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Pure Mathematics

2160-7583

Scientific Research Publishing

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数学与物理

点群胚的Orbifold K-理论 Orbifold K-Theory of Point Orbifolds

林

奕武

₁ ^*

广东金融学院，金融数学与统计学院，广东广州

* E-mail: linyiwu@tom.com

15 06 2018

08 04 459 466

2014

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

本文以点群胚为例子，计算点群胚上Orbifold K-理论的几类环结构，并且比较这几类环结构之间的差异。 In this paper we study the point orbifold, and calculate some kinds of ring structure of point orr-bifolds. Then we compare the difference among these ring structures.

Orbifold丛，群胚，点群胚，Orbifold K-理论，有限群表示，特征标, Orbifold Bundle Groupoid Point Orbifold Orbifold K-Theory Representation of Finite Group Character

点群胚的Orbifold K-理论<sup> </sup>

林奕武

广东金融学院，金融数学与统计学院，广东广州

收稿日期：2018年7月1日；录用日期：2018年7月16日；发布日期：2018年7月24日

摘要

本文以点群胚为例子，计算点群胚上Orbifold K-理论的几类环结构，并且比较这几类环结构之间的差异。

关键词 :Orbifold丛，群胚，点群胚，Orbifold K-理论，有限群表示，特征标

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

Orbifold K-理论是Adem和Ruan [ 1 ] 首先提出来的。他们把orbifold X上的orbifold K-理论 K o r b ( X ) 定义为orbifold X上所有orbifold丛的等价类构成的Grothendieck群。若X是一个global quotient [ X / G ] ，则 K o r b ( X ) 刚好是等变K-理论 K G ( X ) 。给定一个twisting α : G × G → C ，Adem和Ruan [ 1 ] 还定义了twisted orbifold K-理论，但是他们并没有给出两类orbifold K-理论的环结构。

设X为一个紧致的近复orbifold，Adem，Ruan和Zhang [ 2 ] 考虑X上的inertia orbifold Λ X ，定义了 Λ X 上的twisted orbifold K-理论 α K o r b ( Λ X ) 的环结构 · A R Z ，并称之为弦积。对于非twisted的情形，Hu和Wang [HW]定义了orbifold K-理论 K o r b ( X ) 的乘法 · H W 。他们通过限制映射

e * : K o r b ( X ) → K o r b ( Λ X ) ,

把 α 1 , α 2 ∈ K o r b ( X ) 限制在 Λ X 的每个分支上。在 K o r b ( Λ X ) 上做弦积，然后利用 e * 的左逆 e # 拉回到 K o r b ( X ) 上。即

α 1 · H W α 2 = e # ( e * α 1 · A R Z e * α 2 ) .

对于twisted的情形，Lin [L]把 α K o r b ( X ) 分解到 K o r b ( Λ X ) 上。这里 K o r b ( Λ X ) 是平常的K-理论。然后在 K o r b ( Λ X ) 上构造新的乘法，再拉回到 α K o r b ( X ) 上，得到 α K o r b ( X ) 的环结构。

本文以点群胚 · G 为例子，计算orbifold K-理论上述两种环结构，并比较它们之间的差异。由于G是有限群， K o r b ( · G ) 与群代数 C G 是线性同构的。 K o r b ( · G ) 中的每一个元都是一个G表示。因此，计算环结构的时候可以充分利用有限群表示的理论。比如特征表的正交性等。本文得到的主要结论为定理3.1和定理3.7：

定理3.1设 V , W ∈ K o r b ( · G ) ，则 V · H W W = | G | V ⊗ W 。

定理3.7若 ( V 1 , π 1 ) , ( V 2 , π 2 ) ∈ K o r b ( · G ) 且 ( V 1 , π 1 ) , ( V 2 , π 2 ) 不可约，则

( V 1 , π 1 ) · L ( V 2 , π 2 ) = { 0 , π 1 ≠ π 2 , | G | n ( V 1 , π 1 ) , π 1 = π 2 .

其中 n = dim V 1 。

2. 准备知识

本节主要介绍Orbifold K-理论，弦积等概念，以及 K o r b ( · G ) 中两种环结构的定义。这些概念主要来自于 [ 1 ] [ 2 ] [ 4 ] 和 [ 5 ] 。

定义2.1 [ 1 ] 设X是一个紧致的orbifold，我们称X上所有orbifold丛的等价类构成的Grothendieck群为X上的orbifold K-理论。记为 K o r b ( X ) 。

若X是一个global quotient [ X / G ] ，则 K o r b ( X ) 刚好是 K G ( X ) 。这里 K G ( X ) 是等变K-理论，详见 [ 6 ] 。若 α : G × G → C 是一个twisting，global quotient [ X / G ] 上的twisted orbifold K-理论定义如下。

定义2.2 [ 1 ] [ X / G ] 上的twisted orbifold K-理论定义为所有 α -twisted G-等变丛的等价类构成的Grothendieck群。记为 α K o r b ( X ) 或 α K G ( X ) 。

Orbifold X的每一个不动子集 X ( g ) 上都有自然的orbifold结构。因此X可对应一个更大的orbifold Λ X = ∐ ( g ) X ( g ) 。称之为X的inertia orbifold。Adem，Ruan和Zhang [ 2 ] 定义了 α K o r b ( Λ X ) 上的弦积 · A R Z 。对任意 β ˜ , γ ˜ ∈ K α o r b ( Λ X ) ，

β ˜ · A R Z γ ˜ = ( e 12 ) ∗ ( e 1 ∗ β ˜ ⊗ e 2 ∗ γ ˜ ⊗ λ − 1 ( E ( 2 ) ) ) ,

其中 e 1 , e 2 , e 12 分别为

e 1 : ( Λ X ) ( 2 ) → Λ X , ( x , ( g , h ) ) ↦ ( x , g ) ; e 2 : ( Λ X ) ( 2 ) → Λ X , ( x , ( g , h ) ) ↦ ( x , h ) ; e 12 : ( Λ X ) ( 2 ) → Λ X , ( x , ( g , h ) ) ↦ ( x , g h ) .

E ( 2 ) 为 ( Λ X ) ( 2 ) 上的阻碍丛。

在非twisted的情形，Hu和Wang [ 4 ] 利用弦积构造上的环同构。记

e = ∐ ( g ) e ( g ) : Λ X → X .

在其中 e ( g ) 为每个分支 X ( g ) 往X的嵌入映射。Hu和Wang [ 4 ] 构造

e ∗ : K o r b ( X ) → K o r b (ΛX)

的左逆

e # : K o r b ( Λ X ) → K o r b ( X ) .

K o r b ( X ) 上的环结构 · H W 如下定义，对任意 β , γ ∈ K o r b ( X ) ，

β · H W γ = e # ( e ∗ β · A R Z e ∗ γ ) .

对于global quotient [ X / G ] 和twisting α : G × G → C ，Lin [L]在 α K o r b ( X ) 上定义了乘法 · L 。记

φ : α K o r b ( X ) → ⊕ g ∈ G K ( X g ) ⊗ C , E ↦ ⊕ g ∈ G E g .

其中 E g = ∑ ξ ξ E ξ ，为g的特征值， E ξ 为g的属于 ξ 的特征丛。则在 φ 之下，

α K o r b ( X ) ≅ ( ⊕ g ∈ G K ( X g ) ⊗ C ) G α .

类似 [ 2 ] ，构造 ( ⊕ g ∈ G K ( X g ) ⊗ C ) G α 的乘法如下，对任意 β ˜ , γ ˜ ∈ ( ⊕ g ∈ G K ( X g ) ⊗ C ) G α ，

β ˜ · γ ˜ = ( e 12 ) ∗ ( e 1 ∗ β ˜ ⊗ e 2 ∗ γ ˜ ⊗ λ − 1 ( E ( 2 ) ) ) ,

φ 把这个乘法拉回到 α K o r b ( X ) 上，便得到 α K o r b ( X ) 的乘法 · L 。即对于任意 β , γ ∈ K α o r b ( X ) ，

β · L γ = φ − 1 ( φ ( β ) · φ ( γ ) ) .

3. 几类Orbifold K-理论的环结构

对于Orbifold群胚， Γ = ( G 0 , G 1 ) 。若像空间 G 0 为一个单点，记为 · 。则态空间 G 1 为有限群，记为G。此时，称 Γ = ( G 0 , G 1 ) 为点群胚，或称为点Orbifold，记为 · G 。点群胚虽然简单，但它们是Orbifold 理论中重要的例子。

本节以点群胚 · G 为例子，利用表示论的方法，计算Orbifold K-理论的环结构 · H W 和 · L 。 · G 上所有的orbifold丛与G的表示群是一一对应的。我们的计算主要运用了特征标的正交性。

3.1. 一般Orbifold K-理论的环结构 · H W

· G 的inertia orbifold 为 Λ · G = ( G , G × G ) 。其源映射和靶映射分别为

s : G × G → G , ( g , h ) ↦ g ; t : G × G → G , ( g , h ) ↦ h .

即 Λ · G = ( G , G × G ) 等价于global quotient [ G / G ] 。其中G在自身的作用为 g · h = g − 1 h g 。因此，我们有

K o r b ( Λ · G ) ≅ K G ( G ) .

根据文 [ 2 ] ，对任意 V ˜ = ⊕ g ∈ G V ˜ g , W ˜ = ⊕ g ∈ G W ˜ g ∈ K o r b ( Λ · G ) ，

V ˜ · A R Z W ˜ = ⊕ g ∈ G ( ⊕ h ∈ G V ˜ h ⊗ W ˜ h − 1 g ) .

任取 ( V , π 1 ) , ( W , π 2 ) ∈ K o r b ( · G ) ，记 V g , W g 分别为 V , W 在 X g 上的限制。根据Hu和Wang [ 4 ] ，

V · H W W = e # ( e ∗ V · A R Z e ∗ W ) = e # ( ( ⊕ g ∈ G V g ) · A R Z ( ⊕ g ∈ G W g ) ) = e # ( ⊕ g , h ∈ G V h ⊗ W h − 1 g ) = | G | V ⊗ W

因此，我们有

定理3.1设 V , W ∈ K o r b ( · G ) ，则 V · H W W = | G | V ⊗ W 。

3.2. 一般Orbifold K-理论的环结构 · L

接着，我们计算 K o r b ( · G ) 上的另一个环结构 · L 。我们需要用到表示论的技巧，主要是特征标的正定性。

设 ( V 1 , π 1 ) , ( V 2 , π 2 ) 为G的两个不可约表示， χ 1 , χ 2 分别为它们的特征标，则有正交性定理

定理3.2设

( χ 1 , χ 2 ) = 1 | G | ∑ g ∈ G χ 1 ( g ) → χ 2 ( g ) = { 1 , χ 1 = χ 2 , 0 , χ 1 ≠ χ 2 .

由 π 1 , π 2 可以构造线性变换

ϕ π 1 , π 2 = 1 | G | ∑ g π 1 ∗ ( g ) π 2 ( g ) : V 1 ∗ ⊗ V 2 → V 1 ∗ ⊗ V 2 .

则对任意 h ∈ G ，

ϕ π 1 , π 2 ∘ ( π 1 ∗ ( h ) π 2 ( h ) ) = ϕ π 1 , π 2 .

所以

ϕ π 1 , π 2 ∘ ϕ π 1 , π 2 = ϕ π 1 , π 2 .

因此有

命题3.3 ϕ π 1 , π 2 至多只有两个特征值：0和1。

若 π 1 ≠ π 2 ，则由特征标的正交性，有

t r ϕ π 1 , π 2 = 1 | G | ∑ g ∈ G χ V 1 ∗ ⊗ V 2 ( g ) = 1 | G | ∑ g ∈ G χ 1 ( g ) → χ 2 ( g ) = 0 .

所以得到以下定理，

定理3.4若 π 1 ≠ π 2 ，则 ϕ π 1 , π 2 为一个0映射。

若 π 1 = π 2 。记 π ≐ π 1 = π 2 ， V ≐ V 1 = V 2 ， ϕ ≐ ϕ π 1 , π 2 。取V中的一个规范正交基 v 1 , v 2 , ⋯ , v n 使得对任意 g ∈ G ， π ( g ) 都为酉矩阵。取 v 1 ∗ , v 2 ∗ , ⋯ , v n ∗ 为其对偶基，则 π ∗ ( g ) = ( π ( g ) − 1 ) T = π ( g ) 。

命题3.5 ϕ 的迹和秩都为1。

证明:

t r ϕ = 1 | G | ∑ g ∈ G χ V 1 ∗ ⊗ V 2 ( g ) = 1 | G | χ V ∗ ( g ) χ V ( g ) = 1 | G | χ V ( g ) ¯ χ V ( g ) = 1

由命题3.3知， ϕ 的秩为1。

因为对任意 g ∈ G ， π ( g ) 都是酉矩阵。则有

ϕ ( v 1 ∗ ⊗ v 1 + v 2 ∗ ⊗ v 2 + ⋯ + v n ∗ ⊗ v n ) = v 1 ∗ ⊗ v 1 + v 2 ∗ ⊗ v 2 + ⋯ + v n ∗ ⊗ v n .

若

ϕ ( v 1 ∗ ⊗ v 1 ) = a 1 v 1 ∗ ⊗ v 1 + a 2 v 2 ∗ ⊗ v 2 + ⋯ + a n v n ∗ ⊗ v n ,

则

a 1 + a 2 + ⋯ + a n = 1 .

因此我们得到下面定理，

定理3.6

ϕ ( v i ∗ ⊗ v j ) = { 1 n ( v 1 ∗ ⊗ v 1 + v 2 ∗ ⊗ v 2 + ⋯ + v n ∗ ⊗ v n ) , i = j , 0 , i ≠ j .

下面我们开始计算 K o r b ( · G ) 上的另一个环结构 · L 。 K o r b ( · G ) 中的每一个丛都是一个G表示，因此我们只考虑不可约的G表示。

设 ( V 1 , π 1 ) , ( V 2 , π 2 ) 为两个不可约的G表示，则

φ ( V 1 , π 1 ) = ∑ g ∈ G χ 1 ( g ) V g , φ ( V 2 , π 2 ) = ∑ g ∈ G χ 2 ( g ) V g

所以，

φ ( V 1 , π 1 ) φ ( V 2 , π 2 ) = ( ∑ g ∈ G χ 1 ( g ) V g ) ( ∑ g ∈ G χ 2 ( g ) V g ) = ∑ h ∈ G ( ∑ g ∈ G χ 1 ( g − 1 ) χ 2 ( g h ) V h )

其中，

∑ g ∈ G χ 1 ( g − 1 ) χ 2 ( g h ) = ∑ g ∈ G χ 1 ∗ ( g ) χ 2 ( g h ) = ∑ g ∈ G t r ( π 1 ∗ ( g ) ) · t r ( π 2 ( g ) π 2 ( h ) ) = ∑ g ∈ G t r [ ( π 1 ∗ ( g ) ⊗ π 2 ( g ) ) · ( π 1 ( 1 ) ⊗ π 2 ( h ) ) ] = | G | t r [ ϕ π 1 , π 2 ∘ ( π 1 ( 1 ) ⊗ π 2 ( h ) ) ]

若 π 1 ≠ π 2 ，则 ϕ π 1 , π 2 = 0 ，因此 ∑ g ∈ G χ 1 ( g − 1 ) χ 2 ( g h ) = 0 。

若 π 1 = π 2 ，取规范正交基 v 1 , v 2 , ⋯ , v n 。对于任意 i , j ，

ϕ ∘ ( π ∗ ( 1 ) ⊗ π ( h ) ) ( v i ∗ ⊗ v j ) = ϕ ( v i ∗ ⊗ ∑ k = 1 n h k j v k ) = ∑ k = 1 n h k j ϕ ( v i ∗ ⊗ v k ) = h i j 1 n ( v 1 ∗ ⊗ v 1 + v 2 ∗ ⊗ v 2 + ⋯ + v n ∗ ⊗ v n )

所以，

∑ g ∈ G χ 1 ( g − 1 ) χ 2 ( g h ) = | G | t r [ ϕ π 1 , π 2 ∘ ( π 1 ( 1 ) ⊗ π 2 ( h ) ) ] = | G | n ( h 11 + h 22 + ⋯ + h n n ) = | G | n χ (h)

定理3.7若 ( V 1 , π 1 ) , ( V 2 , π 2 ) ∈ K o r b ( · G ) 且 ( V 1 , π 1 ) , ( V 2 , π 2 ) 不可约，则

( V 1 , π 1 ) · L ( V 2 , π 2 ) = { 0 , π 1 ≠ π 2 , | G | n ( V 1 , π 1 ) , π 1 = π 2 .

其中 n = dim V 1 。

证明：若 π 1 ≠ π 2 ，由于 ∑ g ∈ G χ 1 ( g − 1 ) χ 2 ( g h ) = 0 ，则

( V 1 , π 1 ) · L ( V 2 , π 2 ) = φ − 1 ( φ ( V 1 , π 1 ) · φ ( V 2 , π 2 ) ) = 0 .

若 π 1 = π 2 ，由于 ∑ g ∈ G χ 1 ( g − 1 ) χ 2 ( g h ) = | G | n χ ( h ) ，则 ( V 1 , π 1 ) · L ( V 2 , π 2 ) = φ − 1 ( | G | n χ ( h ) ) V h = | G | n ( V 1 , π 1 ) 。证毕

3.3. α-Twisted Orbifold K-理论的环结构 · L

对于 α -twisted orbifold K-理论 α K o r b ( · G ) 。根据 [ 5 ] ，存在线性同构

φ : α K o r b ( · G ) → ( K ( G ) ) G α ,

且 ( K ( G ) ) G α 上的乘法为：对任意 ∑ g ∈ G a g V g ， ∑ h ∈ G a h V h ∈ ( K ( G ) ) G α ， ( ∑ g ∈ G a g V g ) · ( ∑ h ∈ G a h V h ) = ∑ g , h ∈ G a g b h 1 α ( g , h ) V g h 。

因此 α K o r b ( · G ) 上的乘法为，对任意 ( V 1 , π 1 ) , ( V 2 , π 2 ) ∈ K α o r b ( · G ) ，

( V 1 , π 1 ) · L ( V 2 , π 2 ) = φ − 1 ( φ ( V 1 , π 1 ) · φ ( V 2 , π 2 ) ) = φ − 1 [ ( ∑ g ∈ G χ 1 ( g ) V g ) ⊗ ( ∑ g ∈ G χ 2 ( g ) V g ) ] = φ − 1 [ ∑ h ∈ G ( ∑ g ∈ G χ 1 ( g − 1 ) χ 2 ( g h ) 1 α ( g − 1 , g h ) ) V h ]

其中，

∑ g ∈ G χ 1 ( g − 1 ) χ 2 ( g h ) 1 α ( g − 1 , g h ) = ∑ g ∈ G t r π 1 ( g − 1 ) t r π 2 ( g h ) 1 α ( g − 1 , g h ) = ∑ g ∈ G t r ( α ( g , g − 1 ) π 1 ∗ ( g ) ) t r ( 1 α ( g , h ) π 2 ( g ) π 2 ( h ) ) 1 α ( g − 1 , g h ) = ∑ g ∈ G t r ( π 1 ∗ ( g ) ) t r ( π 2 ( g ) π 2 ( h ) ) α ( g , g − 1 ) α ( g , h ) α ( g − 1 , g h )

= ∑ g ∈ G t r ( π 1 ∗ ( g ) ) t r ( π 2 ( g ) π 2 ( h ) ) = ∑ g ∈ G t r [ ( π 1 ∗ ( g ) ⊗ π 2 ( g ) ) ( π 1 ∗ ( 1 ) π 2 ( h ) ) ] = | G | t r [ ϕ π 1 , π 2 ∘ ( π 1 ∗ ⊗ π 2 ( h ) ) ]

根据 [ 3 ] ，对于 α -twisted的情形，同样有

| G | t r [ ϕ π 1 , π 2 ∘ ( π 1 ∗ ⊗ π 2 ( h ) ) ] = { 0 , π 1 ≠ π 2 , | G | n χ 1 ( h ) , π 1 = π 2 .

因此，我们有

定理3.8若 ( V 1 , π 1 ) , ( V 2 , π 2 ) 为不可约的 α -twisted G表示，则

( V 1 , π 1 ) · L ( V 2 , π 2 ) = { 0 , π 1 ≠ π 2 , | G | n ( V 1 , π 1 ) , π 1 = π 2 .

其中 n = dim V 1 。

证明：类似定理3.7。

文章引用

林奕武. 点群胚的Orbifold K-理论Orbifold K-Theory of Point Orbifolds[J]. 理论数学, 2018, 08(04): 459-466. https://doi.org/10.12677/PM.2018.84061

参考文献

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