在本文中,我们讨论弱双四元数矩阵方程AXAH+BYBH=C的反Hermite解,其中矩阵A,B是已知的弱双四元数矩阵,C是已知的弱双四元数反Hermite矩阵,X,Y是未知的弱双四元数反Hermite方阵。本文的目标是建立解存在的充分必要条件和通解表达式。 In this paper, we discuss Anti-Hermitian solutions of reduced biquaternion matrix equationAXAH+BYBH=C, where A,B are known reduced biquaternion matrices with suitable size, C is a known reduced biquaternion anti-Hermitian matrix with suitable size, and X,Y are unknown re-duced biquaternion anti-Hermitian square matrices with suitable size. The objective of this paper is to establish a necessary and sufficient condition for the existence of a solution and a solution expression.
田勇,袁仕芳*,李明照
五邑大学数学与计算科学学院,广东 江门
收稿日期:2018年10月15日;录用日期:2018年10月27日;发布日期:2018年11月8日
在本文中,我们讨论弱双四元数矩阵方程 A X A H + B Y B H = C 的反Hermite解,其中矩阵A,B是已知的弱双四元数矩阵,C是已知的弱双四元数反Hermite矩阵,X,Y是未知的弱双四元数反Hermite方阵。本文的目标是建立解存在的充分必要条件和通解表达式。
关键词 :矩阵方程,弱双四元数矩阵,Kronecker积
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矩阵方程是矩阵理论中的一个重要内容,在控制和系统理论、稳定性理论、神经网络等方面有着广泛的应用。例如,控制理论长期以来一直为矩阵方程提供丰富的动力来源,Lyapunov方程 A H X + X A = B 有唯一的Hermitian解,当且仅当对于矩阵A的所有特征值 λ i 和 λ j 有 λ i + λ ¯ j ≠ 0 [
A X A H + B Y B H = C (1)
引起了许多研究者的极大关注。弱双四元数的概念最早是由Schütte和Wenzel提出的 [
本文用 R m × n 表示 m × n 阶实矩阵集合, C m × n 表示 m × n 阶复矩阵集合, S R n × n 表示 n × n 阶实对称矩阵集合, A S R n × n 表示 n × n 阶实反对称矩阵集合, Q R B 表示弱双四元数矩阵集合, Q R B n 表示n维弱双四元数列向量集合, Q R B m × n 表示 m × n 阶弱双四元数矩阵集合, A H Q B R n × n 表示 n × n 阶弱双四元数反Hermite矩阵集合。对于每一个 A ∈ C m × n , Re ( A ) 表示矩阵A的实部, Im ( A ) 表示矩阵A的虚部。对于 A ∈ Q R B m × n , A ¯ 表示矩阵A的共轭矩阵, A T 表示矩阵A的转置矩阵, A H 表示A的共轭转置矩阵A。 I n 表示n阶单位矩阵。 0 m × n 表示 m × n 阶零矩阵。对于 A ∈ C m × n , A + 表示矩阵A的Moore-Penrose广义逆。
对于 A ∈ Q R B n × n ,若 A H = − A ,则称它是反Hermite的。用 A H Q B R n × n 表示 n × n 阶弱双四元数反Hermite集合。本文主要考虑方程(1)的反Hermite解,使用的工具是弱双四元数矩阵的复表示,Kronecker积,矩阵列拉直算子以及Moore-Penrose广义逆。研究的问题描述如下:
问题1:设 A ∈ Q R B m × n , B ∈ Q R B m × n 和 C ∈ A H Q R B m × m ,求
H E = { X , Y | X , Y ∈ A H Q R B n × n , A X A H + B Y B H = C } (2)
对于 q ∈ Q R B ,则q可以表示为
q = q 0 + q 1 i + q 2 j + q 3 k (3)
其中 q 0 , q 1 , q 2 , q 3 ∈ R , i 2 = k 2 = − 1 , j 2 = 1 , i j = j i = k , j k = k j = i , k i = i k = − j 。弱双四元数q的共轭为:
q ¯ = q 0 − q 1 i − q 2 j − q 3 k (4)
q还可以表示为
q = c 1 + c 2 j ,
其中 c 1 , c 2 ∈ C , c 1 = q 0 + q 1 i , c 2 = q 2 + q 3 i 。对于弱双四元数 q = c 1 + c 2 j , c 1 , c 2 ∈ C ,定义弱双四元数。
q的复数矩阵表示为
f ( q ) = [ c 1 c 2 c 2 c 1 ] .
对 q , q ′ ∈ Q R B ,显然有 f ( q q ′ ) = f ( q ) f ( q ′ ) 。
若矩阵 A ∈ Q R B m × n ,则矩阵A可以唯一表示为 A = A 1 + A 2 j ,其中 A 1 , A 2 ∈ C m × n 。
弱双四元数矩阵A的复表示为
F ( A ) = [ A 1 A 2 A 2 A 1 ] ∈ C 2 m × 2 n .
F ( A ) 是由A唯一决定。对于 A ∈ Q R B m × n , B ∈ Q R B n × s ,有 F ( A B ) = F ( A ) F ( B ) 。由定义易知,矩阵A可以唯一表示为
A = Re ( A 1 ) + Im ( A 1 ) i + Re ( A 2 ) j + Im ( A 2 ) k (5)
其中 Re ( A 1 ) , Im ( A 1 ) , Re ( A 2 ) , Im ( A 2 ) ∈ R m × n 。弱双四元数矩阵A的共轭矩阵为
A ¯ = Re ( A 1 ) − Im ( A 1 ) i − Re ( A 2 ) j − Im ( A 2 ) k .
对于 A = ( a i j ) ∈ Q R B m × n , B = ( b i j ) ∈ Q R B p × s ,矩阵A与矩阵B的Kronecker积 A ⊗ B = ( a i j B ) ∈ Q R B m p × n s 。对于弱双四元数矩阵 A , B , C , D , E , F , G , H , K ,有
( A , B , C ) ⊗ D = ( A ⊗ D , B ⊗ D , C ⊗ D ) , ( E F G H ) ⊗ K = ( E ⊗ K F ⊗ K G ⊗ K H ⊗ K ) .
对于矩阵 A = ( a i j ) ∈ Q R B m × n ,设 a j = ( a 1 j , a 2 j , ⋯ , a m j ) , ( j = 1 , 2 , ⋯ , n ) ,矩阵A的列拉直算子为:
v e c ( A ) = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) T .
对于任意弱双四元数 q = c 1 + c 2 j ∈ Q R B ,我们定义一个算子 Φ q = ( c 1 , c 2 ) 。定义弱双四元数
矩阵对应的算子为
Φ A = [ A 1 , A 2 ] .
对于算子 Φ A ,它具有以下性质:
引理1:设k是一个实数, A , B ∈ Q R B m × n , C ∈ Q R B n × t ,有
i) A = B 当且仅当 Φ A = Φ B ;ii) Φ A + B = Φ A + Φ B , Φ k A = k Φ A ;iii) Φ A C = Φ A F ( C ) 。
对于 A ∈ C m × n , B ∈ C n × s , C ∈ C s × t ,我们已知
v e c ( A B C ) = ( C T ⊗ A ) v e c ( B ) (6)
在弱双四元数矩阵中,(6)式不再成立。类似文献 [
引理2:设 A = A 1 + A 2 j ∈ Q R B m × n , B = B 1 + B 2 j ∈ Q R B n × s , C = C 1 + C 2 j ∈ Q R B s × t ,其中 A 1 , A 2 ∈ C m × n , B 1 , B 2 ∈ C n × s , C 1 , C 2 ∈ C s × t 。有
v e c ( Φ A B C ) = [ C 1 T ⊗ A 1 + C 2 T ⊗ A 2 C 2 T ⊗ A 1 + C 1 T ⊗ A 2 C 2 T ⊗ A 1 + C 1 T ⊗ A 2 C 1 T ⊗ A 1 + C 2 T ⊗ A 2 ] [ v e c ( B 1 ) v e c ( B 2 ) ] (7)
定义1:设 A = ( a i j ) ∈ Q R B n × n ,设 a 1 = ( a 11 , 2 a 21 , ⋯ , 2 a n 1 ) , a 2 = ( a 22 , 2 a 32 , ⋯ , 2 a n 2 ) , ⋯ , a n − 1 = ( a ( n − 1 ) ( n − 1 ) , 2 a n ( n − 1 ) ) , a n = a n n 。定义一个列向量 v e c S ( A ) :
v e c S ( A ) = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n − 1 , a n ) T ∈ Q R B n ( n + 1 ) 2 (8)
定义2:设 B = ( b i j ) ∈ Q R B n × n ,设 b 1 = ( b 21 , b 31 , ⋯ , b n 1 ) , b 2 = ( b 32 , b 42 , ⋯ , b n 2 ) , ⋯ , b n − 2 = ( b ( n − 1 ) ( n − 2 ) , b n ( n − 2 ) ) , b n − 1 = b n ( n − 1 ) ,定义一个列向量 v e c A ( B ) :
v e c A ( B ) = 2 ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n − 2 , b n − 1 ) T ∈ Q R B n ( n − 1 ) 2 (9)
引理3 [
i)
X ∈ S R n × n ⇔ v e c ( X ) = K S v e c S ( X ) (10)
其中 v e c S ( X ) 定义参照(8)式定义。 K S ∈ R n 2 × n ( n + 1 ) 2 ,
K S = 1 2 [ 2 e 1 e 2 ⋯ e n − 1 e n 0 0 ⋯ 0 ⋯ 0 0 0 0 e 1 ⋯ 0 0 2 e 2 e 3 ⋯ e n ⋯ 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 e 2 ⋯ 0 ⋯ 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ e 1 0 0 0 ⋯ 0 ⋯ 2 e n − 1 e n 0 0 0 ⋯ 0 e 1 0 0 ⋯ e 2 ⋯ 0 e n − 1 2 e n ] ,
其中 e i 是n阶单位矩阵 I n 的第i个列向量。
ii)
X ∈ A S R n × n ⇔ v e c ( X ) = K A v e c A ( X ) (11)
其中 v e c A ( X ) 定义参照(9)式定义。 K A ∈ R n 2 × n ( n − 1 ) 2 ,
K A = 1 2 [ e 2 e 3 ⋯ e n − 1 e n 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 − e 1 0 ⋯ 0 0 e 3 ⋯ e n − 1 e n ⋯ 0 0 − e 1 ⋯ 0 0 − e 2 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 ⋯ − e 1 0 0 ⋯ − e 2 0 ⋯ e n 0 0 ⋯ 0 − e 1 0 ⋯ 0 − e 2 ⋯ − e n − 1 ] ,
其中 e i 是n阶单位矩阵 I n 的第i个列向量。显然,有 K S T K S = I n ( n + 1 ) 2 , K A T K A = I n ( n − 1 ) 2 。
对于任意 X = X 1 + X 2 j ∈ Q R B n × n , X 1 , X 2 ∈ C n × n ,有 X ∈ A H Q R B n × n ⇔ { Re ( X 1 ) T = − Re ( X 1 ) , Im ( X 1 ) T = Im ( X 1 ) Re ( X 2 ) T = Re ( X 2 ) , Im ( X 2 ) T = Im ( X 2 ) 。
设
M = [ K A i K S 0 0 0 0 K S i K S ] .
引理4:对于 X = X 1 + X 2 j ∈ A H Q R B n × n ,那么
[ v e c ( X 1 ) v e c ( X 2 ) ] = M [ v e c A ( Re ( X 1 ) ) v e c s ( Im ( X 1 ) ) v e c s ( Re ( X 2 ) ) v e c s ( Im ( X 2 ) ) ] . (12)
证明:设 X = X 1 + X 2 j ∈ A H Q R B n × n ,我们有
[ v e c ( X 1 ) v e c ( X 2 ) ] = [ v e c ( Re ( X 1 ) ) + i v e c ( Im ( X 1 ) ) v e c ( Re ( X 2 ) ) + i v e c ( Im ( X 2 ) ) ] = [ K A v e c A ( Re ( X 1 ) ) + i K S v e c S ( Im ( X 1 ) ) K S v e c S ( Re ( X 2 ) ) + i K S v e c S ( Im ( X 2 ) ) ] = M [ v e c A ( Re ( X 1 ) ) v e c s ( Im ( X 1 ) ) v e c s ( Re ( X 2 ) ) v e c s ( Im ( X 2 ) ) ] .
由引理2和引理4得
引理5:设 A = A 1 + A 2 j ∈ Q R B m × n , X = X 1 + X 2 j ∈ A H Q R B n × n , B = B 1 + B 2 j ∈ Q R B n × s ,其中 A 1 , A 2 ∈ C m × n , X 1 , X 2 ∈ C n × n , B 1 , B 2 ∈ C n × s 。
v e c ( Φ A X B ) = [ B 1 T ⊗ A 1 + B 2 T ⊗ A 2 B 2 T ⊗ A 1 + B 1 T ⊗ A 2 B 2 T ⊗ A 1 + B 1 T ⊗ A 2 B 1 T ⊗ A 1 + B 2 T ⊗ A 2 ] M [ v e c A ( Re ( X 1 ) ) v e c s ( Im ( X 1 ) ) v e c s ( Re ( X 2 ) ) v e c s ( Im ( X 2 ) ) ] (13)
引理6 [
A A + b = b (14)
当它相容时,其通解可以表示为
x = A + b + ( I n − A + A ) y (15)
其中 y ∈ R n 是一个任意的向量。当 r a n k ( A ) = n 时, x = A + b 是方程 A x = b 的唯一解。
对于 A = A 1 + A 2 j ∈ Q R B m × n , B = B 1 + B 2 j ∈ Q R B m × n 和 C = C 1 + C 2 j ∈ A H Q R B m × m ,令
P 1 = [ A 1 ¯ ⊗ A 1 − A 2 ⊗ A 2 − A 2 ⊗ A 1 + A 1 ¯ ⊗ A 2 − A 2 ⊗ A 1 + A 1 ¯ ⊗ A 2 A 1 ¯ ⊗ A 1 − A 2 ⊗ A 2 ] M ,
P 2 = [ B 1 ¯ ⊗ B 1 − B 2 ⊗ B 2 − B 2 ⊗ B 1 + B 1 ¯ ⊗ B 2 − B 2 ⊗ B 1 + B 1 ¯ ⊗ B 2 B 1 ¯ ⊗ B 1 − B 2 ⊗ B 2 ] M , e = [ v e c ( Re ( C 1 ) ) v e c ( Re ( C 2 ) ) v e c ( Im ( C 1 ) ) v e c ( Im ( C 2 ) ) ] .
定理7:对于 A ∈ Q R B m × n , B ∈ Q R B m × p , C ∈ Q R B m × m , X ∈ A H Q R B n × n , Y ∈ A H Q R B p × p ,设 M n = d i a g ( K A , K S , K S , K S ) , K A ∈ R n 2 × n ( n − 1 ) 2 , K s ∈ R n 2 × n ( n + 1 ) 2 , M n ∈ R 4 n 2 × ( 2 n 2 + n ) , M p = d i a g ( K ′ A , K ′ S , K ′ S , K ′ S ) , K ′ A ∈ R p 2 × p ( p − 1 ) 2 , K ′ S ∈ R p 2 × p ( p + 1 ) 2 , M p ∈ R 4 p 2 × ( 2 p 2 + p ) 。
则方程(1)有反Hermite解的充要条件是:
[ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + e = e .
在有解的条件下,记方程(1)的解集合 A H E 。则
A H E = { X , Y | X → = ( M n 0 ) [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + e + ( M n 0 ) ( I 2 n 2 + n + 2 p 2 + p + [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] ) y , Y → = ( 0 M p ) [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + e + ( 0 M p ) ( I 2 n 2 + n + 2 p 2 + p + [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] ) y }
y是有合适维数的任意向量。进一步,当
r a n k [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] = 2 n 2 + n + 2 p 2 + p
时,
A H E = { X , Y | X → = ( M n 0 ) [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + e , Y → = ( 0 M p ) [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + e } .
证明:矩阵方程(1)可变为
A X A H + B Y B H = C ⇔ Φ A X A H + Φ B Y B H = Φ C ⇔ P 1 [ v e c A ( Re ( X 1 ) ) v e c s ( Im ( X 1 ) ) v e c s ( Re ( X 2 ) ) v e c s ( Im ( X 2 ) ) ] + P 2 [ v e c A ( Re ( Y 1 ) ) v e c s ( Im ( Y 1 ) ) v e c s ( Re ( Y 2 ) ) v e c s ( Im ( Y 2 ) ) ] = [ v e c ( C 1 ) v e c ( C 2 ) ]
⇔ [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] [ v e c A ( Re ( X 1 ) ) v e c s ( Im ( X 1 ) ) v e c s ( Re ( X 2 ) ) v e c s ( Im ( X 2 ) ) v e c A ( Re ( Y 1 ) ) v e c s ( Im ( Y 1 ) ) v e c s ( Re ( Y 2 ) ) v e c s ( Im ( Y 2 ) ) ] = e .
由定理7有
[ v e c A ( Re ( X 1 ) ) v e c s ( Im ( X 1 ) ) v e c s ( Re ( X 2 ) ) v e c s ( Im ( X 2 ) ) v e c A ( Re ( Y 1 ) ) v e c s ( Im ( Y 1 ) ) v e c s ( Re ( Y 2 ) ) v e c s ( Im ( Y 2 ) ) ] = [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + e + [ I 2 n 2 + n − [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] ] y .
其中 y ∈ R 2 n 2 + n 是一个任意的向量,当
r a n k ( [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] ) = 2 n 2 + n ,
[ v e c A ( Re ( X 1 ) ) v e c s ( Im ( X 1 ) ) v e c s ( Re ( X 2 ) ) v e c s ( Im ( X 2 ) ) v e c A ( Re ( Y 1 ) ) v e c s ( Im ( Y 1 ) ) v e c s ( Re ( Y 2 ) ) v e c s ( Im ( Y 2 ) ) ] = [ Re ( P 1 ) Re ( P 2 ) Im ( P 1 ) Im ( P 2 ) ] + e
是方程矩阵方程(1)的唯一解。
本文利用弱双四元数矩阵的复数表示,Kronecker积,矩阵列拉直算子以及Moore-Penrose广义逆研究了矩阵方程 A X A H + B Y B H = C 的解。本论文没有解决弱双四元数矩阵方程的最小二乘解,它是我们未来研究的一个方向。
本研究得到广东省自然科学基金项目(No. 2015A030313646, 2018A030313063)资助。
田 勇,袁仕芳,李明照. 弱双四元数矩阵方程AXAH+BYBH=C的反Hermite解On Anti-Hermitian Solutions of the Reduced Biquaternion Matrix Equation AXAH+BYBH=C[J]. 理论数学, 2018, 08(06): 624-631. https://doi.org/10.12677/PM.2018.86083