王军霞，刘建民，尉茜茜

长安大学理学院，陕西 西安

收稿日期：2018年11月6日；录用日期：2018年11月23日；发布日期：2018年11月30日

针对到达率随时间变化的单服务台G_t/G_t/1队列模型，假定等待空间无限，在给定到达率函数的基础上，应用随机过程极限和概率测度收敛的相关知识，得到该队列模型各稳态性能指标的收敛极限。

关键词 :稳态，单服务台队列，布朗运动，收敛极限

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排队论主要研究各种排队系统在排队等待中的概率特性，应用领域非常广泛，国内外学者针对不同的排队模型做了大量的研究。Ward通过奥伦斯坦–乌伦贝克过程，得到了稳态下单服务台队列的扩散逼近 [ 1 ] 以及负荷过程和队长过程的收敛极限 [ 2 ] 。文献 [ 3 ] [ 4 ] 研究了高负荷下单服务台队列的队长和溢出过程的极限。在高负荷条件下，Liu等研究了到达率随时间变化的网络队列模型 [ 5 ] ，Whitt研究了到达临界点的单服务台队列 [ 6 ] 。另外，Ma [ 7 ] 和Dong [ 8 ] 分别对单服务台和多服务台的周期到达队列模型做了一定的研究，并对模型进行数值模拟，更加直观地验证了所得结论。Baccelli等 [ 9 ] 和Stanford [ 10 ] 在平稳状态下研究了一个服务台的队列性能，得到了有关数量分布的积分方程。本文在前人研究的基础上，运用中心极限定理以及连续映射定理等 [ 11 ] [ 12 ] 相关知识，研究到达率随时间变化的Gt/Gt/1队列模型，得到队列模型的各种性能指标(到达过程、队长过程和虚等待时间)的收敛极限。

考虑一般的单服务台G_t/G_t/1队列模型，假定等待空间无限，到达率随时间变化，到达率为 λ ( t ) ，服务率为 μ ( t ) ，负荷强度为 ρ ( t ) ≡ λ ( t ) μ ( t ) ( t ≥ 0 ) 。A表示到达计数过程， Λ 表示累积到达函数，当 时，

Λ ( t ) ≡ ∫ 0 t λ ( s ) d s ,

到达率满足：

λ ¯ ≡ lim t → ∞ Λ ( t ) t ,

在不考虑顾放弃的情况下，假设 λ ¯ = 1 。

到达过程满足：

A ( t ) ≡ N a ( Λ ( t ) ) = N a ( ∫ 0 t λ ( s ) d s ) ,

其中 N a 是随机计数过程，满足泛函强大数定理(FSLLN)和泛函中心极限定理(FCLT)，即当 n → ∞ 时，在D空间中，

, N ^ a , n ⇒ c a B a ,

这里 N ¯ a , n ≡ N a ( n t ) n ， N ^ a , n ≡ N a ( n t ) − n t n ，e是恒等函数， e ( t ) = t ( t ≥ 0 ) ， B a 是标准的布朗运动。

另外，假设服务是由随机计数过程 N s (独立于 N a )产生的， N s 同样满足泛函强大数定理(FSLLN)和泛函中心极限定理(FCLT)，即当 n → ∞ 时，在D空间中，

N ¯ s , n → e , ,

这里 N ¯ s , n ≡ N s ( n t ) n ， N ^ s , n ≡ N s ( n t ) − n t n ， B s 是标准的布朗运动，且独立于 B a 。

考虑一系列模型中的第n个模型，下面建立与到达过程有关的高负荷极限，对于单服务台的高负荷极限，通常使负荷强度逐渐趋于1，这里当 n → ∞ 时，令 ρ n = 1 − 1 n 。当 t ≥ 0 、 n ≥ 1 时，对到达函数 λ n ( t ) 和累积到达函数 Λ n ( t ) 进行流体刻画，分别为：

λ ¯ n ( t ) ≡ λ n ( n t ) , Λ ¯ n ( t ) ≡ Λ n ( n t ) n .

则有 Λ ¯ n ( t ) = ∫ 0 t λ ¯ n ( s ) d s 。

另外，为了后续研究的方便，对累积到达函数 Λ n ( t ) 在时间 n t 通过增量 n 进行刻画，即 ∀ u , − ∞ < u < + ∞ ，当 n → ∞ 时，有：

Λ ˜ n , t ( u ) ≡ Λ n ( n t + u n ) − Λ n ( n t ) n , t ≥ 0 , n ≥ 1 .

假设在D空间中，当 n → ∞ 时， λ ¯ n → λ f ， Λ ¯ n → Λ f 。

累积到达函数 Λ n ( t ) 的扩散刻画如下

Λ ^ n ( t ) ≡ Λ n ( n t ) − n Λ f ( t ) n ,

假设 Λ ^ n → Λ d ， Λ d 为连续函数。

到达过程满足：

A n ( t ) ≡ N a ( Λ n ( t ) ) = N a ( ∫ 0 t λ n ( s ) d s ) ,

根据以上到达函数的刻画，接下来对到达过程进行刻画，如下：

A ¯ n ( t ) ≡ N a ( Λ n ( n t ) ) n , A ^ n ( t ) ≡ A n ( n t ) − n Λ f ( t ) n ,

A ˜ n , t ( u ) ≡ A n ( n t + u n ) − A n ( n t ) n , t ≥ 0 , n ≥ 1 .

定理1 (到达过程的极限)：在以上刻画的前提下，在D空间中，当 n → ∞ 时，

有如下的泛函强大数定理： A ¯ n = N ¯ a , n ∘ Λ ¯ n → Λ f 。

以及泛函中心极限定理： A ^ n = N ^ a , n ∘ Λ ¯ n + Λ ^ n ⇒ c a B a ∘ Λ f + Λ d ，

A ˜ n , t ( u ) → λ f ( t ) u .

证明：根据文献 [ 11 ] 中13.2以及连续映射定理，

且由 N ¯ a , n → e ， N ¯ a , n ≡ N a ( n t ) n ，得

A ¯ n ( t ) ≡ N a ( Λ n ( n t ) ) n = n N ¯ a , n ( Λ n ( n t ) n ) n = N ¯ a , n ( Λ n ( n t ) n ) = N ¯ a , n ∘ Λ ¯ n → Λ f ,

又由 N ^ a , n ⇒ c a B a ， N ^ a , n ≡ N a ( n t ) − n t n ，得：

A ^ n ( t ) ≡ A n ( n t ) − n Λ f ( t ) n = A n ( n t ) n − n Λ f ( t ) = N a ( Λ n ( n t ) ) n − n Λ f ( t )                 = n N ^ a , n ( Λ n ( n t ) n ) + Λ n ( n t ) n − n Λ f ( t ) = N ^ a , n ( Λ n ( n t ) n ) + Λ n ( n t ) n − n Λ f ( t )                 = N ^ a , n ( Λ ¯ n ( t ) ) + Λ n ( n t ) − n Λ f ( t ) n = N ^ a , n ∘ Λ ¯ n ( t ) + Λ ^ n ( t )                 ⇒ c a B a ∘ Λ f + Λ d

由 N ^ a , n ⇒ c a B a ，以及胎紧性，有： N a ( n t + u n ) − N a ( n t ) n ⇒ u ，进而得：

A ˜ n , t ( u ) ≡ A n ( n t + u n ) − A n ( n t ) n                     = N a ( Λ n ( n t + u n ) ) − N a ( Λ n ( n t ) ) n                     = N a ( Λ n ( n t ) + λ f ( t ) u n + ο ( n ) ) − N a ( Λ n ( n t ) ) n                     ⇒ λ f ( t ) u

接下来刻画队长和虚等待时间：

当 t ≥ 0 时， Q ^ n ( t ) ≡ Q n ( n t ) n ， W ^ n ( t ) ≡ W n ( n t ) n 。

R ( t ; a , b ) 是漂移系数为a，扩散系数为b的反射布朗运动。

定理2 (虚等待时间的高负荷极限)：假定系统开始为空，在以上刻画的基础上，且满足以上到达函数，则在 D 2 空间中，当 n → ∞ 时，有 ( Q ^ n , W ^ n ) ⇒ ( Q ^ , W ^ ) ，这里当 t ≥ 0 时， ， Q ^ ( t ) ≡ R ( Λ f ( t ) ; − 1 , c a 2 + c s 2 ) ，对于每一个 ，当 时， 。

证明：首先刻画到达和服务过程，当 、 n ≥ 1 时，

A ^ n ( t ) ≡ N a ( n t ) − n t n ，

S ^ n ( t ) ≡ N s ( n t / ρ n ) − n t n = N s ( n t / ρ n ) − n t / ρ n n + n n − 1 t ，

所以当 n → ∞ 时，在 空间中，

( A ^ n , S ^ n ) ⇒ ( B a , B s + e ) ，

其中 B a 和 B s 是相互独立的布朗运动，

因此在D空间中， A ^ n − S ^ n ⇒ B a − B s − e ，

其次应用 [ 11 ] 中的定理9.3.4以及连续映射定理，当 n → ∞ 时，得：

Q ^ n ⇒ R ( ⋅ ) ≡ R ( ⋅ ; − 1 , c a 2 + c s 2 ) ，且 Q ^ n ⇒ R ( Λ f ( ⋅ ) ) 。

D n ( t ) 代表第n个系统中的离去过程，

W ^ n ( t ) ≡ W n ( n t ) n = inf { u ≥ 0 : D n ( n t + u n ) − D n ( n t ) ≥ Q n ( n t ) } = inf { u ≥ 0 : ( D n ( n t + u n ) − D n ( n t ) ) / n ≥ Q n ( n t ) / n } = inf { u ≥ 0 : D ^ n , t ( u ) ≥ Q ^ n ( t ) } ,

其中 D ^ n , t ( u ) ≡ D n ( n t + u n ) − D n ( n t ) n 。

在D空间中，当 n → ∞ 时， Q ^ n ⇒ R ( Λ f ( ⋅ ) ) 。

B n ( t ) 是 [ 0 , t ] 时间内忙的服务台。

D n ( n t ) = N s ( ρ n − 1 B n ( Λ n ( n t ) ) ) , t ≥ 0

根据 Λ ˜ n , t ( u ) → λ f ( t ) u 以及 [ 11 ] 中的定理9.3.4，可得：

B n ( Λ n ( n t + u n ) ) − B n ( Λ n ( n t ) ) n → u λ f ( t ) ,

由 N ¯ s , n → e ， N ^ s , n ⇒ c s B s 得 D ^ n , t ( u ) → u λ f ( t ) 。

由 Q ^ n ⇒ Q ^ ，及 W ^ ( t ) ≡ Q ^ ( t ) λ f ( t ) ， Q ^ ( t ) ≡ R ( Λ f ( t ) ; − 1 , c a 2 + c s 2 ) ，得：

对于每一个 T > 0 ，当 时， sup 0 ≤ t ≤ T { | W ^ n ( t ) − ( Q ^ n ( t ) / λ f ( t ) ) | } ⇒ 0 .

由联合极限以及 [ 11 ] 中的定理11.4.7，得：

在 D 2 空间中，当 n → ∞ 时，有 ( Q ^ n , W ^ n ) ⇒ ( Q ^ , W ^ ) 。

在给定G_t/G_t/1队列模型的到达率函数的基础上，利用泛函中心极限定理、连续映射定理等得到该模型的到达过程、队长过程和虚等待时间的收敛极限，最后运用概率测度收敛和随机过程极限的知识对此做了证明。

王军霞,刘建民,尉茜茜. Gt/Gt/1队列模型稳态性能指标的研究Study on Steady-State Performance Measures of the Gt/Gt/1 Queue Model[J]. 理论数学, 2018, 08(06): 706-711. https://doi.org/10.12677/PM.2018.86095