吴米娜，邱玲^*

北京工业大学，应用数理学院，北京

收稿日期：2018年10月24日；录用日期：2018年11月5日；发布日期：2018年11月16日

本文研究了一类形如： f ‴ + A 2 ( z ) e P 2 ( z ) f ″ + A 1 ( z ) e P 1 ( z ) f ′ + A 0 ( z ) e P 0 ( z ) f = F (z) 的非齐次线性微分方程解f的导数的Julia集的径向分布问题以及讨论了方程的解的Baker游荡域的存在性。其中 P j ( z ) 是次数 n ≥ 1 的多项式， A j ( z ) ， F ( z ) 是级小于n的整函数。

关键词 :Julia集，径向分布，Baker游荡域

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本文假定读者熟悉Navanlinna的值分布理论及其符号，详见 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 。另外还需要一些亚纯函数动力系统的基础知识，详见 [ 4 ] [ 5 ] ，设f为复平面上的一个亚纯函数，我们分别用 σ ( f ) 和 μ ( f ) 来表示函数的级和下级，其定义详见 [ 6 ] 。

设 f : C → C ¯ 为超越亚纯函数，其中C是复平面， C ¯ = C ∪ ∞ 。我们用 f n ( n ∈ N ) 来表示函数f的n次迭代。f的Fatou集 F ( f ) 是复平面上的一个子集，f的迭代 f n 在其上是正规的。 F ( f ) 在复平面上的补集称为f的Julia集 J ( f ) 。易见， F ( f ) 是开集， J ( f ) 是非空闭集。

我们记 Ω ( α , β ) = { z : α < arg z < β } ，其中 0 ≤ α < β ≤ 2 π 。给定 θ ∈ [ 0 , 2 π ) ，对于任意的 ε > 0 ，如果 是无界的，那么称射线 arg z = θ 为 J ( f ) 的径向分布。定义 Δ ( f ) = { θ ∈ [ 0 , 2 π ) : arg z = θ 是 J ( f ) 的径向分布。显然， J ( f ) 是可测的闭集。我们用 m e s Δ ( f ) 来表示 J ( f ) 的线性测度。

关于超越亚纯函数Julia集的径向分布已经有很多重要的研究成果，详见 [ 7 ] - [ 12 ] 。1994年，乔建永在 [ 8 ] 中证明了若超越整函数f的下级 μ ( f ) < ∞ ，那么 m e s Δ ( f ) ≥ min { 2 π , π / μ ( f ) } 。2014年，Z. G. Huang，J. Wang在 [ 13 ] 中考虑了下级为无穷的超越亚纯函数，并给出了相应的径向分布的估计。

定理A [ 13 ] 假设 A i ( z ) , i = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 是具有有限下级的整函数，其中 A 0 ( z ) 是超越的，如果 m ( r , A i ) = ο ( m ( r , A 0 ) ) ，那么对于方程

f ( n ) + A n − 1 ( z ) f ( n − 1 ) + ⋯ + A 0 ( z ) f = 0 (1.1)

的任意解 f ≠ 0 ，有 m e s Δ ( f ) ≥ min { 2 π , π / μ ( A 0 ) } 。

对于整函数及其导数，他们的局部性质的差异是惊人的，因为对于一些给定的整函数，很小的参数扰动会导致动力学性质的巨大变化 [ 14 ] 。因此，整函数及其导数之间的动力学性质似乎没有紧密的联系。然而，乔建永证明了下级有限的超越整函数及其导数的Julia集的径向分布大部分是相同的且它们的分布密度相互影响。那么对于下级为无穷的整函数，它与它的导数之间的Julia集的径向分布会有什么样的关系呢？根据对数导数引理，我们可以很容易得到方程(1.1)的每一个非平凡整函数解的下级是无穷的，详细证明过程参见文献 [ 13 ] 。2014年，张国威，丁杰，杨连中在 [ 15 ] 中研究方程(1.1)的整函数解的导数的Julia集的径向分布，其中其他系数为 A 0 ( z ) 的小函数，从而部分地回答了上面提到的问题。

定理B [ 15 ] 设 A i ( z ) , i = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 是下级有限的整函数且 A 0 ( z ) 是超越的，满足当 r → ∞ 时， m ( r , A i ) = ο ( m ( r , A 0 ) ) ，那么，方程(1.1)的每一个非平凡解f满足 m e s ( Δ ( f ) ∩ Δ ( f ( k ) ) ) ≥ min { 2 π , π / μ ( A 0 ) } ，其中k为正整数。

那么我们自然要问，当系数的级相同时，无穷下级的整函数的 J ( f ) 的径向分布测度有什么特点。2016年，J. Wang，Z. X. Chen在 [ 16 ] 中研究了方程

f ″ + ( A 1 ( z ) e P 1 ( z ) + B 1 ( z ) ) f ′ + ( A 2 ( z ) e P 2 ( z ) + B 2 ( z ) ) f = 0 (1.2)

并得出了如下结论。

定理C [ 16 ] 设 k 1 + k 2 ≠ 0 且 max { σ ( A j ) , σ ( B j ) } < k j ( j = 1 , 2 ) 对所有 k j > 0 。若 k j = 0 ，那么 A j 和 B j 是常数。设f为方程(1.2)的非平凡解，定义

E ( f ) : = ∩ n ∈ Z Δ f ( n ) ,

那么

1) 若 k 1 < k 2 ，那么 μ ( f ) = ∞ , m e s E ( f ) ≥ π ；

2) 若 k 1 = k 2 , a 1 / a 2 = b < 1 ，那么 μ ( f ) = ∞ , m e s E ( f ) ≥ π ；

3) 若 k 1 = k 2 , a 1 / a 2 = b ∉ R ，那么 ( f ) = ∞ , m e s E ( f ) ≥ min { arg b , 2 π − arg b } 。

接下来，我们介绍角域内的Nevanlinna理论，详见 [ 13 ] [ 16 ] 。

定义1设 0 ≤ α < β ≤ 2 π ，引入记号：

Ω ( α , β , r ) = { z : α < arg z < β , | z | < r } ;

Ω ¯ ( α , β , r ) = { z : α ≤ arg z ≤ β , | z | < r } ;

Ω * ( α , β , r ) = { z : α < arg z < β , | z | ≥ r } .

定义2假设 f ( z ) 是角域 Ω ¯ ( α , β ) 上的亚纯函数，其中 0 < β − α < 2 π , ω = π / β − α ，定义：

A α , β = ω π ∫ 1 r ( 1 t ω − t ω / r 2 ω ) { log + | f ( t r i α ) | + log + | f ( t r i β ) | } d t t ，

B α , β = 2 ω π r ω ∫ α β log + | f ( r e i θ ) | sin ω ( θ − α ) d θ ,

,

S α , β ( r , f ) = A α , β ( r , f ) + B α , β ( r , f ) + C α , β ( r , f ) ,

其中 b n = | b n | e i β n 是 f ( z ) 在 Ω ¯ ( α , β ) 上的极点，记其重数。 S α , β ( r , f ) 表示 f ( z ) 在角域 Ω ¯ ( α , β ) 上的特征函数， C α , β 称为 f ( z ) 在角域 Ω ¯ ( α , β ) 上的计数函数。

定义3假设 f ( z ) 是角域 Ω ¯ ( α , β ) 上的亚纯函数，定义其在角域上的级为：

σ α , β ( g ) = lim r → ∞ ¯ S α , β ( r , g ) log r .

定义4如果U是 F ( f ) 的一个分支，那么对于每个 n > 1 ，都存在 F ( f ) 的一个分支 U n ⊇ f n ( U ) ，其中 f n ( n ∈ N ) 表示函数f的n次迭代。如果存在整数 n ≥ 0 , m > 0 ，使得 U n + U n + m 不等于空集，我们就说 U n 是一个周期域。如果对于所有满足 n , m ≥ 0 , n ≠ m 的整数，有 U n + U m 等于空集，我们就称U是一个游荡域。

定理1设 P j ( z ) = ∑ i = 0 n a i j z i ( j = 0 , 1 , 2 ) 是次数 n ≥ 1 的多项式，其中 a i j 是复数。令 A j ( z ) ， F ( z ) 是级小于n的整函数。设 a n 0 / a n 1 = b , a n 0 / a n 2 = c ，其中复数 a n j = a j + i b j ( j = 0 , 1 , 2 ) ，满足当 a 0 b 1 < 0 , a 2 b 0 < 0 时，有 a 0 b 0 > 0 成立。若f为方程

f ‴ + A 2 ( z ) e P 2 ( z ) f ″ + A 1 ( z ) e P 1 ( z ) f ′ + A 0 ( z ) e P 0 ( z ) f = F ( z ) (1.3)

的非平凡解，定义：

I ( f ) : = ∩ n ∈ Z Δ f ( n ) ,

1) 若 b , c > 1 ，那么 μ ( f ) = ∞ , m e s I ( f ) ≥ π ；

2) 若 b , c ∉ R ，那么 μ ( f ) = ∞ , m e s I ( f ) ≥ min { arg b , arg c , 2 π − arg b , π − arg b / c } 。

定理2若 P j ( z ) , A j ( z ) , F ( z ) 是满足定理1的多项式，若 b , c > 1 或 b , c ∉ R ，那么 f n ( n ∈ N ) 没有Baker游荡域，即只有单连通Fatou分支。

定理3定义：

I ( f ) : = ∩ n ∈ Z Δ f ( n ) ,

若f是方程

f ( k ) + e a z f ″ + e b z f = 0 , k = 2 , 3 , ⋯ , n (1.4)

的解，其中 a , b 为常数且满足 b > a ，那么 。

引理1 [ 17 ] 设 f ( z ) 是开平面上的超越亚纯函数。 α > 1 是给定的数，对于任何给定的 ε > 0 ，

1) 存在一个常数 B > 0 和有有限对数测度的集合 H 1 ⊂ ( 0 , ∞ ) ，对所有满足 | z | = r ∉ H 1 的z我们有

| f ( j ) ( z ) f ( i ) ( z ) | ≤ B [ T ( α r , f ) r ( log r ) α log T ( α r , f ) ] j − i , ( 0 ≤ i < j ) .

2) 存在一个零线性测度的集合 H 2 ⊂ [ 0 , 2 π ) ，存在常数 B > 0 (只依靠 α )，使得对于 θ ∈ [ 0 , 2 π ) \ H 2 ，存在常数 R 0 = R 0 ( θ ) > 1 ，使得对于所有满足 arg z = θ , | z | = r > R 0 我们有

| f ( j ) ( z ) f ( i ) ( z ) | ≤ B [ T ( α r , f ) r log T ( α r , f ) ] j − i , ( 0 ≤ i < j ) .

引理2 [ 16 ] 设 P ( z ) = ∑ i = 0 n a i z i ( a n = α + i β ≠ 0 ) 是一个非常数的多项式且次数 n ≥ 1 ，其中 a i 是复数。 A ( z ) 是级 σ ( A ) < n 的非零整函数。设定 g ( z ) = A ( z ) e P ( z ) ， ， δ ( P , θ ) = δ ( a n j z n , θ ) = α cos ( n θ ) − β sin ( n θ ) 。那么对任意的 ε > 0 ，存在零线性测度的集合 E ⊂ [ 0 , 2 π ) ，使得若 θ ∈ [ 0 , 2 π ) \ ( E ∪ H 3 ) ，其中 H 3 = { θ ∈ [ 0 , 2 π ) : δ ( P , θ ) = 0 } 是一有限集，那么对充分大的 | z | = r ，我们有

1) 若 δ ( P , θ ) > 0 ，那么

e ( 1 − ε ) δ ( P , θ ) r n ≤ | g ( r e i θ ) | ≤ e ( 1 + ε ) δ ( P , θ ) r n .

2) 若 δ ( P , θ ) < 0 ，那么

e ( 1 + ε ) δ ( P , θ ) r n ≤ | g ( r e i θ ) | ≤ e ( 1 − ε ) δ ( P , θ ) r n .

注1对于多项式 P ( z ) ，我们定义：

S j ( P , θ ) = { θ : − arg ( α + i β ) n + ( 2 j − 1 ) π 2 n < θ < − arg ( α + i β ) n + ( 2 j + 1 ) π 2 n } .

其中 j = 0 , 1 , ⋯ , 2 n − 1 。由多项式的基本特征 [ 18 ] ，若 θ ∈ S j ，当j为偶数时， δ ( P , θ ) > 0 ，当j为奇数时， δ ( P , θ ) < 0 。

引理3 [ 19 ] 设 g ( z ) 是开平面的亚纯函数且 σ ( g ) = σ < ∞ 。那么对任意 ε > 0 ，存在有限线性测度和有限对数集合 H 6 ⊂ ( 1 , ∞ ) 使得当 | z | = r ∉ [ 0 , 1 ] ∪ H 6 ， r → ∞ ，我们有

| g ( z ) | ≤ e r σ + ε .

引理4 [ 16 ] 设 f ( z ) 是整函数且满足 m e s I ( f ) < 2 π , n ≥ 1 是正整数。若 ( α , β ) ⊄ I ( f ) ，那么我们有 ( α 0 , β 0 ) ⊂ ( α , β ) 使得

| f ( j ) ( z ) f ( z ) | ≤ K r M ( s = 1 , 2 , ⋯ , n )

对于 z ∈ Ω ( α 0 , β 0 ) 成立，可能需除去一个有限线性测度的集合，其中M和K是两个和z无关的量。

引理5 [ 16 ] 假设 f ( z ) 是一个至多有有限多个极点的超越亚纯函数，且其Julia集 J ( f ) 只有有界分支，那么对于任何一个复数a，都存在一个常数 0 < d < 1 和两个数列 { r n } 和 { R n } ，满足当 r → ∞ 时， r n → ∞ R n r n → ∞ ，使得

M ( r , a , f ) ≤ L ( r , a , f ) , r ∈ G ,

其中 G = ∪ n = 1 ∞ { r n < r < R n } 具有无穷对数测度， M ( r , a , f ) = max { | f ( z ) | : | z − a | = r } 。

引理6 [ 16 ] 设 p j ( x ) ( j = 1 , 2 , ⋯ , n ) 和 f ( z ) 是区间 [ a , b ] 上的连续的复值函数， P j ( z ) 和 F ( x ) 是非负的连续函数且满足 | p j ( x ) | ≤ P j ( z ) , | f ( z ) | ≤ F ( x ) 。假若 v ( x ) 和 V ( x ) 分别为方程

v ( n ) − ∑ j = 1 n p j ( x ) v ( n − j ) = f (x)

和

V ( n ) − ∑ j = 1 n P j ( x ) V ( n − j ) = F (x)

的解，若 V ( k ) ( a ) ≥ | v ( k ) ( a ) | ( k = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 ) ，那么对 x ∈ [ a , b ] 有 | v ( k ) ( a ) | ≤ | V ( k ) ( a ) | 。

引理7 [ 16 ] 设 f ( z ) 是在 Ω ( α − ε , β + ε ) 上的亚纯函数，其中 ε > 0 ， 0 < α < β < 2 π 。那么

A α , β ( r , f ′ f ) + B α , β ( r , f ′ f ) ≤ K ( log + S α − ε , β + ε ( r , f ) + log r + 1 )

对于 r > 1 成立，至多除去一个有限线性测度的集合。

定理1的证明：

1) a n 1 a n 0 = 1 b < 1 , a n 2 a n 0 = 1 c < 1 设 1 b = μ , 1 c = ν ，令 d = max { 1 , μ , ν } ，因此有 δ ( P 1 , θ ) ≤ d δ ( P 0 , θ ) ， δ ( P 2 , θ ) ≤ d δ ( P 0 , θ ) 。设 σ ( F ) = l < n ，取 0 < ε < min { 1 − d 1 + d , n − l } ，因此 d ( 1 + ε ) < ( 1 − ε ) 。

由(1.1)和引理1知，存在一个零线性测度的集合 H 1 ⊂ [ 0 , 2 π ) ，存在常数 B > 0 (只依靠 α )，使得对于 θ ∈ [ 0 , 2 π ) \ H 1 ，存在常数 R 0 = R 0 ( θ ) > 1 ，使得对于所有满足 arg z = θ , | z | = r > R 0 我们有

| A 0 e P 0 | ≤ | F f | + | f ‴ f | + | A 2 e P 2 | | f ″ f | + | A 1 e P 1 | | f ′ f | ≤ ( 1 + | A 2 e P 2 | + | A 1 e P 1 | + | F f | ) B T ( 2 r , f ) 3 (3.1)

对 A i e P i , i = 0 , 1 , 2 应用引理2，存在零线性测度的集合 H 2 ⊂ [ 0 , 2 π ) ，使得若 θ ∈ S j ( P 0 , θ ) \ ( H 1 ∪ H 2 ) ， j = 0 , 2 , ⋯ , 2 n − 2 ，其中 H 2 = { θ ∈ [ 0 , 2 π ) : δ ( P 0 , θ ) = δ ( P 1 , θ ) = δ ( P 2 , θ ) = 0 } 是一有限集，那么对充分大的 | z | = r ，我们有

e ( 1 − ε ) δ ( P 0 , θ ) r n ≤ | A 0 e P 0 | (3.2)

| A i e P i | ≤ e ( 1 + ε ) d δ ( P 0 , θ ) r n , i = 1 , 2 (3.3)

由级的定义及引理3可知，存在有限线性测度和有限对数集合 H 3 ⊂ ( 1 , ∞ ) 使得当 | z | = r ∉ [ 0 , 1 ] ∪ H 3 ， r → ∞ ，我们有

| F f | ≤ | F | ≤ e r l + ε (3.4)

将(3.2) (3.3) (3.4)代入(3.1)，对所有 θ ∈ S j ( P 0 , θ ) \ ( H 1 ∪ H 2 ) ， | z | = r ∉ [ 0 , 1 ] ∪ H 3 ， r → ∞ ，j是偶数，有

e ( 1 − ε ) δ ( P 0 , θ ) r n ≤ 4 B e ( 1 + ε ) d δ ( P 0 , θ ) r n T ( 2 r , f ) 3 (3.5)

由于 0 < ε < min { 1 − d 1 + d , n − l } ，可知 μ ( f ) = ∞ 。通过注1可知，当j为偶数时， S j ( P 0 , θ ) 是n个线性测度为 π n 的开区间，接下来，我们来证明 S j ( P 0 , θ ) ⊂ I ( f ) ，否则，一定存在一个开区间 S j 0 ( P 0 , θ ) ⊄ I ( f ) ， j 0 ∈ 0 , 2 , ⋯ , 2 n − 2 。由引理4知，存在 ( α 0 , β 0 ) ⊂ ( α , β ) 使得

| f ( s ) ( z ) f ( z ) | ≤ K r M ( s = 1 , 2 , 3 ) (3.6)

对于 z ∈ Ω ( α 0 , β 0 ) 成立，可能需除去一个有限线性测度的集合 E 1 ，其中M和K是两个和z无关的量。

将(3.2) (3.3) (3.4) (3.6)代入(3.1)，可得对所有 θ ∈ ( α 0 , β 0 ) 和充分大的 r ∉ E 1 ，我们有

e ( 1 − ε ) δ ( P 0 , θ ) r n ≤ 4 e ( 1 + ε ) d δ ( P 0 , θ ) r n K r M (3.7)

由于 δ ( P , θ ) > 0 ，因此，矛盾。所以 S j ( P 0 , θ ) ⊂ I ( f ) 。 因此 m e s I ( f ) ≥ π 。

2) 若 a n 0 a n 1 = b ∉ R , a n 0 a n 2 = c ∉ R ，设 a n 2 a n 1 = d = b c ∉ R 。

情况1： arg b ∈ ( 0 , π ) , arg c ∈ ( 0 , π ) , arg d ∈ ( 0 , π ) ，由注1可知

S j ( θ ) = S j ( P 2 , θ ) ∩ S j + 1 ( P 0 , θ ) ∩ S j ( P 1 , θ ) , j = 1 , 3 , ⋯ , 2 n − 1 (3.8)

是n个开区间，其中每个开区间的线性测度为 arg c n ，这些区间 S j ( θ ) 满足若 θ ∈ S j ( P 0 , θ ) ， j = 1 , 3 , ⋯ , 2 n − 1 ，那么

δ ( P 0 , θ ) > 0 , δ ( P 1 , θ ) < 0 , δ ( P 2 , θ ) < 0 (3.9)

因此，由引理2，取 0 < ε < min { 1 − d 1 + d , n − l } ，存在零线性测度的集合 E 2 ⊂ [ 0 , 2 π ) ，使得若 θ ∈ S j ( θ ) \ ( E 2 ∪ H 4 ) ， ，其中 H 4 = { θ ∈ [ 0 , 2 π ) : δ ( P 0 , θ ) = δ ( P 1 , θ ) = δ ( P 2 , θ ) = 0 } 是一有限集，那么对充分大的 | z | = r ，我们有

e ( 1 − ε ) δ ( P 0 , θ ) r n ≤ | A 0 e P 0 | (3.10)

| A i e P i | ≤ e ( 1 + ε ) d δ ( P 0 , θ ) r n , i = 1 , 2 (3.11)

将(3.4) (3.10) (3.11)代入(3.1)得

e ( 1 − ε ) δ ( P 0 , θ ) r n ≤ ( 2 e r l + ε + e ( 1 − ε ) δ ( P 1 , θ ) r n + e ( 1 − ε ) δ ( P 1 , θ ) r n ) B T ( 2 r , f ) 3 (3.12)

因为 δ ( P 0 , θ ) > 0 , δ ( P 1 , θ ) < 0 , δ ( P 2 , θ ) < 0 ，得 μ ( f ) = ∞ 。

若 S j ( θ ) ⊄ I ( f ) ，由引理4知，存在 ( α 0 , β 0 ) ⊆ S j ( θ ) ，使得

| f ( s ) ( z ) f ( z ) | ≤ K r M ( s = 1 , 2 , 3 ) (3.13)

对所有 z ∈ Ω ( α 0 , β 0 ) 成立， | z | = r ∉ E 3 ， m e s E 3 < ∞ ，其中 K , M 是整数。

将(3.13)代入(3.12)得

e ( 1 − ε ) δ ( P 0 , θ ) r n ≤ ( 2 e r l + ε + e ( 1 − ε ) δ ( P 1 , θ ) r n + e ( 1 − ε ) δ ( P 1 , θ ) r n ) K r M (3.14)

因为 δ ( P 0 , θ ) > 0 , δ ( P 1 , θ ) < 0 , δ ( P 2 , θ ) < 0 ， ，矛盾。所以 S j ( θ ) ⊂ I ( f ) ， j ∈ ( 1 , 3 , ⋯ , 2 n − 1 ) ，因此 m e s I ( f ) ≥ arg c 。

情况2： arg b ∈ ( 0 , π ) , arg c ∈ ( 0 , π ) , arg d ∈ ( π , 2 π ) ，现在 S j ( θ ) 在(3.8)中是由n个线性测度为 arg c n 的

开区间组成，使用和情况1相同的方法，可得 μ ( f ) = ∞ 。并且可以证明 S j ( θ ) ⊂ I ( f ) , j ∈ ( 1 , 3 , ⋯ , 2 n − 1 ) 。因此可得 m e s I ( f ) ≥ arg b 。

情况3： arg b ∈ ( π , 2 π ) , arg c ∈ ( π , 2 π ) , arg d ∈ ( π , 2 π ) ，现在 S j ( θ ) 在(3.8)中是由n个线性测度为

2 π − arg b n 的开区间组成，使用和情况1相同的方法，可得 μ ( f ) = ∞ 。并且可以证明

S j ( θ ) ⊂ I ( f ) , j ∈ ( 1 , 3 , ⋯ , 2 n − 1 ) 。因此可得 m e s I ( f ) ≥ 2 π − arg b 。

情况4： arg b ∈ ( π , 2 π ) , arg c ∈ ( π , 2 π ) , arg d ∈ ( 0 , π ) ，现在 S j ( θ ) 在(3.8)中是由n个线性测度为 2 π − arg b n

的开区间组成，使用和情况1相同的方法，可得 μ ( f ) = ∞ 。并且可以证明 S j ( θ ) ⊂ I ( f ) , j ∈ ( 1 , 3 , ⋯ , 2 n − 1 ) 。因此可得 m e s I ( f ) ≥ 2 π − arg b 。

情况5： arg b ∈ ( 0 , π ) , arg c ∈ ( π , 2 π ) , arg d ∈ ( 0 , π ) ，现在 S j ( θ ) 在(3.8)中是由n个线性测度为 2 π − arg b n

的开区间组成，使用和情况1相同的方法，可得 μ ( f ) = ∞ 。并且可以证明 S j ( θ ) ⊂ I ( f ) , j ∈ ( 1 , 3 , ⋯ , 2 n − 1 ) 。因此可得 m e s I ( f ) ≥ 2 π − arg b 。

情况6： arg b ∈ ( 0 , π ) , arg c ∈ ( π , 2 π ) , arg d ∈ ( π , 2 π ) ，现在 S j ( θ ) 在(3.8)中是由n个线性测度为 2 π − arg b n

的开区间组成，使用和情况1相同的方法，可得 μ ( f ) = ∞ 。并且可以证明 S j ( θ ) ⊂ I ( f ) , j ∈ ( 1 , 3 , ⋯ , 2 n − 1 ) 。因此可得 m e s I ( f ) ≥ 2 π − arg b 。

情况7： arg b ∈ ( π , 2 π ) , arg c ∈ ( 0 , π ) , arg d ∈ ( 0 , π ) ，现在 S j ( θ ) 在(3.8)中是由在n个线性测度为 π − arg d n = π − arg b c n 的开区间组成，使用和情况1相同的方法，可得 μ ( f ) = ∞ 。并且可以证明 S j ( θ ) ⊂ I ( f ) , j ∈ ( 1 , 3 , ⋯ , 2 n − 1 ) 。因此可得 m e s I ( f ) ≥ π − arg b c 。

情况8：当 arg b ∈ ( π , 2 π ) , arg c ∈ ( 0 , π ) ，因为 a n j = a j + i b j ( j = 0 , 1 , 2 ) ，计算得：

a n 0 a n 1 = ( a 0 a 1 + b 0 b 1 ) + ( a 1 b 0 − a 0 b 1 ) i a 1 2 + b 1 2 ,

a n 0 a n 2 = ( a 0 a 2 + b 0 b 2 ) + ( a 2 b 0 − a 0 b 2 ) i a 2 2 + b 2 2 ,

a n 2 a n 1 = ( a 1 a 2 + b 1 b 2 ) + ( a 2 b 1 − a 1 b 2 ) i a 1 2 + b 1 2 ,

因此 a 1 b 0 − a 0 b 1 < 0 ， a 2 b 0 − a 0 b 2 > 0 ，由于当 a 0 b 1 < 0 , a 2 b 0 < 0 时，有 成立，即 a ` 1 b 0 < a 0 b 1 < 0 ， a 0 b 2 < a 2 b 0 < 0 。故 a 1 b 2 a 0 b 0 > a 2 b 1 a 0 b 0 ，因为 a 0 b 0 > 0 。因此 arg d ∉ ( π , 2 π ) 。所以可以归结为以上七种情况。因此得证。

定理2的证明：若 b , c > 1 ，可知 S j ( P 0 , θ ) = S j ( P 1 , θ ) = S j ( P 2 , θ ) 。若 b , c ∉ R ，由定理1可知 S j ( θ ) = S j ( P 2 , θ ) ∩ S j + 1 ( P 0 , θ ) ∩ S j ( P 1 , θ ) , j = 1 , 3 , ⋯ , 2 n − 1 不等于空集。由注1可知，存在奇数 j 1 , j 2 , j 3 ，使得开区间 S j 1 ( P 2 , θ ) ∩ S j 2 ( P 0 , θ ) ∩ S j 3 ( P 1 , θ ) 不等于空集。

因此，存在 θ 1 , θ 2 和M满足 θ 1 < θ 2 , n ≤ M , π θ 2 − θ 1 < M 。使得若 ，那么 δ ( P 0 , θ ) < 0 ， δ ( P 1 , θ ) < 0 , δ ( P 2 , θ ) < 0 。由Phragmén-Lindelöf原理，可知对任意的 z ∈ Ω ¯ ( θ 1 , θ 2 ) ，

| A 0 ( z ) e P 0 ( z ) | , | A 1 ( z ) e P 1 ( z ) | , | A 2 ( z ) e P 2 ( z ) |

是有界的，因此

max { | A 0 ( z ) e P 0 ( z ) | , | A 1 ( z ) e P 1 ( z ) | , | A 2 ( z ) e P 2 ( z ) | } < K (3.15)

其中 K > 0 是一常数。对于情况 n ≤ 0 ，对于方程(1.2)， ϕ ( z ) = f ( n ) ( z ) 一定满足以下方程

ϕ ( m ) + A 2 ( z ) e P 2 ( z ) ϕ ( m − 1 ) + A 1 ( z ) e P 1 ( z ) ϕ ( m − 2 ) + A 0 ( z ) e P 01 ( z ) ϕ ( m − 3 ) = F ( z ) (3.16)

其中 m = − n + 3 。设 φ ( r ) = ϕ ( r e i θ ) ，因为 φ ( k ) ( r ) = e k i θ ϕ ( r e i θ ) , k ∈ N ，那么

φ ( m ) + A 2 ( z ) e P 2 ( z ) e i θ φ ( m − 1 ) + A 1 ( z ) e P 1 ( z ) e 2 i θ φ ( m − 2 ) + A 0 ( z ) e P 01 ( z ) e 3 i θ φ ( m − 3 ) = F ( z ) (3.17)

定义 ψ ( r ) = e 2 K r ，那么 ψ ( r ) 满足方程

ψ ( m ) − 2 K 3 ψ ( m − 1 ) − 4 K 2 3 ψ ( m − 2 ) − 8 K 3 3 ψ ( m − 3 ) = 0 (3.18)

令 M 0 = max { 1 , | ϕ ( 0 ) | , ( 2 K ) − j | ϕ ( j ) ( 0 ) | , j = 0 , 1 , ⋯ , m } ，那么

| ϕ ( 0 ) | ≤ M 0 ψ 0 , | ϕ ( j ) ( 0 ) | ≤ M 0 ψ 0 ( j ) , j = 0 , 1 , ⋯ , m (3.19)

由引理6可知，

| ϕ ( r e i θ ) | = | φ ( r ) | ≤ M 0 ψ 0 = M 0 e 2 K r

对所有 成立。因此，这意味着

log + | f ( n ) | ≤ M 1 r , z ∈ Ω ¯ ( θ 1 , θ 2 ) ,

其中 M 1 是常数。因为 f ( z ) 是整函数，因此对于 n ≤ 0 ，我们有

S θ 1 , θ 2 ( r , f ( n ) ) = O ( r ) (3.20)

当 n > 0 ，由(3.20)和引理7，可知对任意的 ε > 0 ，有

S θ 1 + ε , θ 2 − ε ( r , f ( n ) ) = O ( r ) + O ( log r ) = O ( r ) , r ∉ E 1 (3.21)

成立，其中 E 1 是一有限线性测度的集合。

假设 g = f ( n ) 有Baker游荡域，在 [ 20 ] 中，证明了有限多个极点的超越亚纯函数f的Julia集只有有界分支当且仅当有Baker游荡域。因此可知 J ( g ) 只有有界Julia分支。由引理5，存在 0 < d < 1 ，使得

| g ( z ) | ≥ M ( r , g ) d , r ∈ G (3.22)

其中G是具有无穷对数测度的集合。通过上式可得

S α , β ( r , g ) ≥ B α , β ( r , g ) ≥ 2 ω π r ω ∫ α β log + | g ( r e i θ ) | sin ω ( θ − α ) d θ ≥ 2 ω π r ω ∫ α β d log + M ( r , g ) 2 π sin ω ( θ − α ) d θ ≥ 2 d r ω log M ( r , g ) , r ∈ G \ E 1 (3.23)

其中 α = θ 1 + ε , β = θ 2 − ε , ω = π θ 2 − θ 1 − 2 ε ，对于 n > 0 ， α = θ 1 , β = θ 2 , ω = π θ 2 − θ 1 ，对于 n ≤ 0 ，由(3.23)可知

log M ( r , g ) ≤ r ω 2 d S α , β ( r , g ) = S α , β ( r , f ( n ) ) = O ( 1 ) , r ∈ G \ E 1 (3.24)

由上式可得 μ ( g ) < ∞ 。又因为 μ ( f ) = ∞ ，由于 和f由相同的级和下级，因此矛盾。即证 g = f ( n ) 没有Baker游荡域。

定理3的证明：由方程(1.4)和引理1可知，存在一个零线性测度的集合 H 1 ⊂ [ 0 , 2 π ) ，存在常数 B > 0 (只依靠 α )，使得对于 θ ∈ [ 0 , 2 π ) \ H 1 ，存在常数 R 0 = R 0 ( θ ) > 1 ，使得对于所有满足 arg z = θ , | z | = r > R 0 我们有

e b r ≤ | f ( k ) f | + | e a z | | f ′ f | ≤ B e a r T ( 2 r , f ) k (3.25)

因为 b > a ，由上式可得 μ ( f ) = ∞ 。

接下来我们证明 ( 0 , π ) ∪ ( π , 2 π ) ⊆ I ( f ) 。否则， ( 0 , π ) ∪ ( π , 2 π ) ⊄ I ( f ) 。由引理4可得，存在 ( α , β ) ⊂ ( 0 , π ) 或 ( π , 2 π ) ，使得对于 z ∈ Ω ( α , β ) ， | z | = r ∉ E ，

| f ( k ) f | ≤ K r M (3.26)

成立，其中 K , M 是两个不依靠z的常数， m e s E < ∞ 。

由方程(1.4)和(3.25)，(3.26)可知对所有满足 arg z = θ ∈ [ 0 , 2 π ) \ H 1 和 | z | = r ∉ E ，我们有

e b r ≤ | f ( k ) f | + | e a z | | f ′ f | ≤ K r M e a r (3.27)

矛盾，因此即证 m e s I ( f ) = 2 π 。

吴米娜,邱 玲. 微分方程整函数解的导数的径向分布和解的Baker游荡域的存在性The Limiting Direction of the Derivative of the Solution of the Differential Equation and the Existence of the Baker Wandering Domain[J]. 理论数学, 2018, 08(06): 662-671. https://doi.org/10.12677/PM.2018.86089