量子MDS码是一类重要的量子码。在这篇文章中，我们通过厄米特结构和常循环码构造一类长度为n=(q2+1)/a新的量子MDS码。这个结果是文献[13]中定理7的延伸。 Quantum MDS codes are an important family of quantum codes. In this paper, we obtain a new class of quantum MDS code of the length n=(q2+1)/aby means of Hermitian construction and constacyclic codes. The result is generalized of the theorem 7 in [13].
黄娜*，唐西林
华南理工大学数学学院，广东 广州
收稿日期：2018年10月19日；录用日期：2018年10月31日；发布日期：2018年11月13日
量子MDS码是一类重要的量子码。在这篇文章中，我们通过厄米特结构和常循环码构造一类长度为 n = q 2 + 1 a 新的量子MDS码。这个结果是文献 [
关键词 :量子MDS码，Hermitian结构，Constacyclic码
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量子纠错码在量子应用和量子通信中发挥着重要的作用。自从Calderbank等人(见 [
一个q元量子码具有3个参数：码长，码字数和最小距离。一个具有码长为n，码字数为K的q元量子码Q是 q n 维Hillbert空间 ( C q ) ⊗ n 的一个K维子空间，令 k = log q K ，则码长为n，最小距离为d的量子码被记为 〚 n , k , d 〛 q 。参数为 〚 n , k , d 〛 q 的q元量子码可以检查d − 1位错误。纠正 ⌊ d − 1 2 ⌋ 位错误。因此，在量子码理论中，一个主要的任务就是构造具有较大极小距离的量子码。带参数为 〚 n , k , d 〛 q 的q元量子码都满足量子Singleton界(见 [
量子MDS码是量子码中最重要的一类，它在理论和应用上都有着非常重要的意义。近年来，很多q元量子MDS码通过使用不同的方法被构造，其中一个重要的方法是Hermitian正交码方法，即利用一个定义在有限域 F q 2 上关于Hermitian内积自正交的线性MDS码来构造一个q元量子MDS码。近年来常用的一些MDS线性码有：Reed Solomon码、循环码、negacyclic码、constacyclic码等等，说明它是Hermitian自正交码就能去构造相应的q元量子MDS码(见 [
当q为奇素数的方幂时，构造具有较大最小距离且码长 q + 1 ≤ n ≤ q 2 − 1 的量子MDS码是困难的。一些码长为 n = q 2 − 1 a 已经被构造出来了，这些q元量子MDS码大都是利用Hermitian自正交码方法由线性MDS码得到。文献 [
本文主要从参考文献 [
令q为一个奇素数的方幂。设 F q 2 为具有 q 2 个元素的有限域， F q 2 n 为 F q 2 的n维向量空间，一个具有参数为 [ n , k , d ] q 2 的线性码C是指有限域 F q 2 上n维向量空间中最小距离为d的k维子空间，其中最小距离d为不同码字之间的Hemming距离的最小值，线性码C满足Singleton界： k ≤ n − 2 d + 2 。如果C达到Singleton界，即 k = n − 2 d + 2 ，则称此线性码C为极大距离可分码，简称MDS码。
给任意两个向量 X = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) , Y = ( y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) ∈ F q 2 n ，定义Hermitian内积 〈 X , Y 〉 = ∑ i = 1 n x i y i q 。如果 〈 X , Y 〉 = 0 ，则称这两个向量Hermitian正交。定义 C ⊥ H = { X ∈ F q 2 n | 〈 X , Y 〉 = 0 , ∀ Y ∈ C } 为线性码的对偶码，如果 C ⊆ C ⊥ H ，则C称为一个Hermitian自正交码。
如何构造q元量子MDS码最近成为研究热点，比较常用的构造q元量子MDS码方法是Hermitian方法，见如下定理。
定理2.1：(见 [
通过这个定理，可由Reed Solomon码、循环码、negacyclic码、constacyclic码这些经典的MDS码构造出很多的q元量子MDS码，此外选择具有较大最小距离d的Hermitian自正交MDS码，便可得到较大最小距离的q元量子MDS码。
设 ( n , q ) = 1 。对于 η ∈ F q 2 * ，一个长度为n的 q 2 元类线性码C称为η-constacyclic码当且仅当它在η-constacyclic移位下是不变的：
( c 0 , c 1 , ⋯ , c n − 1 ) → ( η c n − 1 , c 0 , ⋯ , c n − 2 ) .
一个码字 c = ( c 0 , c 1 , ⋯ , c n − 1 ) 可以用一个多项式 c ( x ) = c 0 + c 1 + ⋯ + c n − 1 x n − 1 表示。很容易验证一个在长度的η-constacyclic码是商环 F q 2 [ x ] / 〈 x n − η 〉 的理想，并且 x c ( x ) 对应 c ( x ) 的η-constacyclic移位。而且，如果 F q 2 [ x ] / 〈 x n − η 〉 是主理想，那么 C = 〈 g ( x ) 〉 ，其中 g ( x ) 是 x n − η 的首1因式。如果 η = 1 ，那么η-constacyclic码就为negacyclic码。如果 是一个r次本原根，那么一定会存在rn次本原根 ω ，即 ω n = η 。那么，我们就有 x n − η = ∏ i = 0 n − 1 ( x − ω 1 + i r ) 。类似于循环码，对于constacyclic码，我们也有下面的BCH界。
定理2.2：(见 [
定义 Ω = { 1 + i r | 0 ≤ i ≤ n − 1 } 。对于 ∀ j ∈ Ω ， 为j模rn的 q 2 -分圆陪集。设C是一个在 F q 2 上，长度为n的η-constacyclic码，且 C = 〈 g ( x ) 〉 ，那么集合 Z = { j ∈ Ω | g ( ω j ) = 0 } 称为集合C的定义集合。易知， C = ∪ j ∈ Ω C j 和 dim ( C ) = n − | Z | 。此外，我们也定义 C ⊥ H 的定义集合 Z ⊥ H = { j ∈ Ω | − q j ( mod r n ) ∉ Z } 。
因此我们有以下的引理去判断一个η-constacyclic码C是否包含 。
引理2.3：(见 [
为了定理的证明，我们需要以下的引理。
引理3.1：令 n = q 2 + 1 a , s = q 2 + 1 2 和 r = q + 1 。那么对于正整数 i ∈ Ω = { 1 + r i | 0 ≤ i ≤ n − 1 } ，那么 C j 为j模 r ( q + 1 ) 的 q 2 -分圆陪集有：
(1) C s = { s } 和 C s + n ( q + 1 ) / 2 = { s + n ( q + 1 ) / 2 } 。
(2) C s − ( q + 1 ) j = { s − ( q + 1 ) j , s + ( q + 1 ) j } , 1 ≤ j ≤ n / 2 。
证明：(1) 如果 j = q − 1 2 ，那么 1 + ( q + 1 ) j = s 。这就说明 s ∈ Ω 。又因为
[ s + n ( q + 1 ) / 2 ] q 2 = s q 2 + n ( q + 1 ) ( q 2 − 1 ) / 2 + n ( q + 1 ) / 2 ≡ s + n ( q + 1 ) / 2 ( mod ( q + 1 ) n ) .
因此， C s + n ( q + 1 ) / 2 = { s + n ( q + 1 ) / 2 } 。
(2) 这个证明类似于 [
引理3.2
(1) 令q是一个素数方幂且 q = 2 a m + t ，其中a是奇整数，
(2) 令q是一个素数方幂且 q = 2 a m − t ，其中a是奇整数， t = 2 a − 1 。如果C是一个在 F q 2 上，长度为 n = q 2 + 1 a 的η-constacyclic码，并且其定义集合为 Z = ∪ j = 0 δ C s − ( q + 1 ) j ，其中 o r d ( η ) = r 和 0 ≤ δ ≤ m t − 2 ，那么 C ⊥ H ⊆ C 。
证明：我们只证明第一部分，第二部分的证明是类似的。我们假设 q = 2 a m + t 和 0 ≤ δ ≤ m t ，根据引理2.3，我们只需要证明
情况1： s − ( q + 1 ) i ≡ − q ( s − ( q + 1 ) j ) ( mod ( q + 1 ) n ) 。
那么我们有
i + q j − q 2 + 1 2 ≡ 0 ( mod q 2 + 1 a ) .
因为 q 2 + 1 2 = q 2 + 1 2 a ⋅ a = q 2 + 1 2 a + q 2 + 1 a ⋅ a − 1 2 ，所以
i + q j − q 2 + 1 2 a ≡ 0 ( mod q 2 + 1 a ) .
令 q = 2 a m + t ，则
等式左边
− ( 2 a m 2 + 2 m t + 1 ) ≤ i + ( 2 a m + t ) j − ( 2 a m 2 + 2 m t + 1 ) < t − 1 2 ( 4 a m 2 + 4 m t + 2 ) ,
令 i + ( 2 a m + t ) j − ( 2 a m 2 + 2 m t + 1 ) = x ( 4 a m 2 + 4 m t + 2 ) ，从而 0 ≤ x ≤ t − 3 2 。因此我们有
i = 2 a ( 2 x + 1 ) m 2 + 2 ( 2 x + 1 ) m t + 2 x + 1 − j ( 2 a m + t ) .
如果 j ≤ ( 2 x + 1 ) m ，那么 i ≥ 2 m t x + 2 m t + 2 x + 1 > m t ，与已知矛盾。
如果 j ≥ ( 2 x + 1 ) m + 1 ，那么 i ≤ ( 2 x t + t − 2 a ) m + ( 2 x + 1 − t ) < 0 ，也与已知矛盾。
情况2： s − ( q + 1 ) i ≡ − q ( s + ( q + 1 ) j ) ( mod ( q + 1 ) n ) 。
那么我们有
− i + q j + q 2 + 1 2 ≡ 0 ( mod q 2 + 1 a ) .
因为 q 2 + 1 2 = q 2 + 1 2 a ⋅ a = q 2 + 1 2 a + q 2 + 1 a ⋅ a − 1 2 ，所以
− i + q j + q 2 + 1 2 a ≡ 0 ( mod q 2 + 1 a ) .
令 q = 2 a m + t ，则
等式左边
2 a m 2 + m t + 1 ≤ − i + ( 2 a m + t ) j + ( 2 a m 2 + 2 m t + 1 ) < t + 1 2 ( 4 a m 2 + 4 m t + 2 ) ,
令 − i + ( 2 a m + t ) j + ( 2 a m 2 + 2 m t + 1 ) = x ( 4 a m 2 + 4 m t + 2 ) ，从而 1 ≤ x ≤ t − 1 2 。因此我们有
i = 2 a ( 1 − 2 x ) m 2 + 2 ( 1 − 2 x ) m t + 1 − 2 x + j ( 2 a m + t ) .
如果 j ≤ ( 2 x − 1 ) m ，那么 i ≤ m t − 2 m t x + 1 − 2 x < 0 ，与已知矛盾。
如果 j ≥ ( 2 x − 1 ) m + 1 ，那么 i ≥ ( t − 2 t x + 2 a ) m + 1 − 2 x + t > m t ，也与已知矛盾。
所以假设不成立，故 Z ∩ ( − q Z ) = ∅ 。即原命题得证。
定理3.3：
(1) 令q是一个素数方幂且 q = 2 a m + t ，其中a是奇整数， t = 2 a − 1 。那么存在一个参数为 〚 q 2 + 1 a , q 2 + 1 a − 2 d + 2 , d 〛 的q元的量子MDS码，其中 2 ≤ d ≤ 2 m t + 2 且d为偶数。
(2) 令q是一个素数方幂且 q = 2 a m − t ，其中a是奇整数， t = 2 a − 1 。那么存在一个参数为 〚 q 2 + 1 a , q 2 + 1 a − 2 d + 2 , d 〛 的q元的量子MDS码，其中
证明 由引理3.1可知，除了 C s 和 C s + n ( q + 1 ) / 2 ，其余的 q 2 -分圆陪集都含有两个元素，再根据引理3.2，定理2.3，定理2.2和定理2.1易证得该定理。
推论3.4 ( [
(1) 令q是一个素数方幂且 q = 10 m + 3 ，那么存在一个参数为 〚 q 2 + 1 5 , q 2 + 1 5 − 2 d + 2 , d 〛 的q元的量子MDS码，其中 2 ≤ d ≤ 6 m + 2 且d为偶数。
(2) 令q是一个素数方幂且 q = 10 m − 3 ，那么存在一个参数为 〚 q 2 + 1 5 , q 2 + 1 5 − 2 d + 2 , d 〛 的q元的量子MDS码，其中 2 ≤ d ≤ 6 m − 2 且d为偶数。
广州市对外科技合作项目：小弧形表面缺陷自动检测技术和系统(编号201704030062)。
黄 娜,唐西林. 基于Constacyclic码构造的一类新的量子MDS码A Class of New Quantum MDS Codes from Constacyclic Codes[J]. 理论数学, 2018, 08(06): 644-649. https://doi.org/10.12677/PM.2018.86086