有限域是计算科学和数字通讯领域基础的数学工具之一，同时也是现代数学的主要分支之一。有限域的一般理论主要是从Gauss和Galois的工作开始，但最近几十年，随着离散数学的成长与发展，很多专家开始慢慢注重有限域理论的研究和应用。同时，多项式理论，特别是不可约多项式的性质对剖析各种伪随机序列的性能有着异常的性能，因此对于有限域上的不可约多项式的研究一直受到数学界、编码与密码领域的广泛关注。尤其是在信息化的时代，人们开始越来越重视自身的信息安全。本文对基于有限域上的不可约多项式对RSA公钥密码体制的三种模拟进行比较，发现PK-RSA模拟安全性更高。 Finite field is one of the most basic mathematical tools of computer science and digital communi-cation field, as well as one of the important branches of modern mathematics. The general theory of finite field mainly starts from the Gauss and Galois, but in recent decades, with the development of discrete mathematics, many mathematicians engaged in applied research and paid attention to the research and application of theory of limited. At the same time, the polynomial theory, especially the properties of irreducible polynomials to analyze various performances of pseudorandom sequence, has a special performance, so the studies of the irreducible polynomials over finite field have been widespreadly concerned in mathematical, coding and cryptology research. This paper found that the PK-RSA simulated security is higher by comparing the irreducible polynomials over finite field to the system of three RSAs.
李彬彬
长安大学理学院，陕西 西安
收稿日期：2018年10月23日；录用日期：2018年11月13日；发布日期：2018年11月20日
有限域是计算科学和数字通讯领域基础的数学工具之一，同时也是现代数学的主要分支之一。有限域的一般理论主要是从Gauss和Galois的工作开始，但最近几十年，随着离散数学的成长与发展，很多专家开始慢慢注重有限域理论的研究和应用。同时，多项式理论，特别是不可约多项式的性质对剖析各种伪随机序列的性能有着异常的性能，因此对于有限域上的不可约多项式的研究一直受到数学界、编码与密码领域的广泛关注。尤其是在信息化的时代，人们开始越来越重视自身的信息安全。本文对基于有限域上的不可约多项式对RSA公钥密码体制的三种模拟进行比较，发现PK-RSA模拟安全性更高。
关键词 :有限域，不可约多项式，RSA体制
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近几十年来，信息安全已经越来越被看作是一种基本的需求，随着安全电子邮件、电子商务和电子政务等各项安全服务日趋增多。随着因特网的普及和通信技术的飞速发展，人们对于信息安全的需求越来越高，而且信息安全和保密信息逐渐成为和人们的生活息息相关的问题。现代密码学是研究保密和通信安全的一门学科，它包括两个方面：一方面是密码编码学，它的主要任务是保护信息，使得信息在传递过程中能够得到很好的保护不被他人窃取、解读和利用，其中用到的主要方法是变换信息；另一方面是密码分析学，它刚好与密码编码学相反，主要任务是如何分析和破译密码，两者之间相互独立又相互促进。公钥密码体制作为信息安全保障框架的基石与技术支撑成为当前信息技术领域中最活跃的因素，人们对这一体制 [
其他的一些判定算法大多都出现在需要使用有限域上 [
1) 假设p和q都是大素数，且满足 p < q , r = p q ，选择 F p 上的一个首项系数为1的m次多项式为 g ( x ) ，使其在 F p 上满足分解式 g ( x ) = g 1 ( 1 ) ( x ) g 2 ( 1 ) ( x ) ⋯ g k 1 ( 1 ) ( x ) ，其中 g i ( 1 ) ( x ) 为 F p 上的 m i ( 1 ) 次不可约多项式 ( i = 1 , 2 , ⋯ , k 1 ) ，同时 g ( x ) 在 F q 上满足分解式：
g ( x ) = g 1 ( 2 ) ( x ) g 2 ( 2 ) ( x ) ⋯ g k 2 ( 2 ) ( x ) ， g i ( 2 ) ( x ) 为 F q 上的 m i ( 2 ) 次不可约多项式 ( i = 1 , 2 , ⋯ , k 2 ) ；
2) 根据欧拉函数的通式易得：
ϕ p ( g ( x ) ) = p m ∏ i = 1 k 1 ( 1 − 1 p m i ( 1 ) ) ， ϕ q ( g ( x ) ) = q m ∏ i = 1 k 2 ( 1 − 1 p m i ( 2 ) ) ；
3) 根据Euclid算法： e 1 d 1 ≡ 1 mod ( ϕ p ( g ( x ) ) ) , 1 < e 1 , d 1 < ϕ p ( g ( x ) ) ，得：
e 2 d 2 ≡ 1 mod ( ϕ q ( g ( x ) ) ) , 1 < e 2 , d 2 < ϕ q ( g ( x ) ) ，
则可求得： { e 1 , d 1 } 和 { e 2 , d 2 } ；
4) 可计算得其公钥为： { e 1 , e 2 , g ( x ) , r } ，私钥为： { d 1 , d 2 , p , q , ϕ p ( g ( x ) ) , ϕ q ( g ( x ) ) } 。
假设明文为 ( a m − 1 , a m − 2 , ⋯ , a 1 , a 0 ) ∈ Z r m ；则计算得：
〈 ( a m − 1 x m − 1 + a m − 2 x m − 2 + ⋯ + a 1 + a 0 ) e 1 〉 g ( x ) = b m − 1 ( 1 ) x m − 1 + b m − 2 ( 1 ) x m − 2 + ⋯ + b 1 ( 1 ) x + b 0 ( 1 ) ；
〈 ( a m − 1 x m − 1 + a m − 2 x m − 2 + ⋯ + a 1 x + a 0 ) e 2 〉 g ( x ) = b m − 1 ( 2 ) x m − 1 + b m − 2 ( 2 ) x m − 2 + ⋯ + b 1 ( 2 ) x + b 0 ( 2 ) ；
其中 〈 f ( x ) 〉 g ( x ) 表示不可约多项式 f ( x ) 模 g ( x ) 的余式，系数模r，则可将：
( b m − 1 ( 1 ) , b m − 2 ( 1 ) , ⋯ , b 1 ( 1 ) , b 0 ( 1 ) ; b m − 1 ( 2 ) , b m − 2 ( 2 ) , ⋯ , b 1 ( 2 ) , b 0 ( 2 ) ) ∈ Z r 2 m 作为密文。
1) 已知 ( b m − 1 , b m − 2 , ⋯ , b 1 , b 0 ) ∈ Z r m ，可得：
c j ( 1 ) = 〈 b j 〉 p , c j ( 2 ) = 〈 b j 〉 q , j = 0 , 1 , 2 , ⋯ , m − 1 。
2) 在 F p 和 F q 上分别计算：
〈 ( c m − 1 ( 1 ) x m − 1 + c m − 2 ( 1 ) x m − 2 + ⋯ + c 1 ( 1 ) x + c 0 ( 1 ) ) d 1 〉 g ( x ) = a m − 1 ( 1 ) x m − 1 + a m − 2 ( 1 ) x m − 2 + ⋯ + a 1 ( 1 ) x + a 0 ( 1 ) ；
〈 ( c m − 1 ( 1 ) x m − 1 + c m − 2 ( 1 ) x m − 2 + ⋯ + c 1 ( 2 ) x + c 0 ( 2 ) ) d 2 〉 g ( x ) = a m − 1 ( 2 ) x m − 1 + a m − 2 ( 1 ) x m − 2 + ⋯ + a 1 ( 2 ) x + a 0 ( 2 ) 。
3) 解同余方程组：
{ a j ≡ a j ( 1 ) mod p a j ≡ a j ( 2 ) mod q ( j = 0 , 1 , 2 , ⋯ , m − 1 )
则明文为 ( a m − 1 , a m − 2 , ⋯ , a 1 , a 0 ) ∈ Z r m 。
由于分解有限域 F p 上的m次不可约多项式的时间复杂程度为 O ( p m 3 ) 。所以，当p过小时，有限域上分解的时间复杂度仅为 O ( m 3 ) ，则仍为多项式形式的复杂度，那么该体制是不安全的。而当p过大时，Berlekamp算法就对分解就没有意义，且此时限制多项式 g ( x ) 的次数不能过大，更不必讨论对于多项式的加密和解密了。假设 g ( x ) 次数不够大，由于 g ( x ) 公开，人们将会利用列举法对 g i ( x ) 的次数进行破解易将密码体制破解，造成信息的泄露。所以这种算法是不安全的。
1) 假设p和q都是大素数，并且满足 p < q , r = p q ，选择 F p 上的一个首项系数是1的m次多项式是 g ( x ) ，使得它在 F p 上满足分解式 g ( x ) = g 1 ( 1 ) ( x ) g 2 ( 1 ) ( x ) ⋯ g k 1 ( 1 ) ( x ) ，其中的 g i ( 1 ) ( x ) 分别是 F p 上的 m i ( 1 ) 次不可约多项式 ( i = 1 , 2 , ⋯ , k 1 ) ，同时使得 g ( x ) 在 F q 上满足分解式 g ( x ) = g 1 ( 2 ) ( x ) g 2 ( 2 ) ( x ) ⋯ g k 2 ( 2 ) ( x ) ， g i ( 2 ) ( x ) 分别是 F q 上的 m i ( 2 ) 次不可约多项式 ( i = 1 , 2 , ⋯ , k 2 ) ；
2) 计算 ϕ r ( g ( x ) ) = ϕ p ( g ( x ) ) ϕ q ( g ( x ) ) = r m ∏ i = 1 k 1 ( 1 − 1 p m i ( 1 ) ) ∏ i = 1 k 2 ( 1 − 1 p m i ( 2 ) ) ；
3) 根据Eulid算法： e d ≡ 1 mod ( ϕ r ( g ( x ) ) ) , 1 < e , d < ϕ r ( g ( x ) ) , gcd ( e , ϕ r ( g ( x ) ) ) = 1 ，
那么就会有明文空间和密文空间都是 Z r m ；其中的 p , q , ϕ p ( g ( x ) ) , ϕ q ( g ( x ) ) 是保密的；
4) 那么会有公钥是 { e , r , g ( x ) } ，私钥是 { d , g ( x ) } 。
假设明文 ( a m − 1 , a m − 2 , ⋯ , a 1 , a 0 ) ∈ Z r m ，计算：
〈 ( a m − 1 x m − 1 + a m − 2 x m − 2 + ⋯ + a x + a 0 ) e 〉 g ( x ) = b m − 1 x m − 1 + b m − 2 x m − 2 + ⋯ + b 1 x + b 0 ；
其中的 〈 f ( x ) 〉 g ( x ) 表示的是多项式 f ( x ) 模 g ( x ) 的余式，系数模r，那么可将：
( b m − 1 , b m − 2 , ⋯ , b 1 , b 0 ) 作为密文。
1) 已知 ( b m − 1 , b m − 2 , ⋯ , b 1 , b 0 ) ∈ Z r m ，计算：
〈 ( b m − 1 x m − 1 + b m − 2 x m − 2 + ⋯ + b 1 x + b 0 ) d 〉 g ( x ) = a m − 1 x m − 1 + a m − 2 x m − 2 + ⋯ + a 1 x + a 0 ，
2) 求出明文：
( a m − 1 , a m − 2 , ⋯ , a 1 , a 0 ) ∈ Z r m 。
因为在算法中p和q都是比较大的素数，所以 ϕ r ( g ( x ) ) 也是比较大的数，它会导致 e , d 也比较大，从而导致在应用中加密和解密速度滞后，所以也是不太可取的。
在分析了上面有限域上不可约多项式的RSA的两种模拟后发现对公钥密码体制的解密和加密都是不可取的，在各方面都存在安全隐患，针对这一问题，对一种新的算法进行表述并对其进行了实例验证。
在设计算法之前，在这儿先给出其中要用到的两个定义，第一个是拟明文：将所有形式的明文数字都转化成0、1序列后，异或一个0、1序列得到的序列就成为拟明文。例如，明文数字化后的序列是 ( 1 , 0 ) ，选择异或的序列是 ( 0 , 1 ) ，那么可以得到拟明文序列是 ( 1 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 ) = ( 1 , 1 ) 。第二个是相伴多项式：在 F p 有限域上，任意多项式都可以化为首项系数是1，其余的各项系数都是正数的相伴多项式。例如，多项式 ( − 2 x 2 − 1 ) 经过一系列变换， ( − 2 x 2 − 1 ) → 3 ∗ ( − 2 x 2 − 1 ) → ( − 6 x 2 − 3 ) → ( x 2 + 4 ) ，就变成了有限域 F 7 上的相伴多项式为 ( x 2 + 4 ) 。
1) 假设p和q都是大素数，并且其能够满足 p < q , r = p q ，选择 F p 上的一个首项系数是1的m次多项式为 g ( x ) ，使其在 F p 上满足分解式
2) 计算 ϕ r ( g ( x ) ) = ϕ p ( g p ( x ) ) ϕ q ( g q ( x ) ) = r m ∏ i = 1 k 1 ( 1 − 1 p m i ( 1 ) ) ∏ i = 1 k 2 ( 1 − 1 p m i ( 2 ) ) 和 ϕ p ( g p ( x ) ) = r m ∏ i = 1 k 1 ( 1 − 1 p m i ( 1 ) ) ；
3) 恰当的因子，则 ϕ p ( g p ( x ) ) 的一个大因子是k；
4) 在有限域
5) 选择一个和k互素的e，并且有 ( e > 1 ) ；
6) 计算d，使得它满足 e d ≡ 1 ( mod k ) ，那么公钥 ( e , r , g ( x ) ) ，私钥 ( d , r , g ( x ) ) ；
7) 严格的保密 p , q , k ，使得它不能被销毁，为的是系统能够继续利用。
1) 将计算明文m数字化成0、1序列，根据解空间 S p k ( g ( x ) ) 中的某个特定解 h ( x ) 经一个异或序列 r ( x ) ，将明文序列 m ( x ) 异或此序列得到一个拟明文序列 m ′ ( x ) ，即满足 m ( x ) ⊕ r ( x ) = m ′ ( x ) ；
2) 计算明文 〈 m ′ ( x ) e 〉 g ( x ) = c ( x ) ，其中的 〈 f ( x ) 〉 g ( x ) 表示多项式 f ( x ) 模 g ( x ) 的余式，系数模p，那么将 c ( x ) 作为密文。
已知 c ( x ) ∈ S p k ( g ( x ) ) ，
1) 计算拟明文： 〈 c ( x ) d 〉 g ( x ) = m ′ ( x ) ，并且 m ′ ( x ) ∈ S p k ( g ( x ) ) ；
2) 恢复明文： m ′ ( x ) ⊕ r ( x ) = m ( x ) 。
首先，改算法保证了 p , q , e , d , k 和 g ( x ) 具有一定的数量级。其次，在选取的 g ( x ) 在 F p 和 F q 上的分解式也是可行的。另外，多项式的乘幂运算实际上就将是不可约多项式相乘，就是求有限域 F p 上的序列卷积，它可用快速数论变换来实现。在此基础上，可通过计算机程序来求解 x k ≡ 1 ( mod g ( x ) ) 的k次本原根 h ( x ) ，即将有限域 F p 上所有的不可约多项式代入方程进行求模， h ( x ) 的最高次可以取 ，每项的系数可以取 ，即可得出解空间的计算是非常容易的。PK-RSA算法的每一步都是可行的，而且计算量和保密度都优于前面两种RSA新模拟。下面对PK-RSA新公钥体制的实例进行验证。
1) 密钥的生成
a) 首先，选择两个保密的大素数比如 p = 7 , q = 5 , r q = 35 ，接下来选择一个多项式是 g ( x ) = x 4 + 2 x 2 + 1 ，那么根据多项式分解定理，一方面可 g ( x ) = x 4 + 2 x 2 + 1 分解成为
b) 然后计算： ϕ 35 ( g ( x ) ) = ϕ 7 ( ( x 2 + 1 ) 2 ) ϕ 5 ( ( x + 2 ) 2 ( x + 3 ) 2 ) = 35 4 ( 1 − 1 7 2 ) ( 1 − 1 5 ) ( 1 − 1 5 ) ，进而有：
ϕ 35 ( g ( x ) ) = 940800 = 2352 × 400 = ( 2 4 × 3 × 7 2 ) × ( 2 4 × 5 2 ) = 3 × 2 8 × 5 2 × 7 2 。
c) 选择 ϕ 7 ( g 7 ( x ) ) 中的一个恰当的大因子为7。
d) 计算方程 x 7 ≡ 1 ( mod ( ( x 2 + 1 ) 2 ) ) 的7次本原根 h ( x ) ，因为7为 ϕ 7 ( g 7 ( x ) ) 的因子，那么根据模理论可知，模 g 7 ( x ) 的7次本原根 h ( x ) 就一定存在，而且其中的一个是 x 2 + 2 ，并且它的解空间是 ( x 2 + 2 ) 4 , ( x 2 + 2 ) 5 , ( x 2 + 2 ) 6 ，可知这些都为 S 7 7 ( ( x 2 + 1 ) 2 ) 中的元素，除了这些可能还有其他元素，其中的 ( x 2 + 2 ) 0 = 1 是平凡的本原根。
e) 选择一个和7互素的e，令 e = 2 。
f) 计算d，满足 2 d ≡ 1 mod 7 (因为2和7互素，其中的d一定存在，并且有 d = 4 ，那么就有拟明文和密文空间都是 S 7 7 ( ( x 2 + 1 ) 2 ) 。
g) 于是公钥是 ( 2 , 35 , x 4 + 2 x 2 + 1 ) ，私钥是
h) 要求严格的保密7、5、7，但是不能销毁。
2) 加密算法
a) 将任意明文m数字化成0、1序列 ( 1 , 1 , 1 , 0 ) ；
b) 根据解空间中的某个特定解 h ( x ) = ( 1 , 0 , 10 ) ，经一个异或序列 r ( x ) = ( 0 , 1 , 00 ) ，将明文序列
c) 计算密文 〈 ( x 2 + 2 ) 2 〉 ( x 2 + 1 ) 2 = x 2 + 5 ，并选择 S 7 7 ( ( x 2 + 1 ) 2 ) 中的一个元素 x 2 + 2 作为拟明文 m ′ ( x ) ，那么就有 m ′ ( x ) = ( 1 , 0 , 2 ) ，进行下面的加密操作 〈 ( x 2 + 2 ) 2 〉 ( x 2 + 1 ) 2 = x 2 + 5 ，这里 〈 ( x 2 + 2 ) 2 〉 ( x 2 + 1 ) 2 表示多项式
3) 解密算法
已知 ( 1 , 0 , 5 ) ∈ S 7 7 ( ( x 2 + 1 ) 2 )
a) 计算 〈 ( x 2 + 5 ) 4 〉 ( x 2 + 1 ) 2 = x 2 + 2 ，这样就得到了拟明文 ( 1 , 0 , 2 ) ∈ S 7 7 ( ( x 2 + 1 ) 2 ) 。
b) 恢复明文： m ′ ( x ) ⊕ r ( x ) = m ( x ) ，即得 ( 1 , 0 , 10 ) ⊕ ( 0 , 1 , 00 ) = ( 1 , 1 , 10 ) 。
感谢我的导师郑素佩老师对于我的指导。
李彬彬. 有限域上的不可约多项式RSA体制Irreducible Polynomials about RSA Type Public Key Cryptosystem over Finite Fields[J]. 应用数学进展, 2018, 07(11): 1411-1417. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.711165