一维守恒律方程为

其中 f ( u ) 为流通量。用有限体积法对(1)进行离散，首先将计算区间 剖分为N等分， a = x 1 2 ≤ x 3 2 ≤ ⋯ ≤ x N + 1 2 = b 且每个控制单元为 I j = [ x j − 1 2 , x j + 1 2 ] ，其长度为 Δ x = b − a N ，对(1)在区间 I j 上进行积分，则有：

∫ x j − 1 2 x j + 1 2 u t d x + ∫ x j − 1 2 x j + 1 2 f ( u ) x d x = 0

令 ∫ u ( x j , t ) d x Δ x = u ¯ ( x j , t ) ，称其为积分平均值，于是可以得到

d u ¯ ( x j , t ) Δ x = − f ( u j + 1 2 , t ) − f ( u j − 1 2 , t ) Δ x

利用数值通量逼近上式如下：

d u ¯ ( x j , t ) Δ x = − f ^ j + 1 2 − f ^ j − 1 2 Δ x

其中 u ¯ j ( t ) 是 的数值近似，数值流通量 f ^ j + 1 2 来近似逼近 f ( u j + 1 2 , t ) ，其中

f ^ j + 1 2 = f j + 1 2 ( u j + 1 2 − , u j + 1 2 + )

Lax-Friedrichs型的数值流通量为：

f ^ ( u + , u − ) = 1 2 [ f ( u + ) + f ( u − ) − α ( u + − u − ) ] (1)

其中 α = max u ∈ ( u + , u − ) | f ′ ( u ) | 。

本文构造了的非线性权的QUICK格式来逼近对流项 ，有如下格式

u j + 1 2 − = ( − 1 6 + 1 6 ω ) u ¯ j − 1 + ( 5 6 + 1 6 ω ) u ¯ j + ( 2 6 − 2 6 ω ) u ¯ j + 1 (2)

(3)

其中 ω 为权，当解在光滑区域时，此时 ，数值格式变为三阶QUICK格式；当解在间断区域时，此时 ω = 1 ，数值格式变为一阶迎风格式，一阶格式可以抑制振荡，于是如何判断光滑与间断成为了关键问题。

为了有效的判断光滑与间断，使得格式在光滑处利用三阶QUICK格式，在间断处利用一阶迎风格式。根据对文献 [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] 里k个模板下的光滑因子 β r 进行分析，

β r = ∑ l = 1 k − 1   Δ x 2 l − 1 ∫ x j − 1 2 x j + 1 2 ( d l d x l p r ( x ) ) 2 d x (4)

其中 是在k个模板 s r ( i ) = { x i − r , ⋯ , x i − r + k − 1 } , r = 0 , 1 , 2 ⋯ , k − 1 下构建的多项式。(4)右侧的积分是在 I j 上插值多项式 的所有导数的在 L 2 范数下的平方和。可知当 k = 3 时，根据文献 [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] 中对光滑度的测量 β r ，我们引入如下形式的光滑因子，

r ( j ) = ( u ¯ j + 1 − 2 u ¯ j + u ¯ j − 1 ) 2 + ( u ¯ j + 1 − u ¯ j − 1 ) 2

通过分析计算可知，在连续时 r ( j ) 之间几乎相同，而在间断处 r ( j ) 之间存在较大的变化， r ( j ) 对数值解的间断部分比较敏感，通过分析文献 [ 6 ] ，我们给出了的如下光滑参数：

可以很好的衡量数值解的陡度和光滑程度，在光滑处通过泰勒展开可知 lim Δ x → 0 ∅ = 1 ，而在间断处 ∅ 的值变化比较大，由于 ∅ 值在间断处的变化不能够明确的界定间断与光滑，为了更加明确的判断，分析了以上的光滑因子与光滑参数的特性，我们给出 ∅ 的界定值，构造出了如下间断阈值：

r a t i o = ( max { u ¯ j } − min { u ¯ j } ) 2 max { r ( j − 1 ) , r ( j ) , r ( j + 1 ) } + d d r max , j = 1 , 2 , ⋯ , N

其中 d d r max = max { ( u ¯ j + 1 − 2 u ¯ j + u ¯ j − 1 ) 2 } ，通过大量实验发现在间断处有 ∅ > r a t i o ，而在光滑处有 ，根据算例发现通过 与 的比较确实能够有效的判断间断与光滑区域。

{ ∂ u ∂ t + a ∂ u ∂ x = 0 u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) , x ∈ [ a , b ] , t > 0 (4)

无粘burgers方程解会随着时间的推移产生间断，给数值求解带来了很大困难，本文利用新格式求解此方程如下，

图3. 复杂结构初始条件下的非线性QUICK格式和QUICK格式的数值解与精确解

∂ u ∂ t + ∂ ( u 2 2 ) ∂ x = 0 , x ∈ [ 0 , 2 ] , t = 1.5 π

其初始条件为 u ( x , 0 ) = 0.5 + sin ( 2 π x ) ，新格式的数值解图像及QUICK格式的数值解的图像如图4：

图4. Burgers方程的非线性QUICK格式和QUICK格式的数值解与精确解

由新格式与QUICK格式的数值解与精确解的图像比较可发现，在随着时间的推移，在逼近解的间断处时，QUICK格式下的数值解会有明显的振荡，而在非线性QUICK格式下的数值解会避免振荡，有很好的逼近效果。