本文主要目的是构造BCCB复哈达码矩阵。首先，我们给出了n2阶BCCB复矩阵是哈达码矩阵的一个充要条件，然后利用这个条件构造了几类BCCB复哈达码矩阵。最后，作为例子给出了三类16阶BCCB复哈达码矩阵。 In this note, we study how to construct BCCB complex Hadamard matrices. We first give a necessary and sufficient condition for a BCCB complex matrix of order n2to be Hadamard, and then use the condition to construct various types of BCCB complex Hadamard matrices. As an example, three new types of BCCB complex Hadamard matrices of order 16 are provided.
徐登明1，闫茜茜2
1中国民航大学中欧航空工程师学院，天津
2中国民航大学理学院，天津
收稿日期：2018年10月24日；录用日期：2018年11月5日；发布日期：2018年11月16日
本文主要目的是构造BCCB复哈达码矩阵。首先，我们给出了n2阶BCCB复矩阵是哈达码矩阵的一个充要条件，然后利用这个条件构造了几类BCCB复哈达码矩阵。最后，作为例子给出了三类16阶BCCB复哈达码矩阵。
关键词 :循环矩阵，循环块构成的循环矩阵，哈达码矩阵
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复哈达码矩阵在量子信息理论中有着重要作用。例如，它被用来解决最小路径覆盖问题 [
循环块组成的循环矩阵(BCCB矩阵)作为循环矩阵的推广引起了人们的广泛关注。例如，文 [
到目前为止，对BCCB复哈达码矩阵分类的相关研究并不多，即使是9阶复哈达码矩阵的分类也没得以完全解决。本文目的是构造BCCB复哈达码矩阵。我们给出了n2阶BCCB复矩阵是哈达码矩阵的一个充要条件，并利用这个条件构造了几类BCCB复哈达码矩阵。
设 n ≥ 2 是自然数。
定义2.1 [
1) 对角阵 D = d i a g ( a 0 , a 1 , ⋯ , a n − 1 ) 定义如下：
∀ 1 ≤ i , j ≤ n , D j k = δ j k a k − 1 .
2) 循环阵 C = C i r c ( a 0 , a 1 , ⋯ , a n − 1 ) 定义如下：
∀ 1 ≤ j , k ≤ n , C j , k = a ( n − 1 ) j ⊕ k
其中， ( n − 1 ) j ⊕ k 是 ℤ n 中的加法运算。因此C可写成：
C = ( a 0 a 1 a 2 ⋯ a n − 1 a n − 1 a 0 a 1 ⋯ a n − 2 a n − 2 a n − 1 a 0 ⋯ a n − 3 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 a 2 a 3 ⋯ a 0 )
3) n2阶方阵C被称为由循环块组成的循环矩阵(BCCB矩阵)是指它具有下面形式：
C = C i r c ( C 0 , C 1 , ⋯ , C n − 1 )
其中 C 0 , C 1 , ⋯ , C n − 1 都是n阶循环阵。
4) 一个n阶方阵H被称为复哈达码矩阵是指：方阵中每个元素的模都是1，并且 H * H = I n ，其中， I n 是n阶单位阵，*是厄米特转置。
设 ω n = e 2 π i n ，傅立叶矩阵 F n 定义如下：
∀ 1 ≤ i , j ≤ n , ( F n ) j k = ω ( j − 1 ) ( i − 1 )
众所周知， U n = 1 n F n 是一个酉矩阵。记
D n = d i a g ( 1 , ω n , ω n 2 , ⋯ , ω n n − 1 ) , J n = C i r c ( 0 , 1 , 0 , ⋯ , 0 )
由线性代数的基本知识，我们有
命题2.2：保持上述记号不变，下列结论成立。
1) U n − 1 J n U n = D n 。
2) 若 C = C i r c ( a 0 , a 1 , ⋯ , a n − 1 ) ， P v = a 0 + a 1 X + ⋯ + a n − 1 X n − 1 ，则
U n − 1 C U n = d i a g ( P v ( 1 ) , P v ( ω n ) , ⋯ , P v ( ω n n − 1 ) ) 。
下面这个定理给出了一个 阶BCCB矩阵是哈达码矩阵的充要条件。
定理3.1：设 v i = ( a i , 0 , a i , 1 , ⋯ , a i , n − 1 ) ∈ ℂ n , 0 ≤ i ≤ n − 1 ， A = ( a i , j ) ， C i = C i r c ( v i ) ，且 C = C i r c ( C 0 , C 1 , ⋯ , C n − 1 ) ，将C记为BCCB(A)。若A中元素的模全为1，则C是一个哈达码矩阵当且仅当 U n C U n 中元素的模全为1。
证明：设 U = U n ⊗ U n 。易知
C = I n ⊗ C 0 + J n ⊗ C 1 + ⋯ + J n n − 1 ⊗ C n − 1 .
于是有
U − 1 C U = I n ⊗ U n − 1 C 0 U n + D n ⊗ U n − 1 C 1 U n + ⋯ + D n n − 1 ⊗ U n − 1 C n − 1 U n .
由命题2.2知， U − 1 C U 是n2阶对角阵。设 0 ≤ k ≤ n − 1 ，记 P k = P v k ，
V k = U n − 1 C k U n = d i a g ( P k ( 1 ) , P k ( w n ) , P k ( w n 2 ) , ⋯ , P k ( w n n − 1 ) ) ,
W k = V 0 + ω n k V 1 + ω n 2 k V 2 + ⋯ + ω n k ( n − 1 ) V n − 1 .
则 U − 1 C U = d i a g ( W 0 , W 1 , ⋯ , W n − 1 ) 。易知对任意 0 ≤ k ≤ n − 1 , 1 ≤ j ≤ n 有
( W k ) j , j = ( 1 , ω n k , ω n 2 k , ⋯ , ω n k ( n − 1 ) ) A ( 1 , ω n j − 1 , ω n 2 ( j − 1 ) , ⋯ , ω n ( j − 1 ) ( n − 1 ) )
故C是哈达码矩阵当且仅当 U − 1 C U 是哈达码矩阵，当且仅当
∀ 0 ≤ k ≤ n − 1 , ∀ 1 ≤ j ≤ n , | ( W k ) j , j | = n .
当且仅当 F n A F n 中元素模全为n，当且仅当 U n A U n 中元素模为1。□
推论3.2：假设D是元素模全为1的n阶对角矩阵，则 BCCB ( D F n * ) 和 BCCB ( F n * D ) 都是哈达码矩阵。
证明：因为 U n 是酉矩阵，故 U n D F n * U n = F n D 和 U n F n * D U n = D F n 成立，故由定理3.1可知结论成立。
例3.1：设 ( a , b , c ) ∈ ℂ 3 且a，b，c模全为1。设 ω = exp ( 2 π i 3 ) ， D = d i a g ( a , b , c ) ，则
F 3 * D = ( a b c a b ω c ω 2 a b ω 2 c ω )
由推论3.2，我们得到一个9阶BCCB哈达码矩阵 BCCB ( F 3 * D ) 。
推论3.3：设V是元素模全为1的n阶矩阵，则有
1) 若V是对角矩阵，则 BCCB ( V F n ) 和 BCCB ( F n V ) 是哈达码矩阵。
2) 若 U n V U n * 中元素模全为1，则 BCCB ( V ) 是哈达码矩阵。
3) 若 F n V = V F n ，则 BCCB ( V ) 是哈达码矩阵。
证明：显然 F n 2 = n P ，其中P是置换矩阵。
1) 因为 U n 是酉矩阵，故 。因此 U n V F n U n 中元素模全为1。由定理3.1知 BCCB ( V F n ) 是哈达码矩阵。同理可证 BCCB ( F n V ) 也是哈达码矩阵。
2) 首先， U n V U n = U n V U n * U n 2 = U n V U n * P 。因为 U n V U n * 中元素模全为1，故 U n V U n 中元素模全为1。由定理3.1知 BCCB ( V ) 是哈达码矩阵。
3) 由 F n V = V F n 知 U n V = V U n ，于是有 U n V U n = V U n 2 = V P ，故 U n V U n 中元素模全为1。由定理3.1知 BCCB ( V ) 是哈达码矩阵。□
因为 F n 是酉矩阵，所以存在对角矩阵 D n 和酉矩阵 R n 使得 F n = R n D n R n * 。假设D是另一个对角矩阵且 A = R n D R n * ，则 A F n = F n A 。作为前一推论的直接应用，我们有：
命题3.4：设 D n , D 为n阶对角方阵， R n 是酉矩阵且 F n = R n D n R n * 。假设 R n D R n * 中元素模全为1，则 BCCB ( R n D R n * ) 是哈达码矩阵。
备注：对比定理3.1，命题3.4变量更少，更容易构造BCCB哈达码矩阵。
例3.2：设 D 4 = d i a g ( 2 , 2 , − 2 , 2 i ) ，设
R 4 = 1 2 ( 1 2 1 0 1 0 − 1 2 − 1 2 − 1 0 1 0 − 1 − 2 )
易验证 R 4 是酉矩阵且 F 4 = R 4 D 4 R 4 * 。设 a , b , c , d ∈ ℂ 4 , D = d i a g ( a , b , c , d ) 。经计算有
A = R 4 D 4 R 4 * = 1 4 ( 2 b + a + c a − c 2 b − ( a + c ) a − c a − c a + c + 2 d c − a a + c − 2 d 2 b − ( a + c ) c − a 2 b + a + c c − a a − c a + c − 2 d c − a a + c + 2 d )
则BCCB(A)是哈达码矩阵当且仅当
{ | a + c ± 2 b | = 4 | a + c ± 2 d | = 4 | a − c | = 4 (1)
假设 a + c = 0 ，则BCCB(A)是哈达码矩阵当且仅当 a , b , c , d 的模都是2，即对任意 ( θ 1 , θ 2 , θ 3 ) ∈ ℂ 3 ，BCCB(A)是哈达码矩阵，其中
A = ( e i θ 1 e i θ 2 e i θ 2 e i θ 1 e i θ 1 e i θ 3 − e i θ 1 − e i θ 3 e i θ 2 − e i θ 1 e i θ 2 − e i θ 1 e i θ 1 − e i θ 3 − e i θ 1 e i θ 3 )
假设 a + c ≠ 0 。此时，有方程组(1)知 b = ± d 。故问题转化为求解方程组
{ | a + c + 2 b | = 4 | a + c − 2 b | = 4 | a − c | = 4 (2)
i) 假设 b = d 。由方程组(2)知，存在 ( θ 1 , θ 2 , θ 3 ) ∈ ℝ 3 使得
{ a + c + 2 b = 4 e i θ 1 a + c − 2 b = 4 e i θ 2 a − c = 4 e i θ 3
显然，此时方程组总有解。因此，对任意 ( θ 1 , θ 2 , θ 3 ) ∈ ℝ 3 ，若取
A = ( e i θ 1 e i θ 2 e i θ 3 e i θ 2 e i θ 2 e i θ 1 − e i θ 2 − e i θ 3 e i θ 3 − e i θ 2 e i θ 1 − e i θ 2 e i θ 2 − e i θ 3 − e i θ 2 e i θ 1 )
则BCCB(A)是哈达码矩阵。
ii) 假设 b = − d 。同理，对任意 ( θ 1 , θ 2 , θ 3 ) ∈ ℝ 3 ，若取
A = ( e i θ 1 e i θ 2 e i θ 3 e i θ 2 e i θ 2 − e i θ 3 − e i θ 2 e i θ 1 e i θ 3 − e i θ 2 e i θ 1 − e i θ 2 e i θ 2 e i θ 1 − e i θ 2 − e i θ 3 )
则BCCB(A)是哈达码矩阵。
感谢本文审稿人的宝贵意见，本论文由国家自然科学基金资助(编号：11501564)。
徐登明,闫茜茜. 几类n2阶BCCB哈达码矩阵的构造On the Construction of Several Types of BCCB Complex Hadamard Matrices of Order n2[J]. 理论数学, 2018, 08(06): 656-661. https://doi.org/10.12677/PM.2018.86088