我们首先考虑具有正指数的方程(4)。假设方程(4)具有形如 u ( x , y , t ) = u ( ξ ) 的解，其中

ξ = μ x + η y − c t ， μ , η , c 是不为0的常数，且 μ + η ≠ 0 。易知

∂ ∂ t = − c d d ξ ,   ∂ ∂ x = μ d d ξ ,   ∂ ∂ x 3 = μ 3 d 3 d ξ 3 ,   ∂ ∂ y = σ d d ξ ,   ∂ ∂ y 3 = σ 3 d 3 d ξ 3 . (6)

将(6)式代入方程(4)中得到下面这个非线性ODE

( a μ − c ) d u d ξ + b ( μ + η ) d u n d ξ + ( μ 3 + η 3 ) d 3 u n d ξ 3 = 0 (7)

为方便起见，在本文中我们令 ρ = μ 2 − μ η + η 2 ，且对任意的 μ ≠ 0 , η ≠ 0 都有 ρ > 0 ，下面不再赘述。

1) 当 n = 1 时，方程(7)变形为

d 3 u d ξ 3 + 1 ρ ( b + a μ − c μ + η ) d u d ξ = 0 , (8)

若 b + a μ − c μ + η ≥ 0 ，解得紧孤子解

u ( x , y , t ) = { ( λ 1 2 + λ 2 2 ) − 1 2 sin ( 1 ρ ( b + a μ − c μ + η ) ξ + θ ) + A , | φ | ≤ π 0 , 其 它

这里 φ = 1 ρ ( b + a μ − c μ + η ) ξ + θ ， λ 1 , λ 2 , A 为任意常数，且当 λ 1 = λ 2 = 0 时， θ = 0 ；否则 θ 由式子 sin θ = λ 1 ( λ 1 2 + λ 2 2 ) − 1 2 , cos θ = λ 2 ( λ 1 2 + λ 2 2 ) − 1 2 确定。

若 b + a μ − c μ + η > 0 ，我们得到下列形式的孤立波相似解(下式中 λ 3 , λ 4 都是常数)

            u ( x , y , t ) = λ 3 cosh ( λ 4 λ 3 ) ( − 1 ρ ( b + a μ − c μ + η ) ξ + A ) ,     当 k 4 k 3 > 0 ; 或     u ( x , y , t ) = λ 3 sinh ( − λ 4 λ 3 ) ( − 1 ρ ( b + a μ − c μ + η ) ξ + A ) ,     当 k 4 k 3 < 0.

2) 当 n ≥ 2 时，我们考虑下面两种情况：

情况I、 μ ≠ c a 时，对方程(7)积分一次并令积分常数为0得

( a μ − c ) u + b ( μ + η ) u n + ( μ 3 + η 3 ) d 2 u n d ξ 2 = 0. (9)

令 d u n d ξ = Z , d 2 u n d ξ 2 = Z d Z d u n ，代入式(9)中分离变量得

( μ 3 + η 3 ) Z d Z = n [ ( c − a μ ) u n − b ( μ + η ) u 2 n − 1 ] d u . (10)

进一步对方程 积分并令积分常数为0有

μ 3 + η 3 2 Z 2 = n [ c − a μ n + 1 u n + 1 − b ( μ + η ) 2 n u 2 n ] . (11)

由此有

n u n − 3 2 d u 2 n ( c − a μ ) ( n + 1 ) ( μ + η ) − b u n − 1 = ± d ξ ρ . (12)

令 V = 2 n ( c − a μ ) ( n + 1 ) ( μ + η ) − b u n − 1 ，

则当 b > 0 时，方程(12)变形为

d V 2 n ( c − a μ ) ( n + 1 ) ( μ + η ) − V 2 = ± n − 1 2 n b ρ d ξ . (13)

当 a μ − c μ + η ≠ 0 时，对式(13)积分解得如下紧孤子解

u ( x , y , t ) = { [ 2 n ( c − a μ ) b ( n + 1 ) ( μ + η ) cos 2 ( n − 1 2 n b ρ ξ ± r ) ] 1 n − 1 , | ϕ | ≤ π 2 0 , 其 它

这里 ϕ = n − 1 2 n b ρ ξ ± r 。在本文中，为方便起见我们用r表示任意积分常数。

类似地，在 b < 0 的情况下，我们解得孤立波相似解

u ( x , y , t ) = [ 2 n ( c − a μ ) b ( n + 1 ) ( μ + η ) cosh 2 ( n − 1 2 n − b ρ ξ ± i r ) ] 1 n − 1 , i = − 1 .

情况II、 μ = c a 。

方程(7)变形为线性方程

b d u n d ξ + ( μ 2 − μ η + η 2 ) d 3 u n d ξ 3 = 0. (14)

当 b > 0 时，解方程(14)得 u n = ( k 1 2 + k 2 2 ) 1 2 sin ( b ρ ξ + α ) + A ，其中 k 1 , k 2 为任意常数，且当 k 1 = k 2 = 0 时， α = 0 ，否则 α 满足 sin α = k 1 ( k 1 2 + k 2 2 ) − 1 2 ， cos α = k 2 ( k 1 2 + k 2 2 ) − 1 2 。

由此得到紧孤子解

u ( x , y , t ) = { [ ( k 1 2 + k 2 2 ) 1 2 sin ( b ρ ξ + α ) + A ] 1 n , | ψ | ≤ π 0 , 其 它

这里 ψ = b ρ ξ + α 。

当 b < 0 ，我们有解

u ( x , y , t ) = [ k 3 exp ( − b ρ ξ ) + k 4 exp ( − − b ρ ξ ) + A ] 1 n ， k 3 , k 4 为任意常数。

综上，我们整理得到下列形式孤立波相似解

            u ( x , y , t ) = [ 2 k 3 cosh ( k 4 k 3 ) ( − b ρ ξ ) + A ] 1 n ,     当 k 4 k 3 > 0 ; 或     u ( x , y , t ) = [ 2 k 3 cosh ( − k 4 k 3 ) ( − b ρ ξ ) + A ] 1 n ,     当 k 4 k 3 < 0.

考虑具有负指数的方程(5)。按照前面所述方法，我们将行波变量 ξ = μ x + η y − c t 代入方程(5)，使其变为下列ODE

( a μ − c ) d u d ξ + b ( μ + η ) d u − n d ξ + ( μ 3 + η 3 ) d 3 u − n d ξ 3 = 0 , (15)

其中 μ , η , c 为不为0的常数，且 μ , η , c 。

情况1、 μ ≠ c a 。

对方程(15)积分并令积分常数为0可得

( a μ − c ) u + b ( μ + η ) u − n + ( μ 3 + η 3 ) d 2 u − n d ξ 2 = 0. (16)

进一步变形有

− n u − n − 3 2 d u 2 n ( c − a μ ) ( n − 1 ) ( μ + η ) − b u − n − 1 = ± d ξ ρ , (17)

当 b > 0 时，解得周期解

u ( x , y , t ) = [ b ( n − 1 ) ( μ + η ) 2 n ( c − a μ ) sec 2 ( n + 1 2 n b ρ ξ ± r ) ] 1 n + 1 .

当 b < 0 时，解得孤立子解

u ( x , y , t ) = [ b ( n − 1 ) ( μ + η ) 2 n ( c − a μ ) sech 2 ( n + 1 2 n − b ρ ξ ± i r ) ] 1 n + 1 .

情况2、 μ = c a 。

此时我们考虑如下方程

b d u − n d ξ + ( μ 2 − μ η + η 2 ) d 3 u − n d ξ 3 = 0. (18)

当 b > 0 时，解之得周期解

u ( x , y , t ) = [ ( l 1 2 + l 2 2 ) 1 2 sin ( b ρ ξ + β ) + A ] − 1 n ,

这里 l 1 , l 2 , A 为常数， l 1 2 + l 2 2 ≠ 0 或 A ≠ 0 ，且 β 满足等式 sin β = l 1 ( l 1 2 + l 2 2 ) − 1 2 ， cos β = l 2 ( l 1 2 + l 2 2 ) − 1 2 。

当 b < 0 时，解之得一般解

u ( x , y , t ) = [ l 3 exp ( − b ρ ξ ) + l 4 exp ( − − b ρ ξ ) + A ] − 1 n .

当 A = 0 时则有两个特殊的孤立子解

          u ( x , y , t ) = [ 1 2 l 3 sech ( l 4 l 3 ) ( − b ρ ξ ) ] 1 n ,     当 l 4 l 3 > 0 ; 或     u ( x , y , t ) = [ 1 2 l 3 csc h ( − l 4 l 3 ) ( − b ρ ξ ) ] 1 n ,     当 l 4 l 3 < 0.