图G的标号是指G的顶点集到一个整数集的映射g，且对e=uv∈E(G)由g(u)和g(v)诱导出边e的标号。本文给出了链路Pn(m)的k-优美性和序列性。即证明了图Pn(m)是k-优美图和序列图，从而也是调和图。进而推广了原有的一些结果。 The labelling of a graphGis injection g of the labels of vertices to a set of integers, and the labels of each edgee= uvare induced by theg(u)andg(v). In the paper, the k-gracefulness and sequence of graphs are given, and we also provePn(m)graph is k-graceful, sequential, and harmonious.
刘春峰1,2
1辽宁工业大学数理系，辽宁 锦州
2锦州市教育局，辽宁 锦州
收稿日期：2018年11月7日；录用日期：2018年11月23日；发布日期：2018年11月30日
图G的标号是指G的顶点集到一个整数集的映射g，且对e = uv Î E(G)由g(u)和g(v)诱导出边e的标号。本文给出了链路Pn(m)的k-优美性和序列性。即证明了图Pn(m)是k-优美图和序列图，从而也是调和图。进而推广了原有的一些结果。
关键词 :优美图，序列图，顶点标号
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图的标号理论在编码﹑雷达﹑通信网络﹑射电天文学等方面均有广泛的应用。本文主要研究由路Pn构造的图Pn(m)的k-优美标号和序列标号。文中 G = ( V , E ) 表示一个顶点集为V，边集为E且没有孤立点的简单图。文中未提及的术语见 [
定义1：称图 G = ( A , B ) 是k-优美(k-graceful)图，如果对任何正整数k，
f : V ( G ) → { 0 , 1 , 2 , ⋯ , | E | + k − 1 }
使的由
f ′ ( u v ) = | f ( u ) − f ( v ) |
所导出的函数对所有的边 e = u v ∈ E ( G ) ，其映射
E ( G ) → { k , k + 1 , ⋯ , k + | E | − 1 }
是一个双射。称f为G的一个k-优美标号。显然k-优美图，当k = 1时，就是通常所说的优美图。
定义2：称图 G = ( A , B ) 是序列图(sequential graph)，如果存在一个单射，
θ : V ( G ) → { 0 , 1 , 2 , ⋯ , | E | − 1 }
(如果G是树，则也包含|E|)使的由
θ ′ ( u v ) = θ ( u ) + θ (v)
所导出的函数对所有的边 e = u v ∈ E ( G ) ，其映射
E ( G ) → { c , c + 1 , ⋯ , c + | E | − 1 }
是一个双射(其中c为某一非负整数)。称 θ 为G的一个序列标号。
在定义2中的单射 θ ，若使函数 θ ″ ( u v ) = θ ( u ) + θ ( v ) ( mod | E | ) (对 u v ∈ E ( G ) 为边集 E ( G ) → { 0 , 1 , 2 , ⋯ , | E | − 1 } 的双射，则称 为G的一个调和标号。称G为调和图。
由定义2可以看出，若把图的序列标号对边数|E|取摸，就得到了该图的调和标号，即序列标号只是调和标号的特殊情。
定义3：对于自然数 n ≥ 3 ，设 P n = x 1 x 2 ⋯ x n 为n个点的路，在Pn上xi与xi+2之间增加 m i ≥ 1 条长为二的路 x i y i , j x i + 2 ， i = 1 , 2 , ⋯ , n − 2 ， j = 1 , 2 , ⋯ , m i ，所得的图称为链路。记作 P n ( m 1 , m 2 , ⋯ , m n − 2 ) 。链路满足
V ( P n ( m 1 , m 2 , ⋯ , m n − 2 ) ) = V ( P n ) ∪ { y i , j | 1 ≤ i ≤ n − 2 , 1 ≤ j ≤ m i } ,
E ( P n ( m 1 , m 2 , ⋯ , m n − 2 ) ) = E ( P n ) ∪ { x i y i , j , y i , j x i + 2 | 1 ≤ i ≤ n − 2 , 1 ≤ j ≤ m i } .
若 m i = m ≥ 1 ， 1 ≤ i ≤ n − 2 ，记 P n ( m 1 , m 2 , ⋯ , m n − 2 ) 为Pn(m)。如图1，图2所示。
图1. 图P7(2)
图2. 图P6(1)
图3. 图P7(2)及其k-优美标号
图4. 图P6(2)及其序列标号
本文给出了图Pn(m)的k-优美标号和序列标号。得到了如下定理。
定理1：对于自然数 n ≥ 3 ， m ≥ 1 ，Pn(m)是k-优美图。
定理2：对于自然数 n ≥ 4 ， m ≥ 1 ，Pn(m)是序列图。
推论1：( [
推论2：对于自然数 n ≥ 4 ， m ≥ 1 ，Pn(m)是调和图。
文中图3是图P7(2)的k-优美标号，图4是图P6(2)的序列标号
可以进一步讨论图 P n ( m 1 , m 2 , ⋯ , m n − 2 ) 优美性和序列性，我们有：
问提1：对于自然数 n ≥ 3 ， m i ≥ 1 ， 1 ≤ i ≤ n − 2 ， P n ( m 1 , m 2 , ⋯ , m n − 2 ) 是否是k-优美图？
问提2：对于自然数 n ≥ 4 ， m i ≥ 1 ， 1 ≤ i ≤ n − 2 ， P n ( m 1 , m 2 , ⋯ , m n − 2 ) 是否是序列图？
| V ( P n ( m ) ) | = m n − 2 m + n ， | E ( P n ( m ) ) | = 2 m n − 4 m + n − 1 。
分两重情况定义Pn(m)的顶点标号f如下：
情况1：n为奇数
f ( x 2 i − 1 ) = i − 1 , i = 1 , ⋯ , ( n + 1 ) / 2 ,
f ( x 2 i ) = m n − 3 m + n − i + k − 1 , i = 1 , ⋯ , ( n − 1 ) / 2 ,
f ( y 2 i − 1 , j ) = 2 m n − 2 m + n − ( 2 m − 1 ) i − 2 j + k − 1 , i = 1 , ⋯ , ( n − 1 ) / 2 , j = 1 , ⋯ , m ,
f ( y 2 i , j ) = n − 2 m − 2 + ( 2 m − 1 ) i + 2 j , i = 1 , ⋯ , ( n − 3 ) / 2 , j = 1 , ⋯ , m .
下面验证f是Pn(m)的k-优美标号。
1) 不同的顶点其标号不同。
a) 显然有如下结论：
f ( x 2 i − 1 ) ≠ f ( x 2 j − 1 ) ( i ≠ j , 1 ≤ i , j ≤ ( n + 1 ) / 2 ),
f ( x 2 i ) ≠ f ( x 2 j ) ( i ≠ j , 1 ≤ i , j ≤ ( n − 1 ) / 2 ),
( i = j 时, ； s = t 时, i ≠ j , 1 ≤ s , t ≤ m , 1 ≤ i , j ≤ ( n − 1 ) / 2 ),
f ( y 2 i , s ) ≠ f ( y 2 j , t ) ( i = j 时, s ≠ t ； s = t 时, i ≠ j , 1 ≤ s , t ≤ m , 1 ≤ i , j ≤ ( n − 3 ) / 2 ).
b) 设
A 0 = { f ( x 2 i − 1 ) | 1 ≤ i ≤ ( n + 1 ) / 2 } , C 0 = { f ( y 2 i − 1 , j ) | 1 ≤ i ≤ ( n − 1 ) / 2 , 1 ≤ j ≤ m } ,
A 1 = { f ( x 2 i ) | 1 ≤ i ≤ ( n − 1 ) / 2 } , C 1 = { f ( y 2 i , j ) | 1 ≤ i ≤ ( n − 3 ) / 2 , 1 ≤ j ≤ m } .
有
A 0 ∩ A 1 = A 0 ∩ C 0 = A 0 ∩ C 1 = A 1 ∩ C 0 = A 1 ∩ C 1 = C 0 ∩ C 1 = ∅ .
事实上
min A 0 = f ( x 1 ) = 0 , max A 0 = f ( x n ) = ( n − 1 ) / 2 ,
min A 1 = f ( x n − 1 ) = m n − 3 m + ( n − 1 ) / 2 + k , max A 1 = f ( x 2 ) = m n − 3 m + n − 2 + k ,
min C 0 = f ( y n − 2 , m ) = m n − 3 m + 3 ( n − 1 ) / 2 + k , max C 0 = f ( y 1 , 1 ) = 2 m n − 4 m + n − 2 + k ,
min C 1 = f ( y 1 , 1 ) = n − 1 , max C 1 = f ( y n − 3 , m ) = m n − 3 m + ( n − 1 ) / 2 .
于是有 min A 0 < max A 0 < min C 1 < max C 1 < min A 1 < max A 1 < min C 0 < max C 0 。
2) max { f ( v ) | v ∈ V ( P n ( m ) ) } = max C 0 = 2 m n − 4 m + n − 2 + k = k + | E ( P n ( m ) ) | − 1 。
3) 不同的边其标号不同。
I 1 = { | f ( y 2 i − 1 , j ) − f ( x 2 i − 1 ) | , | f ( y 2 i − 1 , j ) − f ( x 2 i + 1 ) | | 1 ≤ i ≤ ( n − 1 ) / 2 , 1 ≤ j ≤ m } = { 2 m n − 4 m + n − 2 + k , 2 m n − 4 m + n − 3 + k , ⋯ , m n − 3 m + n − 1 + k } ,
I 2 = { | f ( x 2 i ) − f ( x 2 i − 1 ) | , | f ( x 2 i ) − f ( x 2 i + 1 ) | | 1 ≤ i ≤ ( n − 1 ) / 2 } = { m n − 3 m + n − 2 + k , m n − 3 m + n − 3 + k , ⋯ , m n − 3 m + k } ,
I 3 = { | f ( y 2 i , j ) − f ( x 2 i ) | , | f ( y 2 i , j ) − f ( x 2 i + 2 ) | | 1 ≤ i ≤ ( n − 3 ) / 2 , 1 ≤ j ≤ m } = { m n − 3 m − 1 + k , m n − 3 m − 2 + k , ⋯ , k } .
由(3)显然有 ∀ a , b ∈ I i ， i = 1 , 2 , 3 ，有 a ≠ b 。又因
max I 1 = 2 m n − 4 m + n − 2 + k , min I 1 = m n − 3 m + n − 1 + k ,
max I 2 = m n − 3 m + n − 2 + k , min I 2 = m n − 3 m + k ,
max I 3 = m n − 3 m − 1 + k , min I 3 = k .
得 min I 3 < max I 3 < min I 2 < max I 2 < min I 1 < max I 1 ，进而有， I i ∩ I j = ∅ ， i ≠ j ， 1 ≤ i , j ≤ 3 。于是
4) max { f ′ ( e ) | e ∈ E ( P n ( m ) ) } = max I 1 = 2 m n − 4 m + n − 2 + k = k + | E ( P n ( m ) ) | − 1 。
综合(1)~(4)，由优美图的定义知，f是Pn(m)的k—优美标号。故得Pn(m)是k-优美图。
情况2：n为偶数
f ( x 2 i − 1 ) = i − 1 , i = 1 , ⋯ , n / 2 ,
f ( x 2 i ) = m n − 2 m + n − i + k − 1 , i = 1 , ⋯ , n / 2 ,
f ( y 2 i − 1 , j ) = 2 m n − 2 m + n − ( 2 m − 1 ) i − 2 j + k − 1 , i = 1 , ⋯ , ( n − 2 ) / 2 , j = 1 , ⋯ , m ,
f ( y 2 i , j ) = n − 2 m − 2 + ( 2 m − 1 ) i + 2 j , i = 1 , ⋯ , ( n − 2 ) / 2 , j = 1 , ⋯ , m .
类似于情况1的证明，易验证在情况2中f是Pn(m)的k-优美标号。
定理1证毕。
分两重情况定义Pn(m)的顶点标号如下：
情况1： n ≡ 1 ( mod 3 )
情况1.1：n为奇数
θ ( x 2 i − 1 ) = ( n − 1 ) / 2 + i , i = 1 , ⋯ , ( n + 1 ) / 2 ,
θ ( x 2 i ) = i − 1 , i = 1 , ⋯ , ( n − 1 ) / 2 ,
θ ( y 2 i − 1 , j ) = 2 m n − 4 m + 3 n − 4 − 3 i − 2 j ( n − 2 ) , i = 1 , ⋯ , ( n − 1 ) / 2 , j = 1 , ⋯ , m ,
θ ( y 2 i , j ) = 2 m n − 4 m + 5 ( n − 1 ) / 2 − 3 i − 2 j ( n − 2 ) , i = 1 , ⋯ , ( n − 3 ) / 2 , j = 1 , ⋯ , m .
下面验证θ是Pn(m)的序列标号。
1) 不同的顶点其标号不同。
a) 设
B = { θ ( x 2 i ) | 1 ≤ i ≤ ( n − 1 ) / 2 } ∪ { θ ( x 2 i − 1 ) | 1 ≤ i ≤ ( n + 1 ) / 2 } ,
C j = { θ ( y 2 i − 1 , j ) | 1 ≤ i ≤ ( n − 1 ) / 2 } , j = 1 , ⋯ , m ,
D j = { θ ( y 2 i , j ) | 1 ≤ i ≤ ( n − 3 ) / 2 } , j = 1 , ⋯ , m .
由θ的定义有
min B = 0 , max B = n ,
min C j = 2 m n − 4 m + ( 3 n − 5 ) / 2 − 2 j ( n − 2 ) , j = 1 , ⋯ , m ,
max C j = 2 m n − 4 m + 3 n − 7 − 2 j ( n − 2 ) , j = 1 , ⋯ , m ,
min D j = 2 m n − 4 m + n + 2 , j = 1 , ⋯ , m ,
max D j = 2 m n − 4 m + 5 ( n − 1 ) / 2 − 3 − 2 j ( n − 2 ) , j = 1 , ⋯ , m ,
得 min B < max B < min D m < max D m < min C m < max C m < min D m − 1 < max D m − 1 < ⋯ < min D 1 < max D 1 < min C 1 < max C 1 。于是有 B ∩ C j = B ∩ D j = C j ∩ D j = ∅ ， j = 1 , ⋯ , m 。得 ∀ u , v ∈ V ( P n ( m ) ) ，若 u ≠ v ，有 θ ( u ) ≠ θ ( v ) 。
2) max { θ ( v ) | v ∈ V ( P n ( m ) ) } = 2 m n − 4 m + n − 3 < 2 m n − 4 m + n − 1 = | E ( P n ( m ) ) | 。
3) 不同的边其标号不同。
J 0 = { θ ( x i ) + θ ( x i + 1 ) | 1 ≤ i ≤ n − 1 } = { ( n + 1 ) / 2 , ( n + 1 ) / 2 + 1 , ⋯ , ( n + 1 ) / 2 + n − 2 } ,
J 1 , j = { θ ( y 2 i − 1 , j ) + θ ( x 2 i + 1 ) , θ ( y 2 i − 1 , j ) + θ ( x 2 i − 1 ) | 1 ≤ i ≤ ( n − 1 ) / 2 } = { 2 m n − 4 m + ( 7 n − 11 ) / 2 − 2 j ( n − 2 ) , 2 m n − 4 m + ( 7 n − 11 ) / 2 − 1 − 2 j ( n − 2 ) , ⋯ , 2 m n − 4 m + ( 5 n − 7 ) / 2 − 2 j ( n − 2 ) } , j = 1 , ⋯ , m ,
J 2 , j = { θ ( y 2 i , j ) + θ ( x 2 i + 2 ) , θ ( y 2 i , j ) + θ ( x 2 i ) | 1 ≤ i ≤ ( n − 3 ) / 2 } = { 2 m n − 4 m + ( 5 n − 9 ) / 2 − 2 j ( n − 2 ) , ⋯ , 2 m n − 4 m + ( 3 n − 1 ) / 2 − 2 j ( n − 2 ) } , j = 1 , ⋯ , m ,
有
J 1 = J 2 , m ∪ J 1 , m = { ( 3 n − 1 ) / 2 , ( 3 n − 1 ) / 2 + 1 , ⋯ , ( 5 n − 9 ) / 2 } ∪ { ( 5 n − 7 ) / 2 , ( 5 n − 7 ) / 2 + 1 , ⋯ , ( 7 n − 11 ) / 2 } ,
J 2 = J 2 , m − 1 ∪ J 1 , m − 1 = { ( 7 n − 9 ) / 2 , ( 7 n − 9 ) / 2 + 1 , ⋯ , ( 9 n − 17 ) / 2 } ∪ { ( 9 n − 15 ) / 2 , ( 9 n − 15 ) / 2 + 1 , ⋯ , ( 11 n − 19 ) / 2 } ,
…
J m = J 2 , 1 ∪ J 1 , 1 = { 2 m n − 4 m − ( n − 7 ) / 2 , 2 m n − 4 m − ( n − 7 ) / 2 + 1 , ⋯ , 2 m n − 4 m + ( n − 1 ) / 2 } ∪ { 2 m n − 4 m + ( n + 1 ) / 2 , 2 m n − 4 m + ( n + 1 ) / 2 + 1 , ⋯ , 2 m n − 4 m + 3 ( n − 1 ) / 2 } 。
于是有 J i ∩ J j = ∅ ， i ≠ j ， 0 ≤ i , j ≤ m ，故得 ∀ e , f ∈ E ( P n ( m ) ) ，若 e ≠ f ，有 θ ( e ) ≠ θ ( f ) 。
4) J = J 0 ∪ J 1 ∪ J 2 ∪ ⋯ ∪ J m = { ( n + 1 ) / 2 , ( n + 1 ) / 2 + 1 , ⋯ , 2 m n − 4 m + 3 ( n − 1 ) / 2 } = { ( n + 1 ) / 2 , ( n + 1 ) / 2 + 1 , ⋯ , ( n + 1 ) / 2 + | E ( P n ( m ) ) | } 。
综合(1)~(4)，由序列图的定义知，θ是Pn(m)的序列标号。故得Pn(m)是序列图。
情况1.2：n为偶数
θ ( x 2 i − 1 ) = n / 2 + i , i = 1 , ⋯ , n / 2 ,
θ ( x 2 i ) = i − 1 , i = 1 , ⋯ , n / 2 ,
θ ( y 2 i − 1 , j ) = 2 m n − 4 m + 3 n − 4 − 3 i − 2 j ( n − 2 ) , i = 1 , ⋯ , ( n − 2 ) / 2 , j = 1 , ⋯ , m ,
θ ( y 2 i , j ) = 2 m n − 4 m + ( 5 n − 2 ) / 2 − 3 i − 2 j ( n − 2 ) , i = 1 , ⋯ , ( n − 2 ) / 2 , j = 1 , ⋯ , m .
类似于情况1.1的证明，易验证在情况1.2中θ是Pn(m)的序列标号。
在情况2中，可与情况1同理验证θ是Pn(m)的序列标号。故只给出下列标号，不加验证。
情况2： n ≡ 0 , 2 ( mod 3 )
情况2.1：n为奇数
θ ( x 2 i − 1 ) = ( n − 3 ) / 2 + i , i = 1 , ⋯ , ( n + 1 ) / 2 ,
θ ( x 2 i ) = i − 1 , i = 1 , ⋯ , ( n − 1 ) / 2 ,
θ ( y 2 i − 1 , j ) = 2 m n − 4 m + 3 n − 4 − 3 i − 2 j ( n − 2 ) , i = 1 , ⋯ , ( n − 1 ) / 2 , j = 1 , ⋯ , m ,
θ ( y 2 i , j ) = 2 m n − 4 m + ( 5 n − 7 ) / 2 − 3 i − 2 j ( n − 2 ) , i = 1 , ⋯ , ( n − 3 ) / 2 , j = 1 , ⋯ , m .
情况2.2：n为偶数
θ ( x 2 i − 1 ) = ( n − 2 ) / 2 + i , i = 1 , ⋯ , n / 2 ,
θ ( x 2 i ) = i − 1 , i = 1 , ⋯ , n / 2 ,
θ ( y 2 i − 1 , j ) = 2 m n − 4 m + 3 n − 4 − 3 i − 2 j ( n − 2 ) , i = 1 , ⋯ , ( n − 2 ) / 2 , j = 1 , ⋯ , m ,
θ ( y 2 i , j ) = 2 m n − 4 m + ( 5 n − 4 ) / 2 − 3 i − 2 j ( n − 2 ) , i = 1 , ⋯ , ( n − 2 ) / 2 , j = 1 , ⋯ , m .
定理2证毕。
刘春峰. 链路Pn(m)优美性和序列性The Gracefulness and Sequences of Pn(m)[J]. 理论数学, 2018, 08(06): 723-729. https://doi.org/10.12677/PM.2018.86097