吴聪聪

安徽工业大学，数理科学与工程学院，安徽 马鞍山

收稿日期：2018年12月12日；录用日期：2019年1月1日；发布日期：2019年1月9日

实值函数是刻画某些拓扑空间的有用工具，许多空间类都可以用满足一定条件的实值函数刻画，如：层空间、k-半层空间等。本文利用实值函数给出了某些具有紧-G_δ性质的空间的函数刻画，如：γ-空间、c-层空间、kc-半层空间等，推广了已有文献中关于层空间，k-半层空间等的一些结果。

关键词 :γ-空间，C-层空间，Kc-半层空间，半连续函数

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本文提到的空间均为 T 2 空间，用 N 表示正整数集。空间X上的实值函数f称为下半连续(上半连续) [ 1 ] ，如果对任意实数 r ，集合 { x ∈ X : f ( x ) > r } ( { x ∈ X : f ( x ) < r } ) 为开集。记 L ( X ) ( U ( X ) ) 为X到闭区间[0, 1]上所有下半连续(上半连续)函数的集合。

设X为拓扑空间，用 τ 表示X上的拓扑， τ c 为X的所有闭集构成的集族， C ( X ) 表示X的所有紧集的集族。设 A ⊂ X ，记 χ A 为A的特征函数。

设f为半连续函数，在什么条件下存在连续函数列 { f n } 使得这一 lim n → ∞ f n = f 问题称为实值函数的函数列逼近问题。Tong在文献 [ 2 ] 证明了空间X是完备正规当且仅当对X上的任意下半连续函数f，存在X上的递增连续函数列 { f n } 使得 lim n → ∞ f n = f 。张国芳在文献 [ 3 ] 证明了空间X是k-半层空间当且仅当对每一 U ∈ τ ，存在递增函数列 满足 lim n → ∞ δ n U = χ U ；若 U , V ∈ τ 且 U ⊂ V ，则对每一 n ∈ N ， δ n U ≤ δ n V ；对每一紧集 K ∈ X ，U为开集且 K ⊂ U ，则存在 n ∈ N 使得对任意 x ∈ U 有 δ m U ( x ) = 1 。完备正规空间，k-半层空间均为具有闭- G δ 性质的空间，由于具有紧- G δ 性质的空间与具有闭- G δ 性质的空间在结构上相似，一个自然的问题是具有紧- G δ 性质的空间是否也有类似的函数刻画。给出某些具有紧- G_δ性质空间如 γ -空间、c-层空间、kc-半层空间的函数刻画。

设X为拓扑空间，若映射 ，满足：对每一 x ∈ X 及 n ∈ N ， x ∈ g ( n , x ) ； g ( n + 1 , x ) ⊂ g ( n , x ) ；则称g为X上的一个g-函数。对于一个子集 A ⊂ X ， g ( n , A ) = ∪ { g ( n , x ) : x ∈ A } 。

定义1.1 [ 4 ] ：空间X称为 -空间。若存在X上的g-函数g，使得若对每一 n ∈ N ， y n ∈ g ( n , x ) 且 x n ∈ g ( n , y n ) ，则 x 为 〈 x n 〉 的聚点。

定义1.2 [ 5 ] ：空间X称为c-半层空间(c-层空间)。若存在X上的g-函数g，使得对每一 K ∈ C ( X ) ， ( K = ∩ n ∈ N g ( n , K ) ¯ )。

定义1.3 [ 6 ] ：空间X称为kc-半层空间。若存在g-函数g，使得对任意 K , H ∈ C ( X ) 且 K ∩ H = Φ ，则存在 m ∈ N 使得 。

本节中，我们将利用实值函数给出 γ -空间，c-层空间，kc-半层空间的若干等价刻画。

引理2.1 [ 7 ] ：X为 γ -空间当且仅当存在X上的g-函数g使得若 K ∈ C ( X ) ， F ∈ τ c 且 K ∩ F = Φ ，则存在 m ∈ N 使得 F ∩ g ( m , K ) = Φ 。

定理2.2：X为 γ -空间当且仅当对每一 K ∈ C ( X ) ，存在递减函数列 满足

(1) lim n → ∞ δ n K = χ K ；

(2) 若 K 1 , K 2 ∈ C ( X ) 且 K 1 ⊂ K 2 ，则对每一 n ∈ N ， δ n K 1 ≤ δ n K 2 ；

(3) 对每一紧集 K ∈ X 及 F ∈ τ c 且 K ∩ F = Φ ，存在 m ∈ N 使得对任意 有 δ m K ( x ) = 0 。

证：设 X 为 γ -空间，g为引理2.1中的g-函数，对每一 n ∈ N 及 K ∈ C ( X ) ，令 δ n K = χ g ( n , K ) ，则 { δ n K : n ∈ N } 关于n递减且 δ n K ∈ L ( X ) 。

(1) 设 K ∈ C ( X ) ，对每一 x ∈ X ，若 x ∈ K ，则对每一 n ∈ N ， x ∈ g ( n , K ) ，于是 lim n → ∞ δ n k ( x ) = 1 = χ k ( x ) ；若 x ∉ K ，则存在 m ∈ N 使得 { x } ∩ g ( m , K ) = Φ ，于是当 n ≥ m 时，有 ，故 lim n → ∞ δ n K ( x ) = 0 = χ K ( x ) 。

(2) 设 K 1 , K 2 ∈ C ( X ) 且 K 1 ⊂ K 2 ，则对每一 n ∈ N ，有 g ( n , K 1 ) ⊂ g ( n , K 2 ) ，由此可得 δ n K 1 ≤ δ n K 2 。

(3) 设 K ∈ C ( X ) ， F ∈ τ c 且 K ∩ F = Φ ，由引理2.1，存在 m ∈ N 使得 ，故对任意 x ∈ F ，有 x ∉ g ( m , K ) ，则 δ m k ( x ) = 0 。

反之，对每一 x ∈ X 及 n ∈ N ，令 g ( n , x ) = { y ∈ X : δ n { x } ( y ) = 1 / 2 } 。由(1)，对每一 ，有 lim n → ∞ δ n { x } ( x ) = χ { x } ( x ) = 1 > 1 / 2 ，故存在 m ∈ N 使得对任意 n ≥ m ， δ n { x } ( x ) > 1 / 2 。由于 { δ n { x } : n ∈ N } 关于n递减，故对每一 n ∈ N ， δ n { x } ( x ) > 1 / 2 ，则 x ∈ g ( n , x ) 。显然对每一 x ∈ X 及 n ∈ N ，有 g ( n + 1 , x ) ⊂ g ( n , x ) ，故g为X上的g-函数。

对每一 n ∈ N 及 K ∈ C ( X ) ，令 G ( n , K ) = { y ∈ X : δ n K ( y ) > 1 / 2 } 。设 y ∈ g ( n , K ) ，则存在 x ∈ K 使得 y ∈ g ( n , x ) ，则 δ n { x } ( y ) > 1 / 2 ，由条件(2)得 1 / 2 < δ n { x } ( y ) ≤ δ n K ( y ) ，故 y ∈ G ( n , K ) ，这表明 g ( n , K ) ⊂ G ( n , K ) 。设 x ∈ F ， F ∈ τ c 且 K ∩ H = Φ ，由条件(3)，存在 m ∈ N 使得对任意 x ∈ F 有 δ m K ( x ) = 0 ，故 F ∩ G ( m , K ) = Φ ，从而 F ∩ g ( m , K ) = Φ 。由引理2.1， X 为 γ -空间。

定理2.3：X为 γ -空间当且仅当对每一 K ∈ C ( X ) ，存在递减函数列 { δ n K ∈ L ( X ) : n ∈ N } 满足：

(1) 对每一 及 K ∈ C ( X ) ，若 x ∈ K ，则 δ n K ( x ) = 1 ；

(2) 若 K 1 , K 2 ∈ C ( X ) 且 K 1 ⊂ K 2 ，则对每一 n ∈ N ，有 ；

(3) 若 K ∈ C ( X ) ， F ∈ τ c 且 K ∩ F = Φ ，则 〈 δ n K 〉 在 F 上一致收敛于0。

证：设 X 为 γ -空间，g为引理2.1中的g-函数，对每一 n ∈ N 及 K ∈ C ( X ) ，令 δ n K = χ g ( n , K ) 则 { δ n K : n ∈ N } 关于 n 递减且 δ n K ∈ L ( X ) 。(1)，(2)显然成立。

(3)设 K ∈ C ( X ) ， F ∈ τ c 且 ，由引理2.1，存在 m ∈ N 使得 F ∩ g ( m , K ) = Φ 。对 ∀ ε > 0 ，当 n ≥ m 时，对任意 x ∈ F 有 x ∉ g ( n , K ) ，故 | δ n k ( x ) − 0 | < ε ，这说明 〈 δ n K 〉 在 F 上一致收敛于0。

反之，对每一 x ∈ X 及 n ∈ N ，令 。由(1)知，每一 x ∈ X 及 n ∈ N ， x ∈ g ( n , x ) ，又 g ( n + 1 , x ) ⊂ g ( n , x ) ，故g为X上的g-函数。对每一 n ∈ N 及 k ∈ c（x） ，令 G ( n , K ) = { y ∈ X : δ n K ( y ) > 1 / 2 } ，由定理2.2的充分性的证明知 g ( n , K ) ⊂ G ( n , K ) 。设 K ∈ C ( X ) ， 且 K ∩ F = Φ ，由条件(3)， 〈 δ n K 〉 在 F 上一致收敛于0，则存在 m ∈ N ，对任意 x ∈ F ，有 δ m K ( x ) = 0 ，于是 F ∩ G ( m , K ) = Φ ，故 F ∩ g ( m , K ) = Φ ，则X为 γ -空间。

定理2.4：X为正则 -空间当且仅当对每一 K ∈ C ( X ) ，存在递减函数列 ，满足：

(1) lim n → ∞ δ n K = χ K ；

(2) 若 K 1 , K 2 ∈ C ( X ) 且若 K 1 ⊂ K 2 ，则对每一 n ∈ N ，有 δ n K 1 ≤ δ n K 2 ；

(3) 若 K ∈ C ( X ) ， F ∈ τ c 且 K ∩ F = Φ ，则存在开集 V ⊃ F 及 m ∈ N 使得对任意 x ∈ V 有 δ m K (x)=0 。

证：设 X 为 γ -空间，g为引理2.1中的g-函数，对每一 及 ，令 δ n K = χ g ( n , K ) ，则 { δ n K : n ∈ N } 关于 n 递减且 δ_nk∈L (X) 。(1) (2)的证明同定理2.2。设 K ∈ C ( x ) ， F ∈ τ c 且 K ∩ F = Φ ，由于 X 为正则空间，故X的无交开集U，V使得 K ⊂ U , F ⊂ V ，存在 m ∈ N 使得 g ( m , K ) ⊂ U ，则 V ∩ g ( m , K ) = Φ ，故对任意一 x ∈ V ，有 δ m K ( x ) = 0 。

反之，由定理2.2知X为 γ -空间，下证 X 为正则空间。对每一 x ∈ X 及 n ∈ N ，令 U n ( x ) = { y ∈ X : δ n { x } ( y ) > 1 / 2 } 。设 x ∉ F ∈ τ c ，由(3)得，存在开集 及 n ∈ N 使得对任意 y ∈ V ， δ m { x } ( y ) = 0 ，则 y ∉ U m ( x ) ，故 ，这说明 X 为正则空间。

定理2.5：X为c-层空间当且仅当对每一 K ∈ C ( x ) ，存在递减函数列 ( δ n K ∈ L ( X ) : n ∈ N ) 及 { ζ n K ∈ U ( X ) : n ∈ N } 满足：

(1) lim n → ∞ δ n K = lim n → ∞ ζ n K = χ K ；

(2) 若 K 1 , K 2 ∈ C ( x ) 且 K 1 ⊂ K 2 ，则对每一 ， δ n K 1 ≤ δ n K 2 ；

(3) 对每一 K ∈ C ( X ) 及 n ∈ N ， δ n K ≤ ζ n K 。

证：设 g 为X的c-层函数，对每一 n ∈ N 及 K ∈ C ( X ) ，令 δ n K = χ g ( n , K ) ， ζ n K = χ g ( n , k ) ¯ ，则 { δ n K ∈ L ( X ) : n ∈ N } 关于n递减且 ζ n K ( X ) ∈ U ( X ) 。(2) (3)显然成立。

(1) 设 x ∈ X ，若 χ K ( x ) = 1 ，则 x ∈ K ，则对每一 n ∈ N ，有 x ∈ g ( n , K ) ⊂ g ( n , K ) ¯ ，则 lim n → ∞ δ n K ( x ) = lim n → ∞ ζ n K ( x ) = 1 = χ K ( x ) ；若 χ K ( x ) = 0 ，则 x ∉ K ，故存在 m ∈ n 使得对任意 n ≥ m ，有 ，于是 lim n → ∞ δ n K ( x ) = lim n → ∞ ζ n K ( x ) = 0 = χ K ( x ) 。

反之，对每一 x ∈ X 及 n ∈ N ，令 g ( n , x ) = { y ∈ X : δ n { x } ( y ) > 1 / 2 } ，则g为X上的g-函数。对每一 n ∈ N 及 K ∈ C ( X ) ，令 F ( n , K ) = { x ∈ X : ζ n K ( x ) ≥ 1 / 2 } ，则 F ( n , K ) ∈ τ c 。设 y ∈ g ( n , K ) ，则存在 x ∈ K 使得 y ∈ g ( n , x ) 。由条件(2)，(3)得 ，故 y ∈ F ( n , K ) ，这表明 g ( n , K ) ⊂ F ( n , K ) ，故 g ( n , K ) ¯ ⊂ F ( n , K ) 。

设 ，则对每一 n ∈ N ， x ∈ g ( n , K ) ¯ ⊂ F ( n , K ) ，则 χ K ( x ) = lim n → ∞ ζ n K ( x ) ≥ 1 / 2 ，故 x ∈ K ，这说明 ∩ n ∈ N g ( n , K ) ¯ ⊂ K ，于是 K = ∩ n ∈ N g ( n , K ) ¯ 。故 X 为c-层空间。

定理2.6：X为kc-半层空间当且仅当对每一 K ∈C(x) ，存在递减函数列 满足

(1) ；

(2) 若 K 1 , K 2 ∈ C ( x ) 且 K 1 ⊂ K 2 ，则对每一 n ∈ N ，有 δ n K 1 ≤ δ n K 2 ；

(3)若 K , H ∈ C ( x ) 且 K ∩ H = Φ ，则存在 m ∈ N 使得对任意 x ∈ H 有 δ m K ( x ) = 0 。

证：设g为kc-半层函数，对每一 n ∈ N 及 K ∈ C ( X ) ，令 δ n k ( X ) = χ g ( n , K ) ，则 { δ n K : n ∈ N } 关于 n 递减且 δ n K ∈ L ( X ) 。(1) (2)的证明同定理2.2。设 K , H ∈ C ( x ) 且 K ∩ H = Φ ，则存在 m ∈ N 使得 H ∩ g ( m , K ) = Φ ，故对任意 x ∈ H ， δ m K ( x ) = 0 。

反之，对每一 x ∈ X 及 n ∈ N ，令 g ( n , x ) = { y ∈ X : δ n { x } ( y ) > 1 / 2 } ，则g为X上的g-函数。对每一 n ∈ N 及 K ∈ C ( X ) ，令 ，则 g ( n , K ) ⊂ G ( n , K ) 。设 K , H ∈ C ( X ) 且 K ∩ H = Φ ，由条件(3)，存在 m ∈ N 使得对任意 有 δ m K ( x ) = 0 ，故 H ∩ G ( m , K ) = Φ ，从而 H ∩ g ( m , K ) = Φ 。故 X 为kc-半层空间。

由定理2.2的证明可得：

定理2.7：X为kc-半层空间当且仅当对每一 K ∈ C ( x ) ，存在递减函数列 { δ n K ∈ L ( X ) : n ∈ N } 满足

(1) 对每一 n ∈ N 及 K ∈ C ( x ) ，若 x ∈ K ，则 δ n K ( x ) = 1 ；

(2) 若 K 1 , K 2 ∈ C ( x ) 且 K 1 ⊂ K 2 ，则对每一 n ∈ N ，有 δ n K 1 ≤ δ n K 2 ；

(3) 若 K , H ∈ C ( x ) ，且 K ∩ H = Φ ，则 〈 δ n K 〉 在 H 上一致收敛于0。

由定理2.5的证明可得：

命题2.8：X为c-半层空间当且仅当对每一 K ∈C(x)，存在递减函数列 { δ n K ∈ L ( X ) : n ∈ N } 满足

(1) lim n → ∞ δ n K = χ K ；

(2) 若 且 K 1 ⊂ K 2 ，则对每一 n ∈ N ，有 δ n K 1 ≤ δ n K 2 。

吴聪聪. 某些具有紧-Gδ性质的空间的函数刻画 Function Characterizations of Some Spaces with Compact Gδ-Property[J]. 理论数学, 2019, 09(01): 49-53. https://doi.org/10.12677/PM.2019.91007