一元线性回归算法又叫直线拟合算法，一元线性回归算法是研究一个自变量与一个因变量之间相关关系的算法，它是研究两个变量相关关系的最简单模型 [ 5 ] 。在一元线性回归模型中，如果 x i 与 y i 存在相关关系，则建立一元线性回归模型( )和一元线性回归方程( y ^ = a + b x )。其中 α + β x i 表示 x i 与 y i 之间的相关关系， γ i 表示外界影响因素的总和，也叫做随机误差；b为回归直线的斜率，a为回归直线的截距。在求解a，b时，我们用最小二乘法来计算a，b，即 Q ( α , β ) = ∑ γ i 2 = min ，经计算可得到a，b如公式(1)所示。

{ a = x ¯ − b x ¯ b = ∑ i = 1 n x i y i − 1 n ( ∑ i = 1 n x i ) ( ∑ i = 1 n y i ) ∑ i = 1 n x i 2 − 1 n ( ∑ i = 1 n x i ) 2 (1)

在计算出一元线性回归方程后，为了验证所建立一元线性回归方程的正确性，还需要计算误差。在一元线性回归算法中，我们可以利用拟合度的大小来衡量误差的大小，拟合度表示实际数据点在回归直线 y ^ = a + b x 周围的紧凑程度，紧凑程度越大，则误差就会越小，反之则相应的误差就会越大。

多元线性回归算法又叫做重回归算法或复回归算法，它是研究多个自变量与一个因变量之间相关关系的算法 [ 6 ] 。多元线性回归算法和一元线性回归算法的原理类似，如果这些变量之间存在相关关系，则建立多元线性回归模型(公式(2))和多元线性回归方程(公式(3))。

y i = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + ⋯ ⋯ + β m − 1 x m − 1 + γ (2)

y ^ = b 0 + b 1 x i , 1 + b 2 x i , 2 + ⋯ ⋯ + b m − 1 x , i , m − 1 i = 1 , 2 , ⋯ ⋯ , n (3)

令 β = ( β 0 , β 1 , β 2 , ⋯ ⋯ , β m − 1 ) T ， ， ，其中 是未知参数向量， γ 为误差向量；令 Y = ( y 1 , y 2 , ⋯ ⋯ , y n ) T ，X为方程(2)的设计矩阵。把方程(2)写成矩阵的形式： Y = X β + γ ，然后我们要做的就是求解 β ^ 了。同一元线性回归算法一样，利用最小二乘算法来求解向量 β ^ ，经过计算得到 β ^ = ( X T X ) − 1 X T Y 。

在多元线性回归算法中计算误差时，同样可以利用拟合度的大小来衡量误差的大小，在这里我们利用相关系数R的大小来衡量拟合程度，其中 0 ≤ R ≤ 1 。当相关系数R趋向于1时，那么说明算法的拟合度高，相应的误差就越小，反之算法的拟合度低，相应的误差就越大。

在Haar小波分析中，我们假设 V j 是具有形式为 ϕ ( 2 j x − k ) , k ∈ Z , x ∈ R 的所有函数组成的空间， W j 是

具有形式为 ∑ k ∈ Z d k ψ ( 2 j x − k ) , d k ∈ R 的所有函数组成的空间 [ 7 ] 。如果要处理的信号中含有噪声，那么就

要对信号进行分解来除去噪声，即除去信号中属于 V j + 1 但不属于 V j 的信号，把信号分解为 V j + 1 = V j ⊕ W j

的形式。如此迭代下去得到 V j + 1 = V 0 ⊕ W 0 ⊕ W 1 ⊕ ⋯ ⋯ ⊕ W j ，即

( w j = ∑ k ∈ Z d k j ψ ( 2 j x − k ) ∈ W j ， f j = ∑ k ∈ Z c k j ϕ ( 2 j x − k ) ∈ V j )，这样就把信号分解成了若干个分量之和，以便于

对信号去噪，图1更加清晰的描述了Haar小波分解过程 [ 8 ] 。

Haar小波重构算法是分解算法的逆过程，即 f = f 0 + w 0 + w 1 + ⋯ ⋯ + w j − 1 ，其中 f 0 和 w i 为分量，

f 0 ( x ) = ∑ k ∈ Z c k 0 ϕ ( x − k ) ∈ V 0 ， w n ( x ) = ∑ k ∈ Z d k n ψ ( 2 n x − k ) ∈ W n 。图2更加详细地描述了Haar小波重构过程，

图1. Haar小波分解算法示意图

图2. Haar小波重构算法示意图

本文利用Haar小波分解算法与重构算法的特性来对多元线性回归模型进行优化 [ 9 ] 。

在MBR系统中，我们可以利用污泥表观产率系数 Y o 的大小来衡量系统中的污泥量，影响 Y o 的主要因素有X (微生物浓度)，SRT (污泥龄)，HRT (水力停留时间)， c i − c e (进出水COD浓度差)和 c i − c sup (进水与上清液COD浓度差)。在实验中，为了计算方便我们用 Y o − 1 来表示 Y o 的逆。

我们创建图3所示的模型来预测污泥表观产率系数 Y o 。首先生成1000条样本数据和理论的 Y o − 1 来训练多元线性回归模型( Y o − 1 的计算公式是如公式(4)所示)，把这1000条数据组成训练数据集矩阵X和矩阵Y，其中1000条序列 ( X , S R T , H R T , c i − c e , c i − c sup ) 组成的样本数据存放在矩阵X中，1000条 ( Y o − 1 ) 组成的样本数据存放在矩阵Y中，然后利用最小二乘法计算出 β ^ ，最后再计算得出多元线性回归方程，以此来创建图3所示的模型。

Y o − 1 = S R T X [ c i − c e H R T − c i − c sup S R T ] (4)

在实验中，我们选取了某污水处理厂稳定状态下的数据和图3所示的模型来进行测试，把用于测试的实验数据分组，对每组实验数据分别用图3所示的模型来预测污泥表观产率系数并计算拟合度，然后将预测结果和实际系统结果做对比，对比结果如表1和图4所示，观察实验结果表明该模型的精度较高。拟合度情况如图5所示，研究发现该模型计算所得到的拟合度都很接近1，表明该预测模型的拟合度较高。

前面用到的多元线性回归算法需要生成一个训练数据集矩阵X来训练模型，但这样得到的模型在做预测分析时误差稍大，这是因为训练数据集矩阵X中的数据分布不均匀，所以我们要对训练数据集矩阵X做去噪预处理，使数据分布均匀，以此来达到提高模型泛化性和减小误差的目的。

对训练数据集矩阵X去噪有三个步骤，第一步对矩阵X进行Haar小波分解，在这里我们只分解一层就够了；第二步对分解后的各分量数据做阈值量化处理(也就是去噪处理)，常用的阈值函数有硬阈值和软阈值函数，这里我选用硬阈值函数( )；第三步对处理后的各小波分量进行Haar小波重构，重新获得训练数据集矩阵X’，这样就使得训练数据集矩阵X’中的数据分布更加均匀了，然后再利用X’来做多元线性回归算法，在实验中我们利用图6所示的模型来预测 。

在实验中，我们首先建立图6所示的模型，然后选取某污水处理厂稳定状态下的数据并利用该模型进行实验。经过实验测得的拟合度情况如图7所示，对比图5我们发现改进后的多元线性回归算法的拟合度都在0.9以上，比改进前的拟合度更高，误差更小，达到了利用Haar小波分析改进的多元线性回归

表1. 稳定状态下污泥表观产率系数表(30℃)

图3. 污泥表观产率系数预测模型

图4. 污泥表观产率系数的实际值与测试值关系图

图5. 拟合度测定实验图

图6. 改进后的污泥表观产率系数预测模型

图7. 改进后预测模型的拟合度

算法对污泥表观产率系数做准确预测的目的。