苏彩娴

广东技术师范学院计算机科学学院，广东 广州

收稿日期：2018年11月23日；录用日期：2018年12月17日；发布日期：2018年12月24日

应用同调方法显式计算Chua’s系统Bogdanov-Takens分岔的规范型和普适开折，并画出对应的分岔图。

关键词 :Bogdanov-Takens分岔，规范型，普适开折，Chua’s系统

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1983年，蔡少棠教授首次提出蔡氏电路 [ 1 ] ，这个系统拥有复杂的动力学行为，广泛应用于电子学方面 [ 2 ] 。本文主要基于参数依赖的中心流形，利用参数依赖的归一化方法 [ 3 ] [ 4 ] 来分析Chua’s系统的Bogdanov-Takens分岔。文章第二和第三部分分别介绍了对称系统Bogdanov-Takens (BT)分岔规范型和普适开折的计算公式，第四部分计算Chua’s系统相应分岔的规范型和普适开折，并画出它的分岔图。

考虑以下 Z 2 对称系统

x ˙ = f ( x , α ) , (1)

其中 x ∈ R n ( n ≥ 2 ) ， α ∈ R 2 ， f : R n × R 2 → R n 充分光滑。向量场(1)在变换 x → − x 下保持不变，当 α = α ∗ 时，有平衡点 x = x ∗ = 0 ，系统的雅可比矩阵 J ( x , α ) 在 ( x ∗ , α ∗ ) 处非零并且有二重零特征值，由向量场(1)的对称性，其可展开为如下形式：

x ˙ = A x + 1 6 C ( x , x , x ) + ⋯ , (2)

其中 A = J ( 0 , α ∗ ) ， C ( x , z , w ) = ∑ i , j , k = 1 n ∂ 3 f ( x ∗ , α ∗ ) ∂ x i ∂ x j ∂ x k y i z j w k ，其余类似。设(1)的规范型和普适开折分别 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]：

{ x ˙ 1 = x 2 , x ˙ 2 = c 30 x 1 3 + c 21 x 1 2 x 2 , (3)

{ x ˙ 1 = x 2 , x ˙ 2 = η 1 x 1 + η 2 x 2 + c 30 x 1 3 + c 21 x 1 2 x 2 . (4)

定理1：根据临界中心流形不变性和Fredholm择一性定理，向量场(1)相应于BT分岔规范型(3)，其系数计算公式如下 [ 9 ]：

c 30 = 1 6 p 2 Τ C ( q 1 , q 1 , q 1 ) , (5)

c 21 = 1 2 p 2 Τ C ( q 1 , q 1 , q 2 ) + 1 2 p 1 Τ C ( q 1 , q 1 , q 1 ) , (6)

其中 q 1 , q 2 和 p 1 , p 2 分别为A和A^T的广义特征向量，且满足：

A q 1 = 0 ,     A q 2 = q 1 ,     A Τ p 2 = 0 ,     A Τ p 1 = p 2 , (7)

p 1 Τ q 1 = p 2 Τ q 2 = 1 ,     p 1 Τ q 2 = p 2 Τ q 1 = 0. (8)

考虑参数 α 在 α ∗ 附近扰动，扰动量为 Δ = α − α ∗ ，此时(1)式可展开为如下形式：

x ˙ = A x + 1 6 C ( x , x , x ) + A 1 ( x , Δ ) + 1 6 C 1 ( x , x , x , Δ ) + 1 2 A 2 ( x , Δ , Δ ) + ⋯ , (9)

其中 A , C 如前所述， A 1 ( y , Δ ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 2 ∂ 2 f ( 0 , α ∗ ) ∂ x i ∂ α j y i Δ j ， C 1 , A 2 , ⋯ 类似。

将原始参数和开折参数的关系表示为 Δ = V ( η ) ，进一步采用如下平方逼近：

Δ i = V i ( η ) = a i η 1 + b i η 2 + c i η 1 2 + d i η 1 η 2 + e i η 2 2 + Ο ( ‖ η ‖ 3 ) ,     i = 1 , 2. (10)

定理2：设(1)的BT分岔是非退化的，相应于普适开折(4)，根据Fredholm择一定理，比较同调代数方程中 ω 1 i ω 2 j η 3 k η 4 l ( i + j = 1 , k + l = 1 , 2 ) 项的系数得到如下线性代数方程 [ 10 ]：

p 2 Τ A 1 ( q 1 , a ) = 1 , (11)

p 2 Τ A 1 ( q 1 , b ) = 0 , (12)

p 1 Τ A 1 ( q 1 , a ) + p 2 Τ A 1 ( q 2 , a ) = 0 , (13)

p 1 Τ A 1 ( q 1 , b ) + q 2 Τ A 1 ( q 2 , b ) = 1. (14)

由(11)~(14)可解得a，b，以下方程可以求得c，d和e：

p 2 Τ A 1 ( q 1 , c ) = p 2 Τ ( h 0110 − A 1 ( h 1010 , a ) − 1 2 A 2 ( q 1 , a , a ) ) , (15)

p 2 Τ A 1 ( q 1 , d ) = p 2 Τ ( h 0101 − A 1 ( h 1001 , a ) − A 1 ( h 1010 , b ) − A 2 ( q 1 , a , b ) ) , (16)

p 2 Τ A 1 ( q 1 , e ) = − p 2 Τ ( A 1 ( h 1001 , b ) + 1 2 A 2 ( q 1 , b , b ) ) , (17)

( p 1 Τ , p 2 Τ ) ( A 1 ( q 1 , c ) A 1 ( q 2 , c ) ) = p 1 Τ h 0110 − ( p 1 Τ , p 2 Τ ) ( A 1 ( h 1010 , a ) A 1 ( h 0110 , a ) ) − 1 2 ( p 1 Τ , p 2 Τ ) ( A 2 ( q 1 , a , a ) A 2 ( q 2 , a , a ) ) , (18)

( p 1 Τ , p 2 Τ ) ( A 1 ( q 1 , d ) A 1 ( q 2 , d ) ) = ( p 1 Τ , p 2 Τ ) ( h 0101 h 0110 ) − ( p 1 Τ , p 2 Τ ) ( A 1 ( h 1001 , a ) + A 1 ( h 1010 , b ) A 1 ( h 0101 , a ) + A 1 ( h 0110 , b ) ) − ( p 1 Τ , p 2 Τ ) ( A 2 ( q 1 , a , b ) A 2 ( q 2 , a , b ) ) , (19)

( p 1 Τ , p 2 Τ ) ( A 1 ( q 1 , e ) A 1 ( q 2 , e ) ) = p 2 Τ h 0101 − ( p 1 Τ , p 2 Τ ) ( A 1 ( h 1001 , b ) A 1 ( h 0101 , b ) ) − 1 2 ( p 1 Τ , p 2 Τ ) ( A 2 ( q 1 , b , b ) A 2 ( q 2 , b , b ) ) , (20)

其中 h i j k l ( i + j = 1 , k + l = 1 ) 是如下奇异线性代数方程的任意解：

p 2 Τ ( h 1010 , h 1001 ) = − p 1 Τ ( A 1 ( q 1 , a ) , A 1 ( q 1 , b ) ) , (21)

p 2 Τ ( h 0110 , h 0101 ) = p 1 Τ ( h 1010 , h 1001 ) − p 1 Τ ( A 1 ( q 2 , a ) , A 1 ( q 2 , b ) ) . (22)

通过以上方程计算，并消去 h 10 k l ( k + l = 2 ) ，可以确定参数变换 Δ = V ( η ) ，从而求得开折参数 η = V − 1 ( Δ ) ，且分岔的横截性条件为：

| ∂ ( η 1 , η 2 ) ∂ ( α 1 , α 2 ) | α = α ∗ = | ∂ ( η 1 , η 2 ) ∂ ( Δ 1 , Δ 2 ) | Δ = 1 | a 1 b 1 a 2 b 2 | ≠ 0.

如果(1)的双零分岔满足非退化和横截性条件，则当 α 在 α ∗ 附近扰动，普适开折(4)对不同的 c 30 ( Δ ) 和 c 21 ( Δ ) ，其分岔图和相图的拓扑结构与 c 30 = c 30 ( 0 ) 和 c 21 = c 21 ( 0 ) 时相同 [ 13 ] 。

以下为本文研究的立方非线性Chua’s系统 [ 11 ] 。

{ x ˙ 1 = β ( x 2 − γ x 1 − δ x 1 3 ) , x ˙ 2 = x 1 − x 2 + x 3 , x ˙ 3 = − h x 2 . (23)

容易验证：当 α ∗ = ( β , 0 , δ , β ) 时，系统(23)有平衡点 x ∗ = 0 ，它的Jacobi矩阵在平衡点处为 A = ( 0 β 0 1 − 1 1 0 − β 0 ) 。令 | A − λ I | = 0 ，解得特征值 λ 1 , 2 = 0 ， λ 3 = − 1 ，根据(7)和(8)得到广义特征向量为：

q 1 = ( − v 0 v ) ,     q 2 = ( − u − v β − v β u ) ,     p 1 = ( u β v 2 + β v − β v u β v 2 + β v + 1 v ) ,     p 2 = ( − β v 0 − β v ) ,

其中 u , v ≠ 0 为任意非零实数，计算 C , A 1 , C 1 , A 2 为：

C ( y , z , ω ) = ( − 6 β δ y 1 z 1 ω 1 0 0 ) ,     A 1 ( y , u ) = ( − β y 1 u 2 + y 2 u 1 0 0 ) , C 1 ( y , z , w , u ) = ( − 6 δ y 1 z 1 w 1 u 1 0 0 ) ,     A 2 ( y , u , v ) = ( − y 1 u 1 v 2 − y 1 u 2 v 1 0 0 ) .

由(5)和(6)得到(23)的系数规范型

{ c 30 = 1 6 p 2 Τ ( q 1 , q 1 , q 1 ) = − v 2 β 2 δ , c 21 = 1 2 p 2 Τ ( q 1 , q 1 , q 2 ) = 3 v 2 β δ ( β − 1 ) . (24)

系统(23)满足BT分岔非退化条件 c 30 c 21 ≠ 0 ，从而 β δ ≠ 0 和 β ≠ 1 时，然后扰动参数向量 ( β , γ , δ , h ) ，由临界值 ( β , 0 , δ , β ) 变成 ( β + Δ 1 , Δ 2 , δ , β ) 由(11)~(14)得到线性项的系数如下：

a 1 = 1 − 1 β ,     b 1 = 1 ,     a 2 = − 1 β 2 ,     b 2 = 0 ,

将以上系数代入(21)和(22)得

h 1010 = ( − u − v + ( C 4 − C 5 + C 6 − C 8 ) β 2 β − u β − ( C 4 − C 3 + C 6 − C 8 ) β ) ,

h 1001 = ( u + ( C 7 − C 8 ) β + ( 1 2 C 1 − 1 2 C 2 + 1 2 C 3 − C 5 ) β 2 − u − ( C 7 − C 8 ) β + ( 1 2 C 1 − 1 2 C 2 + 1 2 C 3 − C 5 ) β 2 ) ,

h 0110 = ( − 2 u + 2 ( C 4 − C 5 + C 6 − C 8 ) β + ( C 1 − C 2 + C 3 ) β 2 2 β C 4 − C 5 + C 6 − C 8 − ( C 4 − C 5 + C 6 − C 8 ) β ) ,

h 0101 = ( − 2 v + 2 ( C 7 − C 8 ) β + ( C 1 − C 2 + C 3 − 2 C 5 + 2 C 8 ) β 2 2 β ( 1 2 C 1 − 1 2 C 2 + 1 2 C 3 − C 5 ) β − u − ( C 7 − C 8 ) β − ( 1 2 C 1 − 1 2 C 2 + 1 2 C 3 − C 5 ) β 2 ) .

这里 u , v 和 C i ( i = 1 , 2 , ⋯ , 8 ) 为任意实数，由上面(15)~(20)，得到二次项系数为：

c 1 = 1 β 2 ,     d 1 = − 2 β ,     e 1 = 1 ,     c 2 = 2 β 3 − 1 β 4 ,     d 2 = 1 β 2 + 1 β 3 ,     e 2 = 0.

令 η i = f i Δ 1 + g i Δ 2 + h i Δ 1 2 + j 1 Δ 1 Δ 2 + k i Δ 2 2 + Ο ( ‖ Δ ‖ 3 ) , i = 1 , 2 ，并代入 Δ = V ( η ) ，将以上两式代入(10)式，比较两端系数可以得到开折参数如下：

{ η 1 = − β 2 Δ 2 + β 4 Δ 2 2 − ( β − β 2 ) Δ 1 Δ 2 + Ο ( ‖ Δ ‖ 3 ) , η 2 = Δ 1 − ( β − β 2 ) Δ 2 − Δ 1 2 − ( 1 − 2 β + 3 β 2 ) Δ 1 Δ 2             + ( β 3 − 2 β 4 ) Δ 2 2 + Ο ( ‖ Δ ‖ 3 ) . (25)

由于 1 | a 1 b 1 a 2 b 2 | = 1 β 2 ≠ 0 ，故横截性满足，从而当 β δ ≠ 0 和 β ≠ 1 时， β 和 γ 可以作为系统(23)的分岔参数使系统发生完整双零分岔，本文可以计算2次精确度的开折参数，而文献 [ 12 ] 中计算的分岔参数仅是我们计算的线性部分。

最后，取 β = 2 ， δ = 1 ，则系统参数变成 ( β , γ , δ , h ) = ( 2 + Δ 1 , Δ 2 , 1 , 2 ) ，由上面(24)和(25)得相应系数 c 30 = 4 v 2 ， c 21 = − 6 v 2 ， η 1 = − 4 Δ 2 + 2 Δ 1 Δ 2 + 16 Δ 2 2 + Ο ( ‖ Δ ‖ 3 ) ， η 2 = Δ 1 + 2 Δ 2 − Δ 1 2 − 9 Δ 1 Δ 2 − 24 Δ 2 2 + Ο ( ‖ Δ ‖ 3 ) .根据文献 [ 13 ] ，可得分岔曲线如下：

R = { ( η 1 ( Δ ) , η 2 ( Δ ) ) | η 1 = 0 , η 2 ≠ 0 } = { ( Δ 1 , Δ 2 ) | Δ 2 = 0 , Δ 1 ≠ 0 } ,

H = { ( η 1 ( Δ ) , η 2 ( Δ ) ) | η 1 = 0 , η 2 < 0 } = { ( Δ 1 , Δ 2 ) | Δ 2 = − 1 2 Δ 1 + 5 Δ 1 2 4 + Ο ( Δ 1 3 ) , Δ 1 < 0 } ,

H L = { ( η 1 ( Δ ) , η 2 ( Δ ) ) | η 2 = c 21 5 | c 30 | η 1 + Ο ( η 1 3 / 2 ) , η 1 < 0 } = { ( Δ 1 , Δ 2 ) | Δ 2 = − 5 4 Δ 1 + 205 Δ 1 2 8 + Ο ( Δ 1 3 ) , Δ 1 < 0 } .

其分岔图见图1。

图1. 系统(23)在临界参数 α ∗ = ( β , γ , δ , h ) = ( β , 0 , δ , β ) = ( 2 , 0 , 1 , 2 ) 附近以 ( δ , β ) 为分岔参数的分岔图

本文利用同调代数方法计算Chua’s系统的规范型和普适开折，计算出来的开折参数精确到2次项，相对于其他研究的计算精确度更高，计算方法也更加简便。最后利用开折参数来分析Chua’s系统的分岔，并画出它的分岔图。

苏彩娴. Chua’s系统的Bogdanov-Takens分岔分析Analysis of Bogdanov-Takens Bifurcation in Chua’s System[J]. 应用数学进展, 2018, 07(12): 1600-1606. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.712187