陈会利，廖新元^*，鲁银霞，李佳季

南华大学数理学院，湖南 衡阳

收稿日期：2018年8月16日；录用日期：2018年9月1日；发布日期：2018年9月7日

本文研究随机离散模型在一类经济模型上的应用。通过构造Lyapunov函数，得到模型在平衡点渐近均方稳定的充分条件，所得结果经过数值仿真进行验证。

关键词 :随机离散模型，Lyapunov函数，经济模型，渐近均方稳定

Copyright © 2018 by authors and beplay安卓登录

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

考虑到自然界中的随机扰动，在确定性模型的基础上，众多学者添加各种随机因素，构建更符合实际动力学性态的随机离散模型进行研究，在生物种群、流行病等方面取得了许多成果 [ 1 ] - [ 8 ] 。例如，Leonid-Shaikhet [ 6 ] 研究了一类带有对数的随机差分方程解的渐近行为，得到平衡点的稳定性条件；Peter Palmer [ 7 ] 使用Euler-Maruyama法将1-维随机方程线性化，应用伊藤公式研究随机差分方程解的稳定性；Anqi Miao [ 8 ] 等分析了一类随机SIS传染病模型，将确定性系统与随机系统进行比较，发现随机扰动有着不可忽视的影响。

在市场行为中，经济活动也会受到不同程度的随机干扰，然而目前动力系统在经济模型中的应用还处于初级阶段 [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] ，其模型建立及算法需要人们更进一步的探索和研究。本文研究一类差分方程经济模型，在一定随机干扰的影响下，模型平衡解的稳定性。

随着中国经济的飞速发展，各种新产品层出不穷，为了让它们更快地进入大众视野，广告成为一种重要的营销手段。许多学者致力于广告量-购物水平的研究 [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] ，然而他们大多忽略了经济活动中随机干扰这一因素。

首先，我们考虑下面传统的广告量-购物水平模型 [ 12 ] ：

{ x ′ ( t ) = α ( X 0 − x ( t ) ) + β y ( t ) ( Y 0 − y ( t ) ) y ′ ( t ) = γ ( X 0 − x ( t ) ) (1)

其中 α 、 β 、 γ 是正系数， x ( t ) 表示t时刻的购物水平， y ( t ) 表示t时刻的广告投入量， X 0 是最大购物水平， Y 0 是最大广告量；当广告量不超过一定额度时，随着广告投放量的增加销售量也会增加，当广告量超过一定额度时，可能会引起人们的逆反心理，广告量的增加反而会影响销售量。从方程(1)中我们容易求出系统存在两个平衡点 ( X 0 , 0 ) 和 ( X 0 , Y 0 ) 。

在市场行为中，各种随机因素也会影响广告的效果，因此本文对模型(1)引入随机干扰项，通过欧拉离散方法，得到下面的随机差分方程：

{ x ( n + 1 ) = α X 0 + ( 1 − α ) x ( n ) + β Y 0 y ( n ) − β y 2 ( n ) + σ 1 ( x ( n ) − X 0 ) ξ 1 ( n + 1 ) y ( n + 1 ) = γ X 0 − γ x ( n ) + y ( n ) + σ 2 ( y ( n ) − Y 0 ) ξ 2 ( n + 1 ) (2)

其中 σ i ( i = 1 , 2 ) 表示随机干扰强度；n表示离散的时间， n ∈ Z ， Z = { 0 , 1 , ⋯ } ； ξ i ( n + 1 ) ( i = 1 , 2 ) 表示相互独立的随机变量序列，且满足 E ξ i ( n ) = 0 ， E ξ i 2 ( n ) = 1 ， E ξ 1 ( n ) ξ 2 ( n ) = 0 。

考虑到模型的实际情况，本文中我们只讨论正平衡点的稳定性。令 x ( n ) = u ( n ) + X 0 ， y ( n ) = v ( n ) + Y 0 ，在平衡点 ( X 0 , Y 0 ) 处，对模型(2)进行Jacobi线性化，得到下面线性方程：

{ u ( n + 1 ) = ( 1 − α ) u ( n ) − β Y 0 v ( n ) + σ 1 u ( n ) ξ 1 ( n + 1 ) v ( n + 1 ) = − γ u ( n ) + v ( n ) + σ 2 v ( n ) ξ 2 ( n + 1 ) (3)

显然，模型(2)正解的局部稳定性等价于模型(3)在零解处的稳定性。

设 z ( n ) = ( u ( n ) , v ( n ) ) ′ ，模型(3)可以写成下面这种形式：

z ( n + 1 ) = A z ( n ) + ϑ ( ξ ( n + 1 ) ) z ( n ) (4)

其中：

A = ( 1 − α − β Y 0 − γ 1 ) ， ϑ ( ξ ( n + 1 ) ) = ( σ 1 ξ 1 ( n + 1 ) 0 0 σ 2 ξ 2 ( n + 1 ) )

为了讨论方程(3)在零解处的稳定性，我们还需要下面一些定义与引理。

定义1. [ 15 ] 如果任意的 ε > 0 ，存在 δ > 0 ，使得对任意的初始函数 ‖ φ ‖ 2 = sup E | φ 0 | 2 < δ ，有 E | z ( n ) | 2 < ε ， n ∈ Z ，则称方程(3)的零解是均方稳定的；如果解是均方稳定的且对任意初始函数 ‖ φ ‖ 2 < ∞ ，方程的解满足条件 lim n → ∞ E | z ( n ) | 2 = 0 ，则称方程(3)的零解是渐近均方稳定的。

定义2. [ 16 ] 设P、Q均为实对称正定矩阵，若 P − Q 也为实对称正定矩阵，即有 P − Q > 0 ，则称P大于Q，记作 P > Q 。

引理1. [ 15 ] 如果存在一个非负函数 V i = V ( i , z ( − τ ) , ⋯ , z ( i ) ) 满足下面的条件：

E V ( 0 , φ ( − τ ) , ⋯ , φ ( 0 ) ) ≤ c 1 ‖ φ ‖ 2 ,

E Δ V i ≤ − c 2 E | z ( i ) | 2

c 1 ， c 2 是正常数， i ∈ Z ，那么方程(3)的解是渐近均方稳定的。

定理1. 对于一些二维正定矩阵P，矩阵方程：

− P = A ′ D A − D + C (5)

解为半正定矩阵D，那么方程(3)的零解是渐近均方稳定的。

证明：首先我们构造一个Lyapunov函数：

V ( n ) = z ′ ( n ) D z (n)

其中 D = ( d 11 d 12 d 12 d 22 ) 是一个半正定矩阵。

计算 Δ V ( n ) 的期望，我们可以得到下面的式子：

E Δ V ( n ) = E [ V ( n + 1 ) − V ( n ) ] = E [ z ′ ( n + 1 ) D z ( n + 1 ) − z ′ ( n ) D z ( n ) ] = E [ ( A z ( n ) + ϑ ( ξ ( n + 1 ) ) z ( n ) ) ′ D ( A z ( n ) + ϑ ( ξ ( n + 1 ) ) z ( n ) ) − z ′ ( n ) D z ( n ) ] = E [ z ′ ( n ) ( A ′ D A − D ) z ( n ) + z ( n ) ϑ ′ ( ξ ( n + 1 ) ) D ϑ ( ξ ( n + 1 ) ) z ( n ) ] = E [ z ′ ( n ) ( A ′ D A − D + C ) z ( n ) ]

其中 C = ϑ ′ ( ξ ( n + 1 ) ) D ϑ ( ξ ( n + 1 ) ) = ( d 11 σ 1 2 0 0 d 22 σ 2 2 ) 。

因此：

E Δ V ( n ) = − E ( z ′ ( n ) P z ( n ) ) ≤ − c E | z ( n ) | 2

其中 − P = A ′ D A − D + C ，c是一个大于零的常数。于是根据引理1，定理得证。

由第2节中我们知道：

A = ( 1 − α − β Y 0 − γ 1 ) ， C = ( d 11 σ 1 2 0 0 d 22 σ 2 2 )

因此矩阵方程(5)可以写成下面这种形式：

p 11 = d 11 − 2 γ ( α − 1 ) d 12 − γ 2 d 22 − ( α − 1 ) 2 d 11 − σ 1 2 d 11 ,

p 12 = ( α − γ β Y 0 ) d 12 + γ d 22 − ( α − 1 ) β Y 0 d 11 ,

p 22 = − β 2 Y 0 2 d 11 + 2 β Y 0 d 12 − σ 2 2 d 22

其中 ， P = ( p 11 p 12 p 12 p 22 ) 。

理论上P和D存在多个解，在此我们只给出一个具体的例子。令 α = 0.5718 ， β = 0.0095 ， γ = − 0.148 ， σ 1 = σ 2 = 0.1 ，平衡点 ， Y 0 = 30 ，矩阵 D = ( 1.5 1 1 2 ) ，通过MATLAB计算可以得到一个正定矩阵P： P = ( 1.0394 0.501 0.501 0.4282 ) 。

根据定理1，方程(3)在零解处渐近均方稳定，因此方程(2)在正解 处是局部渐近均方稳定。设初值为 ( 70 , 20 ) ，通过数值仿真得到方程解的稳定性图像如下图1和图2。

图1. 方程(3)在零点渐近均方稳定

图2. 方程(2)在正平衡点处局部渐近均方稳定

本文通过构造Lyapunov函数的方法研究一类随机经济模型解的稳定性问题。首先我们建立一个随机模型，经过欧拉离散化方法，得到了随机差分方程，然后将随机差分方程在正平衡点处线性化得到线性随机差分方程，证明当线性方程满足一定条件时，在零点处是渐进均方稳定的，由此得出方程在正平衡点处的局部渐进均方稳定性充分条件，并通过数值仿真验证了结论的正确性。本文研究的经济模型只考虑了随机扰动这一影响，如果还能得到方程解在时滞影响下的稳定性将更有现实意义，这也是我们今后所要研究的方向。

湖南省自然科学基金(2016JJ2104)资助。

陈会利,廖新元,鲁银霞,李佳季. 随机差分方程在一类经济模型中的应用Application of Stochastic Difference Equation in a Class of Economic Model[J]. 应用数学进展, 2018, 07(09): 1153-1158. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.79134