设D是一个整环，Q是其商域，本文证明了x是D上的未定元，当且仅当x是Q上的未定元。 Let D be an integral domain and Q be its field of fractions. It is proved in this note that x is an inde-terminate over D if and only if so is x over Q.
陈意，陈晓友*
河南工业大学，理学院，河南 郑州
收稿日期：2018年12月12日；录用日期：2019年1月1日；发布日期：2019年1月9日
设D是一个整环，Q是其商域，本文证明了x是D上的未定元，当且仅当x是Q上的未定元。
关键词 :未定元，整环，商域，多项式环
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本文所使用的符号和术语都是标准的，可参考 [
假定 R 0 是一个具有单位元的交换环， R 是 R 0 的子环并且包含 R 0 的单位元。设 α ∈ R 0 ，一个可以写成
a 0 + a 1 α + ⋯ + a n α n ( a i ∈ R , i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n )
形式的
R 0 的一个元 x 称作 R 上的一个未定元，如果在 R 里找不到不全为零的元 a 0 , a 1 , ⋯ , a n 使得
a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n = 0
令 b 0 + b 1 x + ⋯ + b n x n 是环 R 上一个一元多项式，则非负整数 n 称为这个多项式的次数。特别地，多项式0没有次数。
值得注意的是， R 0 中未必存在 R 上的未定元。例如，有理数集合中就不存在整数集合上的未定元。不过，却有如下的结论：
给定具有单位元的交换环 R ，必存在 R 上的未定元
在本文中，关于未定元的刻画，我们有下面的结论。
命题1：设D是一个整环，Q是D的一个商域，则 x 是D上的一个未定元，当且仅当 x 是Q上的未定元。
为命题的证明，我们需要下面的几个引理，其中引理1与引理3分别是[3，第三章第十节定理1]和[3，第三章第十节定理3]。
引理1：无零因子的交换环 R 必是一个域 F 的子环，其中 F 刚好是由所有元
a b ( a , b ∈ R , b ≠ 0 )
所做成的，其中
a b = a b − 1 = b − 1 a 。
引理2：若 R 是一个整环，则 R 上的一元多项式环 R [ x ] 也是一个整环。
证明：注意到， R [ x ] 是一个有单位元的交换环。要证 R [ x ] 是一个整环，只需证明 R [ x ] 是没有零因子。
设 f ( x ) , g ( x ) ∈ R [ x ] , f ( x ) ≠ 0 , g ( x ) ≠ 0 ，那么 f ( x ) 和 g ( x ) 可写成
f ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a m x m ( a i ∈ R , i = 1 , 2 , ⋯ , m )
g ( x ) = b 0 + b 1 x + ⋯ + b n x n ( b j ∈ R , j = 1 , 2 , ⋯ , n )
的形式，这里 a m ≠ 0 , b n ≠ 0 。于是
f ( x ) g ( x ) = c 0 + c 1 x + ⋯ + c m + n x m + n ( c k ∈ R , k = 1 , 2 , ⋯ , m + n ) 。
但 a m , b n ∈ R ，而 R 无零因子，所以 c m + n = a m b n ≠ 0 ，从而 f ( x ) g ( x ) ≠ 0 。因此， R [ x ] 无零因子。
引理3：若 R 是一个至少含两个元素的环， F 是一个包含 R 的域，则 F 包含 R 的一个商域。
命题的证明：若 x 为Q上的一个未定元，则由D ⊂ Q可知 x 也是D上的未定元。
设 x 为D上的未定元，由Q是D的商域可知 x ∉ Q ，下证 x 也是Q上的未定元。因 x 为D上的未定元，所以存在一元多项式环 D [ x ] 。由引理2，可知 D [ x ] 也为整环。从而，存在域F使得 D [ x ] 成为F的子环。注意到，D ⊂ F。由引理3，Q ⊂ F。
在F中考虑运算，假设有Q中不全为零的元 c 0 b 0 , c 1 b 1 , ⋯ , c n b n ，其中 c 0 , c 1 , ⋯ , c n ∈ D 不全为零， b 0 , b 1 , ⋯ , b n ∈ D 均不为零，使得
c 0 b 0 + c 1 b 1 x + ⋯ + c n b n x n = 0 。
于是，
1 b 0 b 1 ⋯ b n ( c 0 b 1 ⋯ b n + c 1 b 0 b 2 ⋯ b n x + ⋯ + c n b 0 b 1 ⋯ b n − 1 x n ) = 0 。
故
c 0 b 1 ⋯ b n + c 1 b 0 b 2 ⋯ b n x + ⋯ + c n b 0 b 1 ⋯ b n − 1 x n = 0 。
由于 x 为D上的未定元，所以，
c 0 b 1 ⋯ b n = 0 , c 1 b 0 b 2 ⋯ b n = 0 , ⋯ , c n b 0 b 1 ⋯ b n − 1 = 0
又D无零因子，故 c 0 , c 1 , ⋯ , c n 均为零，矛盾。
作者感谢河南工业大学理学院科教融合项目以及河南工业大学“大学生创新创业训练计划项目”的支持。作者同时感谢审稿人的宝贵意见。
本文由河南工业大学项目(26510009)、河南省教育厅项目(17A110004)以及科技厅项目(182102410049)资助。
陈 意,陈晓友. 关于未定元的注记A Note on the Indeterminate[J]. 理论数学, 2019, 09(01): 46-48. https://doi.org/10.12677/PM.2019.91006