由于考虑过多的影响因素会给后续预测的建模带来较大的困难，因此要对上述影响因素进行聚类分析。通过对影响因素的分析可得，工作时长，爆破时长以及检修时长均为同类因素，因此对此三种影响因素可以进行聚类分析。本文采取的是灰色聚类分析，其主要是用于同类因素的合并，从而简化复杂问题，删减不必要的因素 [ 13 ]。建立上述三个影响因素的指标关联矩阵如表1所示：

表1. 影响因素的关联矩阵表

由指标关联矩阵可以得出：根据具体要求选取临界值为0.7，可以将检修时长与工作时长归为一类，爆破时长归为另一类。

为了了解各影响因素对碳排放量的影响是否显著，本文采用灰色关联性分析来对各影响因素的显著性进行定量分析。由于数据样本的大小对灰色关联性分析结果影响不大，并且计算量相对较小，更具便捷性，其量化结果一般与定性结果一致 [ 14 ]。因此采用此方法进行相关性分析较为合适。通过灰色相关性的计算公式得到相关性分析的结果来选取相对显著的影响因素，并进行建模。灰色相关性分析结果如表2所示：

表2. 相关性分析结果

综合关联度既包含了两者的相似程度与变化速率的相近度，能够更加全面的表示序列之间的联系。在临界值为0.7的条件下，结合影响因素的聚类结果及相关性分析的综合关联度大小可以得到三个主要影响因素：工作时长，碳排放系数，产量。将主要影响因素作为输入，以碳排放量作为输出建立改进的高斯过程回归预测模型。

对于一个给定的训练数据集D以及n个观测值， D = { ( x i , y i ) | i = 1 , ⋯ , n } ，其中 x i 是维数为D的输入向量，记为 x i ∈ R D , X = { x i | i = 1 , ⋯ , n } ， 是目标输出即因变量，记为 y i ∈ R , y = { y i | i = 1 , ⋯ , n } ，问题可描述为根据给定集合D，预测出在新的输入 x i ∗ 下所得到的输出 y i ∗ ，即通过归纳法得到可以进行预测的函数关系f。高斯过程可以用均值函数和协方差函数表示 [ 15 ]。根据高斯过程的相关定义可以得到 f ( x i ) , i = 1 , ⋯ , n ，服从高斯分布，且其联合分布同样也服从概率分布，可记为：

y = f ( x ) ~ G P ( m ( x ) , K ( x , x ′ ) ) (1)

其中

m ( x ) = E ( f ( x ) ) (2)

为均值函数

K ( x , x ′ ) = E [ { f ( x ) − m ( x ) } { f ( x ′ ) − m ( x ′ ) } ] = [ k ( x 1 , x 1 ) ⋯ k ( x 1 , x n ) ⋮ ⋱ ⋮ k ( x n , x 1 ) ⋯ k ( x n , x n ) ] (3)

为协方差函数。而在实际应用中需考虑高斯噪声 ε ~ G P ( 0 , σ n 2 ) ， ε 相对于 f ( x ) 完全独立。由贝叶斯概率理论，在给定训练数据集 D = ( X , y ) 中建立起先验分布函数，因此可得加入噪声后的训练输出分布为

y = f ( X ) + ε ~ G P ( 0 , K ( X , X ) + σ n 2 I ) (4)

其中，I为 的单位矩阵， K ( X , X ) 为Gram矩阵，矩阵元素为 K i j = k ( x i , x j ) , i , j = 1 , ⋯ , n ，协差矩阵

cov ( X , X ) = K ( X , X ) + σ n 2 I (5)

训练数据集 D = ( X , y ) 和测试集 D * = ( X * , y * ) 的联合分布如下所示

[ y y * ] ~ G P ( 0 , [ K ( X , X ) + σ n 2 I K ( X , X * ) K ( X * , X ) K ( X * , X * ) ] ) (6)

此时可得到后验分布。根据贝叶斯概率公式可以得到高斯过程回归的预测方程为：

P ( y * | X * , X , y ) = G P ( y ′ ∗ , cov ( y * ) ) (7)

y ′ ∗ = K ( X * , X ) [ K ( X , X ) + σ n 2 I ] − 1 y (8)

cov ( y * ) = K ( X * , X * ) − K ( X * , X ) [ K ( X , X ) + σ n 2 I ] − 1 K ( X , X * ) (9)

其中 y ′ ∗ 为预测方程的均值，即为高斯过程回归的输出预测值， cov ( y * ) 为高斯过程回归的方差。由于平方指数(SE)函数的强光滑性与电机对象的拟合度并不高，相较之下M5/2函数的光滑性在以电机为研究对象的物理过程建模中更具有现实意义，因而选用M5/2为协方差函数，其表达式为

K M5/2 = θ ( 1 + 5 r l + 5 r 2 3 l 2 ) exp ( − 5 r l ) (10)

其边缘似然函数可由先验分布表示为

P ( y | X , θ ) = ∫ P ( y | f , X , θ ) P ( f | X , θ ) d f (11)

其中 θ = ( θ 1 ⋯ θ m ) 为超参数集合。先验分布取对数后可得

log P ( y | X , θ ) = − 1 2 y T ( K + σ n 2 I ) − 1 y − 1 2 log | K + σ n 2 I | − n 2 log 2 π (12)

对式(12)求偏导可得

d d θ j log P ( y | X , θ ) = 1 2 y T K − 1 d K d θ j K − 1 y − 1 2 t r ( K − 1 d K d θ j ) (13)

j = 1 , ⋯ , m ，其中tr表示矩阵对角线元素之和。

非支配排序遗传算法(NSGA)是在传统的遗传算法上演变而来的，主要是在选择之前对种群进行了分层，其分层的依据为个体之间的支配关系。

对于极大化目标优化问题，f(X)为目标函数，X，X'均属于解集U，若X支配X' [ 16 ]，则同时满足以下条件： ∀ k ∈ 1 , ⋯ , m : f k ( X ) ≤ f k ( X ′ ) , ∃ k ∈ 1 , ⋯ , m : f k ( X ) < f k ( X ′ ) 。

带精英策略的非支配排序遗传算法(NSGAII)是一种以Pareto最优为基准的遗传算法 [ 17 ]，是在NSGA的基础上对种群的分层进行进一步改进，将上一代的优秀个体遗传到下一代，从而保证种群的质量，增加全局最优的搜索能力。除此以外，提出拥挤度的概念来代替NSGA中的共享半径，提高了计算效率，更快的收敛到最优 [ 18 ]。将拥挤度定义为在种群中给定个体的周围密度，通常用id表示拥挤度，其表示包含个体i本身但不包含其他个体的最小正方形的大小 [ 19 ]。NSGAII算法具体的流程如下:

1) 随机产生初始种群P0，大小为M，计算目标函数值并按照支配定义对于P0中的每一个个体进行非支配排序分层得到P1。

2) 对非支配排序分层后的每层种群个体进行拥挤度计算。

3) 通过选择、交叉、变异等基本遗传算法步骤后得到子代S1，大小为M。

4) 将第i代产生的Si与Pi组合为Ai，大小为2M。此时对组合集Ai进行非支配排序并计算拥挤度。将排序后的第一层子集即父代与子代中最好的个体优先放入Pi + 1中，若第一层子集大小小于M，则将下一层子集向Pi + 1中充填，当子集大小大于M时，则再依据拥挤度大小选择较不拥挤即id大的个体充填，直到Pi + 1大小为M停止。

5) 得到Pi + 1后重复上述步骤，直到满足终止条件后结束。NSGAII的流程示意图如图2所示 [ 20 ] ：

图2. NSGAII 的流程示意图

对于高斯过程回归模型，协方差函数的超参数将直接影响模型的精度。因此在确定了协方差函数的表达式后，需要对方程中的超参数进行优化确定，本文采用NSGAII进行参数的优化确定，算法的具体流程如下：

1) 对样本数据初始化处理，即将所采集的数据分为两部分，一部分为训练集 D t r a i n = ( X , y ) ，另一部分为测试集 D t e s t = ( X * , y * ) 。

2) 根据高斯过程回归的理论知识及已确定的协方差函数M5/2，用训练集 D t r a i n 初步构建相应的预测方程。

3) 预测方程的超参数优化确定，根据目标函数式(12)执行NSGAII算法流程。

4) 将测试集 D t e s t 中 X * 作为输入，输出值 y ′ * ，将每种预测结果与测试值 y * 做比较。具体的算法流程图如下所示：