , ∇ k ( n ∇ × ω ) 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ k + 1 ω ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k ∇ n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k n ‖ L 2 2 〈 ∇ k ∇ n , ∇ k ( n ∇ n ) 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ k + 1 n ‖ L 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ k n ‖ L 2 2

将 〈 ∇ k ∇ n , ∇ k S 2 〉 从 k = 1 到 求和，根据(3.45)和(3.46)，得到

∑ k = 1 3 〈 ∇ k ∇ n , ∇ k ∇ S 2 〉 ≤ C ε 0 ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 + C ε 0 ‖ ∇ 2 ω ‖ H 2 2 (3.47)

第三步：将(3.37)式左右两边从 k = 1 到 k = 3 求和，根据(3.40)、(3.41)和(3.47)，有

d d t ( ∑ k = 1 3 〈 ∇ k u , ∇ k ∇ n 〉 ) + γ ′ ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 ≤ C ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 + C ‖ ∇ 2 ω ‖ H 2 2 .

证明定理1.1：(3.34)式乘以 2 C 4 ε 0 γ ′ 加上(3.1)式，得到

d d t N ( t ) + C 5 ( ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 + ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 + ‖ ∇ 2 ω ‖ H 3 2 ) ≤ C ‖ ∇ n ‖ H 1 2 ‖ ω ‖ L 2 2 (3.48)

其中

N ( t ) : = ‖ ∇ ( n , u , ω ) ‖ H 3 2 + 2 C 4 ε 0 γ ′ ∑ k = 1 3 〈 ∇ k u , ∇ k ∇ n 〉

根据柯西不等式和小量 ，可以得到如下等价关系

C 6 − 1 ‖ ∇ ( n , u , ω ) ‖ H 3 2 ≤ N ( t ) ≤ C 6 ‖ ∇ ( n , u , ω ) ‖ H 3 2 (3.49)

根据(3.48)式，可以得到

d d t N ( t ) + C 5 2 ( ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 + ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 + ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 + ‖ ∇ 2 ω ‖ H 3 2 ) ≤ C ‖ ∇ n ‖ H 1 2 ‖ ω ‖ L 2 2 (3.50)

对常数 R 我们可以定义一个时间球 S 0

S 0 : = { ξ ∈ ℝ 3 | | ξ | ≤ ( R 1 + t ) 1 2 }

然后我们就有

∫ ℝ 3 | ∇ 5 u | 2 d x ≥ ∫ ℝ 3 / S 0 | ξ | 10 | u ^ | 2 d ξ             ≥ R 1 + t ∫ ℝ 3 | ξ | 8 | u ^ | 2 d ξ − ( R 1 + t ) 2 ∫ S 0 | ξ | 6 | u ^ | 2 d ξ             ≥ R 1 + t ∫ ℝ 3 | ∇ 4 u | 2 d ξ − ( R 1 + t ) 2 ∫ ℝ 3 | ∇ 3 u | 2 d ξ (3.51)

也即是

(3.52)

同理就有

‖ ∇ 5 ω ‖ L 2 2 ≥ R 1 + t ‖ ∇ 4 ω ‖ L 2 2 − ( R 1 + t ) 2 ‖ ∇ 3 ω ‖ L 2 2 (3.53)

那于是就有

‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 ≥ R 1 + t ‖ ∇ n ‖ H 2 2 − ( R 1 + t ) 2 ‖ n ‖ H 2 2 ‖ ∇ 2 u ‖ H 3 2 ≥ R 1 + t ‖ ∇ u ‖ H 3 2 − ( R 1 + t ) 2 ‖ u ‖ H 3 2 ‖ ∇ 2 ω ‖ H 3 2 ≥ R 1 + t ‖ ∇ ω ‖ H 3 2 − ( R 1 + t ) 2 ‖ ω ‖ H 3 2 (3.54)

根据(3.50)和(3.54)，利用引理1.1中的衰减，得到

d d t N ( t ) + C 5 2 [ R 1 + t ( ‖ ∇ n ‖ H 2 2 + ‖ ∇ u ‖ H 3 2 + ‖ ∇ ω ‖ H 3 2 ) + ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 ] ≤ C ( 1 + t ) − 2 ( ‖ n ‖ H 2 2 + ‖ u ‖ H 3 2 + ‖ ω ‖ H 3 2 ) + C ‖ ∇ n ‖ H 1 2 ‖ ω ‖ L 2 2 ≤ C ( 1 + t ) − 2 ( 1 + t ) − 3 2 + C ( 1 + t ) − 3 2 ( 1 + t ) − 5 2 ≤ C ( 1 + t ) − 7 2 (3.55)

对于时间 t 足够大时，有 t ≥ R − 1 ，即 ，那么就有

R 1 + t ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 ≤ ‖ ∇ 2 n ‖ H 2 2 (3.56)

将(3.56)代入(3.55)中，得到

d d t N ( t ) + C 5 R 2 ( 1 + t ) ( ‖ ∇ n ‖ H 3 2 + ‖ ∇ u ‖ H 3 2 + ‖ ∇ ω ‖ H 3 2 ) ≤ C ( 1 + t ) − 7 2 (3.57)

根据等价关系(3.49)可以得到

d d t N ( t ) + C 5 R 2 C 6 ( 1 + t ) N ( t ) ≤ C ( 1 + t ) − 7 2 (3.58)

在(3.58)式中，取 ，得到

d d t N ( t ) + + 4 1 + t N ( t ) ≤ C ( 1 + t ) − 7 2 (3.59)

在(3.59)式中，左右两边同时乘以 ( 1 + t ) 4 ，再同时在 [ 0 , t ] 上取积分，可以得到

N ( t ) ≤ C ( 1 + t ) - 4 { N ( 0 ) + C ( 1 + t ) 3 2 } (3.60)

所以，就可以得到

N ( t ) ≤ C ( 1 + t ) − 5 2 (3.61)

根据等价关系，也即是有

‖ ∇ n ‖ H 3 2 + ‖ ∇ u ‖ H 3 2 + ‖ ∇ ω ‖ H 3 2 ≤ C ( 1 + t ) − 5 2

对所有的 。因此，我们完成了定理1.1的证明。

感谢导师朱长江教授对我论文的研究方向做出的指导性意见和推荐；刘青青的研究得到国家自然科学基金(No. 11501217)和广东省自然科学基金(No. 2016A030310416)的支持。

毛 亮,刘青青. 可压缩微极流体系统解的衰减估计On the Decay of Higher-Order Norms of the Solutions to the Compressible Micropolar Fluids System[J]. 理论数学, 2019, 09(01): 71-82. https://doi.org/10.12677/PM.2019.91010