王继兴

云南大学，数学与统计学院，云南 昆明

收稿日期：2018年12月20日；录用日期：2019年1月8日；发布日期：2019年1月15日

本文展开了对3次复合曲面的一般研究，并成功地把3次复合曲面分成了5个大类，50个小类，顺便给出了其所有的150个标准方程。

关键词 :3次曲面，分类，3次复合曲面，标准方程

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一般来说，如果我们能把一个n次曲面分类成功，并得到其所有的标准方程，那么可以认为我们对这种曲面就认识清楚了。如几何学家们把二次曲面分成了5类，并成功地给出了其所有的17个标准方程 [ 1 ] 。这样任意给定一个二次曲面的方程，我们就知道它一定是17个方程之一，因此，在某种意义上，二次曲面对我们来说就没有任何秘密可言。对于三次曲面，有众多学者从不同角度进行了研究并取得了丰硕的成果 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] ，其中Wanseok，Euisung等研究了在任意特征的k代数闭合场下非正规三次超曲面的分类 [ 4 ] ；Bruce，Wall等重建了复射影三次曲面的分类 [ 5 ] 。但到目前为止，还未见有文献对复合曲面进行了分类研究或给出了其标准方程。

复合曲面简单地说，就是多个函数乘积形成的方程所确定的曲面 [ 6 ] ，是生活中最常见应用最广的曲面，简单如书就是由多个平面复合而成，复杂一点如绝大多数建筑物也是由多个简单的曲面复合而成 [ 7 ] 。三次复合曲面是复合曲面中的重要组成部分，它由二次曲面与平面复合而成，是复合曲面中较基础的部分。本文为了对3次复合曲面的分类问题进行深入的系统的研究，先把平面分类，然后在此基础上，把3次复合曲面分类。把其分为了5个大类，50个小类，并且在不对平面方程中的系数区分正负号的条件下，得到了三次复合曲面的所有150个标准方程。

本文研究的曲面方程都是指实系数方程。

为了阅读方便，我们先罗列一些本文常用到的概念及成果：

定义2.1 [ 6 ] ：由三元n (≥1)次方程

Φ n ( x , y , z ) = ∑ s = 0 n ∑ i , j i + j ≤ s a ( i , j , s − i − j ) x i y j z s − i − j = 0 (1)

所表示的曲面叫做n次曲面，其中i，j及s都是非负整数，并且至少有一个n次项的系数不为0，其中

Φ n ( x , y , z ) 称为n次曲面函数。

当n = 2时，为了便于研究，通常把2次曲面的方程书写为

F ( x , y , z ) = a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2 a 12 x y + 2 a 13 x z + 2 a 23 y z + 2 a 14 x + 2 a 24 y + 2 a 34 z + a 44 = 0 (2)

定义2.2 [ 1 ] ：空间直角坐标变换的一般公式(直角坐标系的平移及转轴变换)：

{ x = x ′ cos α 1 + y ′ cos α 2 + z ′ cos α 1 + x 0 y = x ′ cos β 1 + y ′ cos β 2 + z ′ cos β 3 + y 0 z = x ′ cos γ 1 + y ′ cos γ 2 + z ′ cos γ 3 + z 0 (3)

定理2.1 [ 1 ] ：对二次曲面，通过适当选区直角坐标系，即进行恰当的直角坐标系的平移及转轴变换(3)，二次曲面的一般方程(2)总可化为下列5个简化方程中的一个：

1) a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 44 = 0 , a 11 a 22 a 33 ≠ 0 ;

2) a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z = 0 , a 11 a 22 a 34 ≠ 0 ;

3) a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 = 0 , a 11 a 22 ≠ 0 ;

4) a 11 x 2 + 2 a 24 y = 0 , a 11 a 24 ≠ 0 ;

5) a 11 x 2 + a 44 = 0 , a 11 ≠ 0 。

定理2.2 [ 1 ] ：适当选取坐标系，二次曲面的方程总可以写成下面十七种标准方程的一种形式：

(1) x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 − 1 = 0 (椭球面)；

(2) x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 + 1 = 0 (虚椭球面)；

(3) x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 0 (点或虚母线二次锥面)；

(4) x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 − 1 = 0 (单叶双曲面)；

(5) x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 + 1 = 0 (双叶双曲面)；

(6) x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 (二次锥面)；

(7) x 2 a 2 + y 2 b 2 − 2 z = 0 (椭圆抛物面)；

(8) x 2 a 2 − y 2 b 2 − 2 z = 0 (双曲抛物面)；

(9) x 2 a 2 + y 2 b 2 − 1 = 0 (椭圆柱面)；

(10) x 2 a 2 + y 2 b 2 + 1 = 0 (虚椭圆柱面)；

(11) x 2 a 2 + y 2 b 2 = 0 (相交于一条实直线的一对共轭虚平面)；

(12) x 2 a 2 − y 2 b 2 − 1 = 0 (双曲柱面)；

(13) x 2 a 2 − y 2 b 2 = 0 (一对相交平面)；

(14) x 2 − 2 p y = 0 (抛物柱面)；

(15) x 2 − a 2 = 0 (一对平行平面)；

(16) x 2 + a 2 = 0 (一对平行的共轭虚平面)；

(17) x 2 = 0 (一对重合平面)。

定义3.1：如果一个3次曲面能写成如下形式

Φ 3 ( x , y , z ) = F ( x , y , z ) ( a 1 x + a 2 y + a 3 z + a 4 ) = 0 (4)

其中 F ( x , y , z ) 是2次曲面函数， a 1 x + a 2 y + a 3 z + a 4 是一次曲面(即平面)函数，则称这个3次曲面为3次复合曲面(或可分的3次曲面)；并分别称2次曲面 F ( x , y , z ) = 0与平面 a 1 x + a 2 y + a 3 z + a 4 = 0 为这个3次复合曲面的二次分曲面与分平面；如果不能，则称为不可分的3次曲面。

为了对三次复合曲面进行分类，下面先对平面的分类进行讨论：

定义3.2：设平面的一般方程为

A x + B y + C z + D = 0 (5)

其中实常数A，B，C不全为0。如果在交换变元x，y，z及重新命名平面系数A，B，C与D的条件下，不能化为同一形式的任意两个平面方程，称为不同类型的平面方程。

定理3.1：如果平面方程(5)中的变元x，y，z可以自由交换，则平面方程可以分为以下6类：

(i) A x + B y + C z + D = 0 , A B C D ≠ 0 ( 与 三 个 坐 标 轴 都 相 交 于 非 零 点 的 平 面 )

(ii) A x + B y + C z = 0 , A B C ≠ 0 ( 过 原 点 的 平 面 )

(iii) A x + B y + D = 0 , A B D ≠ 0 ( 平 行 于 坐 标 轴 的 平 面 )

(iv) A x + B y = 0 , A B ≠ 0 ( 过 坐 标 轴 的 平 面 )

(v) A x + D = 0 , A D ≠ 0 ( 平 行 于 坐 标 平 面 的 平 面 )

(vi) A x = 0 或 x = 0 , A ≠ 0 ( 坐 标 平 面 )

证明：在方程(5)中，当A，B，C与D都不为0就是第(i)类；当A，B与C都不为0，且D为0，则化为第(ii)类；当A，B与C中有一个为0，而D不为0，则化为第(iii)类；当A，B与C中有一个为0，且D为0，则化为第(iv)类；当A，B与C中有两个为0，而D不为0，则化为第(v)类；当A，B与C中有两个为0，且D为0，则化为第(vi)类。毫无疑问，(i)~(vi)属于不同的类，因为他们相互间在交换变元x，y，z及重新命名平面系数A，B，C与D的条件下，不能互化。 □

定理3.2：适当选取坐标系，三次复合曲面的一般方程(4)总可化为下列5大类简化方程中的一个：

(I) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 44 ) ( A x + B y + C z + D ) = 0 , a 11 a 22 a 33 ≠ 0 ;

(II) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( A x + B y + C z + D ) = 0 , a 11 a 22 a 34 ≠ 0 ;

(III) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) ( A x + B y + C z + D ) = 0 , a 11 a 22 ≠ 0 ;

(IV) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( A x + B y + C z + D ) = 0 , a 11 a 24 ≠ 0 ;

(V) ( a 11 x 2 + a 44 ) ( A x + B y + C z + D ) = 0 , a 11 ≠ 0 ;

其中A，B，C不全为0。

证明：根据3次复合曲面(4)的2次分曲面 F ( x , y , z ) = 0 的特点，由定理2.1知，适当选取坐标系，即进行恰当的坐标的转轴与平移变换(3)，可以把 F ( x , y , z ) = 0 化为定理2.1中的5种形式，同时此变换把平面方程 a 1 x + a 2 y + a 3 z + a 4 = 0 化为了 A x + B y + C z + D = 0 形式。由于平面方程在任何坐标系下都是一次方程，因此A，B，C不全为0。所以，适当选取坐标系后，任一3次复合曲面(4)都可以化为本定理描述的5大类形式之一。 □

定理3.2的分类是在平面方程 A x + B y + C z + D = 0 中的系数A，B，C不全为0的条件下得到的，并没有考虑A，B，C及D的具体情况。为了得到标准方程，我们有必要加以考虑。由定理3.1知，平面 A x + B y + C z + D = 0 可以分为6类，是否意味着能利用乘法原理，得到由定理3.2的5大类扩展成30小类的结论呢？我们说不能，因为定理3.1有一个先决条件：能自由交换变元x，y，z，而定理3.2中的平面方程 A x + B y + C z + D = 0 中的变元及其系数是不自由的，是被动得到的，因此如果仅考虑A，B，C，D中有几个为0而不考虑他们的正负号的条件下，我们有

定义3.3：在定理3.2的5大分类方程中，如果进一步考虑A，B，C，D中有几个为0而不考虑他们的正负号的条件下得到的方程称为三次复合曲面(4)的小类方程；如果在交换变元x，y，z及重新命名二次分曲面函数系数a_ij(不同大类有不同的a_ij)与平面系数A，B，C的条件下，不能化为同一形式的两个小类方程称为不同类型的小类方程。

从而，在进一步考虑A，B，C，D中有几个为0而不考虑他们的正负号的条件下，我们有下面引理3.1~3.5：

引理3.1：适当选取坐标系，定理3.2中的(I)式可化为下列6小类简化方程中的一个：

(1-1) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 44 ) ( A x + B y + C z + D ) = 0 , A B C D ≠ 0 ;

(1-2) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 44 ) ( A x + B y + C z ) = 0 , A B C ≠ 0 ;

(1-3) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 44 ) ( A x + B y + D ) = 0 , A B D ≠ 0 ;

(1-4) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 44 ) ( A x + B y ) = 0 , A B ≠ 0 ;

(1-5) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 44 ) ( A x + D ) = 0 , A D ≠ 0 ;

(1-6) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 44 ) x = 0 ,

其中 a 11 a 22 a 33 ≠ 0 。

证明：在(I)式中的二次分曲面函数 F ( x , y , z ) = a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 44 关于 x , y , z 对称，使得 A x + B y + C z + D 中的 x , y , z 可以自由交换，满足定理3.1的条件，因此组合分配一下就可得到本引理中的6类简化方程。 □

引理3.2：适当选取坐标系，定理3.2中的(II)式可化为下列10小类简化方程中的一个：

(2-1) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( A x + B y + C z + D ) = 0 , A B C D ≠ 0 ;

(2-2) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( A x + B y + C z ) = 0 , A B C ≠ 0 ;

(2-3) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( A x + B y + D ) = 0 , A B D ≠ 0 ;

(2-4) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( A x + C z + D ) = 0 , A C D ≠ 0 ;

(2-5) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( A x + B y ) = 0 , A B ≠ 0 ;

(2-6) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( A x + C z ) = 0 , A C ≠ 0 ;

(2-7) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( A x + D ) = 0 , A D ≠ 0 ;

(2-8) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( C z + D ) = 0 , C D ≠ 0 ;

(2-9) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) x = 0 ,

(2-10) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) z = 0 ,

其中 a 11 a 22 a 34 ≠ 0 。

证明：(2-1)与(2-2)是显然的，因为分平面函数关于 x , y , z 对称，因此只能形成这两个类。但(2-3)以下的方程与引理3.1中的(1-3)以下的有些不同，因为二次函数 F ( x , y , z ) = a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z 仅关于 x , y 对称，关于x与 z , y 与z都不对称，且定理3.1中的(iii)式中的平面函数 A x + B y + D 也仅关于 x , y 对称，关于x与 z , y 与z不对称，因此x与z或y与z不能交换，这就造成(2-3)与(2-4)是不一样的类，因为通过交换变元及重新命名系数不能实现两个方程的互化，但曲面方程 ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z ) ( B y + C z + D ) = 0 ， B C D ≠ 0 ，不是全新的类，因为它中的x与y交换，并重新命名系数就可以得到(2-4)。因此，在二次分曲面函数为 F ( x , y , z ) = a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2 a 34 z 及平面函数 A x + B y + C z + D 中的系数 A , B , C 中仅有一个为0的条件下，会产生两个完全不同的类(2-3)与(2-4)。同理我们可以得到(2-5)~(2-10)等6个不同的类。 □

引理3.3：适当选取坐标系，定理3.2中的(III)式可化为下列10小类简化方程中的一个：

(3-1) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) ( A x + B y + C z + D ) = 0 , A B C D ≠ 0 ;

(3-2) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) ( A x + B y + C z ) = 0 , A B C ≠ 0 ;

(3-3) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) ( A x + B y + D ) = 0 , A B D ≠ 0 ;

(3-4) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) ( A x + C z + D ) = 0 , A C D ≠ 0 ;

(3-5) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) ( A x + B y ) = 0 , A B ≠ 0 ;

(3-6) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) ( A x + C z ) = 0 , A C ≠ 0 ;

(3-7) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) ( A x + D ) = 0 , A D ≠ 0 ;

(3-8) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) ( C z + D ) = 0 , C D ≠ 0 ;

(3-9) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) x = 0 ,

(3-10) ( a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 44 ) z = 0 ,

其中 a 11 a 22 a 44 ≠ 0 。

证明：与引理3.2的证明类似。 □

引理3.4：适当选取坐标系，定理3.2中的(IV)式可化为下列14小类简化方程中的一个：

(4-1) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( A x + B y + C z + D ) = 0 , A B C D ≠ 0 ;

(4-2) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( A x + B y + C z ) = 0 , A B C ≠ 0 ;

(4-3) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( A x + B y + D ) = 0 , A B D ≠ 0 ;

(4-4) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( A x + C z + D ) = 0 , A C D ≠ 0 ;

(4-5) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( B y + C z + D ) = 0 , B C D ≠ 0 ;

(4-6) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( A x + B y ) = 0 , A B ≠ 0 ;

(4-7) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( A x + C z ) = 0 , A C ≠ 0 ;

(4-8) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( B y + C z ) = 0 , B C ≠ 0 ;

(4-9) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( A x + D ) = 0 , A D ≠ 0 ;

(4-10) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( B y + D ) = 0 , B D ≠ 0 ;

(4-11) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) ( C z + D ) = 0 , C D ≠ 0 ;

(4-12) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) x = 0 ,

(4-13) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) y = 0 ,

(4-14) ( a 11 x 2 + 2 a 24 y ) z = 0 ,

其中 a 11 a 24 ≠ 0 。

证明：(4-1)与(4-2)是显然的。二次分曲面函数 F ( x , y , z ) = a 11 x 2 + 2 a 24 y 关于 x , y , z 都不对称，且定理3.1中的(iii)式中的平面函数 A x + B y + D 仅关于 x , y 对称，关于x与 与z不对称，因此总体而言，x与y，x与z或y与z都不能交换，因此(4-3)与(4-4)是不一样的；另外，与引理3.2不一样的是(4-5) 是全新的类，因为通过交换变元及重新命名系数不能与(4-3)或(4-4)中的任意一个互换。同理我们可以得到(4-6)~(4-14)。 □

引理3.5：适当选取坐标系，定理3.2中的(V)式可化为下列10小类简化方程中的一个：

其中 。

证明：(5-1)与(5-2)是显然的。由于二次分曲面函数 仅关于y与z对称，且定理3.1中的(iii)式中的平面函数 关于 对称，关于x与 与z不对称，因此x与y及x与z都不能交换，这就造成(5-3)与(5-4)是不一样的类，因为通过交换变元及重新命名系数不能互换，但曲面方程 ，不是全新的类，因为它中的y与z交换，并重新命名系数就可以得到(5-3)。同理我们可以得到(5-5)~(5-10)。 □

定理3.3：适当选取坐标系，三次复合曲面的一般方程(4)总可化为引理3.1~3.5中的50小类简化方程中的一个。

证明：由引理3.1~3.5知。 □

本节将探讨3次复合曲面的所有可能的标准方程。这里我们对平面方程中的实系数A，B，C及D仅考虑他们是否为0，而不考虑他们的正负号。

引理4.1：当引理3.1中的2次分曲面函数 具体变为定理2.2中的方程(1)~(6)中的二次曲面函数时，共形成36个标准方程。

证明：当 变为 时，由引理3.1有下面6个标准方程：

(1) ；

(2) ；

(3) ；

(4) ；

(5) ；

(6) 。

同理，当 被二次曲面函数(2) ，(3) ，(4) ，(5) ，(6) 依次代替后，我们可以再得到30个标准方程，不妨依次编号为(7)~(36)。 □

引理4.2：当引理3.2中的2次分曲面函数 具体变为定理2.2中的方程(7) (8)中的二次曲面函数，或当引理3.3中的2次分曲面函数 具体变为定理2.2中的方程(9)~(13)的二次曲面函数时，共形成70个标准方程。

证明：当 具体变为 时，由引理3.2有下面10标准方程：

(37) ；

(38) 。

(39) ；

(40) 。

(41) ；

(42) ；

(43) ；

(44) ；

(45) ；

(46) 。

当 依次被二次曲面函数(8) ，(9) ，(10) ，(11) ，(12) ，(13) 代替时，我们可以再得到编号为(47)~(106)共60个标准方程。 □

引理4.3：当引理3.4中的2次分曲面函数 具体变为定理2.2中的(14)时，共形成14个标准方程。

证明：当 具体变为 时，由引理3.4有下面14个标准方程：

(107) ；

(108) 。

(109) ；

(110) ；

(111) ；

(112) ；

(113) ；

(114) ；

(115) ；

(116) ；

(117) ；

(118) ；

(119) ；

(120) 。

引理4.4：当引理3.5中的2次分曲面函数 具体变为定理2.2中的方程(15)~(17)中的二次分曲面函数时，共形成30个标准方程。

证明：当 具体变为 时，由引理3.5有下面10标准方程：

(121) ；

(122) 。

(123) ；

(124) ；

(125) ；

(126) ；

(127) ；

(128) ；

(129) ；

(130) 。

当 依次被二次曲面函数(16) ，(17) 代替时，可以再得到编号为(131)~(150)共20个标准方程。 □

定理4.1：三次复合曲面(4)，在适当选取坐标系，并不考虑平面系数的正负号条件下，共有150个标准方程。

证明：由引理4.1得36个标准方程；由引理4.2得70个；由引理4.3得14；由引理4.4得30个；故共有150个标准方程。 □

本研究得到云南省高校科技创新团队支持计划资助。

王继兴. 3次复合曲面的分类及其标准方程Classifications of 3-Order Composite Surfaces and Their Standard Equations[J]. 理论数学, 2019, 09(01): 62-70. https://doi.org/10.12677/PM.2019.91009