张杰

铜仁学院，贵州 铜仁

收稿日期：2018年6月20日；录用日期：2018年7月5日；发布日期：2018年7月12日

本文利用亚纯函数的Nevanlinna理论研究了高阶复微分齐次方程的无穷级整函数解的增长性，估计了方程解的超级、超下级的上界和下界。

关键词 :高阶复微分方程，亚纯函数，超级，超下级

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本文使用值分布理论的标准记号，对于亚纯函数 f ( z ) ，用 ρ ( f ) , μ ( f ) 分别表示亚纯函数 f ( z ) 的级、下级。

定义1：亚纯函数 f ( z ) 的级、下级、零点收敛指数和极点收敛指数定义如下：

ρ ( f ) = lim sup r → ∞ log + T ( r , f ) log r ;       μ ( f ) = lim inf r → ∞ log + T ( r , f ) log r .

定义2：亚纯函数 f ( z ) 的超级、超下级分别定义为：

ρ 2 ( f ) = lim sup r → ∞ log log + T ( r , f ) log r ;         μ 2 ( f ) = lim inf r → ∞ log log + T ( r , f ) log r .

定义3：集合 E ⊂ [ 0 , + ∞ ) ，则E的Lebesgue线性测度为 m ( E ) = ∫ E d t 。

集合 F ⊂ [ 1 , + ∞ ) ，则F的对数测度为 m l ( F ) = ∫ F d t t 。

集合 E ⊂ [ 0 , + ∞ ) 的上密度和下密度定义如下：

d e n s ¯ E = lim sup r → ∞ m ( E ∩ [ 0 , r ] ) r ;                 d e n s _ E = lim inf r → ∞ m ( E ∩ [ 0 , r ] ) r .

集合 F ⊂ [ 1 , + ∞ ) 的上对数密度和下对数密度定义如下：

l o g d e n s ¯ F = lim sup r → ∞ m l ( F ∩ [ 1 , r ] ) log r ;                 l o g d e n s _ F = lim inf r → ∞ m l ( F ∩ [ 1 , r ] ) log r .

关于线性微分方程

f ( k ) + A k − 1 ( z ) f ( k − 1 ) + ⋯ + A s ( z ) f ( s ) + ⋯ + A 0 ( z ) f = 0 (1.1)

解的增长性问题，主要有以下几个重要的结果，其中 A j ( z ) ( j = 0 , 1 , ⋯ , k − 1 ) 是整函数。

定理A [ 1 ] ：设 A j ( z ) ( j = 0 , 1 , ⋯ , k − 1 ) 是整函数，满足 max { ρ ( A j ) , j = 1 , 2 , ⋯ , k − 1 } < ρ ( A 0 ) ，则方程(1.1)的非平凡解是无穷级。

定理B [ 1 ] ：设 A j ( z ) ( j = 0 , 1 , ⋯ , k − 1 ) 是整函数，满足 ρ ( A 0 ) < max { ρ ( A j ) , j ≠ s } < ρ ( A s ) ≤ 1 2 ，则方程(1.1)的非平凡解是无穷级。

现在的主要问题是：若主导系数为中间的系数 A s ( z ) 且 ρ ( A S ) > 1 2 ，方程(1.1)的非平凡解是否是无穷级？

在定理A，定理B之后也出现了很多结果，文献 [ 2 ] 中证明了如下结果：

定理C [ 2 ] ：设 A j ( z ) ( j = 0 , 1 , ⋯ , k − 1 ) 是整函数，满足 max { ρ ( A j ) , j ≠ 0 } < ρ ( A 0 ) < + ∞ ，则微分方程(1.1)的每个非平凡解 f ( z ) 满足 ρ 2 ( f ) = ρ ( A 0 ) 。

定理D [ 2 ] ：设 A j ( z ) , ( j = 0 , 1 , ⋯ , k − 1 ) ,   F ≠ 0 是整函数，若存在 A s ( z ) ( 0 ≤ s ≤ k − 1 ) 满足

b = max { ρ ( A j ) , ρ ( F ) , j ≠ s } < ρ ( A s ) < 1 2 ,

则微分方程

f ( k ) + A k − 1 ( z ) f ( k − 1 ) + ⋯ + A s ( z ) f ( s ) + ⋯ + A 0 ( z ) f = F (1.2)

的每个超越解 f ( z ) 满足 ρ 2 ( f ) = ρ ( A s ) 。

在文献 [ 3 ] 中已证明了下列结论：

定理E [ 3 ] ：设 A j ( z ) , ( j = 0 , 1 , ⋯ , k − 1 ) 是整函数，满足

max { ρ ( A j ) , j ≠ 0 } < μ ( A 0 ) < ρ ( A 0 ) < + ∞

则方程(1.1)的每个非平凡解满足 μ ( A 0 ) = μ 2 ( f ) ≤ ρ 2 ( f ) ≤ ρ ( A 0 ) 。

定理F [ 3 ] ：设 A j ( z ) , ( j = 0 , 1 , ⋯ , k − 1 ) 是整函数，若存在 s ∈ { 1 , 2 , ⋯ , k − 1 } 使得 max { ρ ( A j ) , j ≠ 0 , s } < μ ( A 0 ) < 1 2 ， A S ( z ) 的亏值有限，则方程(1.1)的每个非平凡解满足：

μ ( A 0 ) ≤ ρ 2 ( f ) ≤ max { ρ ( A 0 ) , ρ ( A s ) } .

在文献 [ 4 ] 已证。

定理G [ 4 ] ：设 A ( z ) , B ( z ) 是两个整函数， 0 < μ ( B ) < 1 2 ，若存在实常数 μ < μ ( B ) 和下对数密度为1

的集合 E μ ⊂ [ 1 , + ∞ ) ，使得对任意的 r ∈ E μ ，有

min | z | = r | A ( z ) | ≤ exp ( r μ ) ,

则方程

f ″ + A ( z ) f ′ + B ( z ) f = 0 (1.3)

的任意非平凡解 f ( z ) 满足 ρ 2 ( f ) ≥ μ ( B ) 。

文献 [ 5 ] 已证下列结论：

定理H [ 5 ] ：设 A ( z ) , B ( z ) 是级有限的整函数，满足 μ ( A ) < μ ( B ) < ρ ( B ) < ρ ( A ) < 1 2 ，则方程(1.3)的任意非平凡解 f ( z ) ，满足 μ 2 ( f ) ≤ ρ ( B ) ≤ ρ 2 ( f ) = ρ ( A ) 。

定理I [ 5 ] ：设 A ( z ) , B ( z ) 是级有限的整函数，满足 ρ ( B ) < μ ( A ) < 1 2 < ρ ( A ) ，则方程(1.3)的任意非平凡解 f ( z ) ，满足 μ 2 ( f ) ≤ μ ( A ) < 1 2 ≤ ρ 2 ( f ) ≤ ρ ( A ) 。

本文是将定理G, H, I的结论推广到方程(1.1)中去，得到以下几个结果：

定理1：设 A j ( z ) , ( j = 0 , 1 , ⋯ , k − 1 ) 是整函数， 0 < μ ( A 0 ) < 1 2 ，若存在实常数 μ < μ ( A 0 ) 和下对数密度

为1的集合 E μ ⊂ [ 1 , + ∞ ) ，即 l o g d e n s _ E μ = 1 使得对任意的 r ∈ E μ ，有

min | z | = r | A j ( z ) | ≤ exp ( r μ ) ,                           ( j = 1 , 2 , ⋯ , k − 1 )

则方程(1.1)的任意非平凡解 f ( z ) ，满足 ρ 2 ( f ) ≥ μ ( A 0 ) 。

定理2：设 A j ( z ) , ( j = 0 , 1 , ⋯ , k − 1 ) 是整函数，满足

max { μ ( A j ) , j ≠ 0 } < μ ( A 0 ) ≤ ρ ( A 0 ) < max { ρ ( A j ) , j ≠ 0 } < 1 2 ,

则方程(1.1)的任意非平凡解 f ( z ) ，满足

μ 2 ( f ) < ρ ( A 0 ) ≤ ρ 2 ( f ) = max { ρ ( A j ) , j ≠ 0 } .

定理3：设 A j ( z ) , ( j = 0 , 1 , ⋯ , k − 1 ) 是级有限的整函数，满足

ρ ( A 0 ) < max { μ ( A j ) , j ≠ 0 } < 1 2 ≤ max { ρ ( A j ) , j ≠ 0 } ,

则方程(1.1)的任意非平凡解 f ( z ) ，满足

μ 2 ( f ) ≤ max { μ ( A j ) , j ≠ 0 } < 1 2 ≤ ρ 2 ( f ) ≤ max { ρ ( A j ) , j ≠ 0 } .

引理1 [ 1 ] ：设 f ( z ) 是超越亚纯函数， α > 1 是常数，对任意给定的 ε > 0 ，存在对数测度有限的集合 E 1 ⊂ [ 1 , + ∞ ) 和常数 B > 0 ，B依赖于 α 和 ( m , n ) ( m , n ∈ N 且 m < n ) ，使得对任意的z，满足 | z | = r ∉ [ 0 , 1 ] ∪ E 1 ，有

| f ( n ) ( z ) f ( m ) ( z ) | ≤ B ( T ( α r , f ) r ( log α r ) log T ( α r , f ) ) n − m

引理2 [ 1 ] ：f是级为有穷的超越亚纯函数，对给定的实常数 ε > 0 及两个整数 k , j ，且 k > j ≥ 0 ，则下列结论成立：

1) 存在对数测度有穷的集合 E ⊂ ( 1 , + ∞ ) ，使得对所有的z满足 | z | ∉ E ∪ [ 0 , 1 ] ，有：

| f ( k ) ( z ) f ( j ) ( z ) | ≤ | z | ( k − j ) ( ρ ( f ) − 1 + ε )

2) 存在线性测度有限的集合 F ⊂ [ 0 , + ∞ ) ，使得对所有的z满足 | z | ∉ F ，有：

| f ( k ) ( z ) f ( j ) ( z ) | ≤ | z | ( k − j ) ( ρ ( f ) + ε ) .

引理3 [ 6 ] ：设 f ( z ) 是整函数， μ ( f ) < ∞ 是常数，对任意给定的 ε > 0 ，存在对数测度无穷的集合 E ⊂ ( 0 , + ∞ ) ，使得对任意的 r ∈ E ，有

M ( r , f ) < exp { r μ + ε } ,                   m ( r , f ) < r μ + ε .

引理4 [ 7 ] ：设 f ( z ) 是超越整函数， 0 < η 1 < 1 4 和点列 { z r } ，使得 | z r | = r 和 | f ( z r ) | > M ( r , f ) υ f ( r ) − 1 4 + η 1 ，则存在对数测度有限的集合 E 0 ⊂ ( 0 , + ∞ ) ，使得对任意的 r ∉ E 0 ，有

f ( j ) ( z r ) f ( z r ) = ( υ f ( f ) z r ) j ( 1 + ο ( 1 ) ) ,                       j ∈ N

其中 υ f ( r ) 是 f ( z ) 的中心指标。

引理5 [ 2 ] ：设 f ( z ) 是级为无穷的整函数，满足 ρ 2 ( f ) = ρ , μ 2 ( f ) = μ ，则

ρ 2 ( f ) = lim sup r → ∞ log log υ f ( r ) log r = ρ   和   μ 2 ( f ) = lim inf r → ∞ log log υ f ( r ) log r = μ

引理6：设 A j ( z ) , ( j = 0 , 1 , ⋯ , k − 1 ) 是级有限的整函数，则方程(1.1)的解 f ( z ) 满足：

μ 2 ( f ) ≤ max { μ ( A j ) , ρ ( A 0 ) , j ≠ 0 }   和   μ 2 ( f ) ≤ max { ρ ( A j ) , μ ( A 0 ) , j ≠ 0 }

证明：由方程(1.1)得

f ( k ) ( z ) f ( z ) = − A K − 1 ( z ) f ( k − 1 ) ( z ) f ( z ) − A K − 2 ( z ) f ( k − 2 ) ( z ) f ( z ) − ⋯ − A 1 ( z ) f ′ ( z ) f ( z ) − A 0 ( z ) 于是，有

| f ( k ) ( z ) f ( z ) | ≤ | A K − 1 ( z ) | | f ( k − 1 ) ( z ) f ( z ) | + ⋯ + | A 1 ( z ) | | f ′ ( z ) f ( z ) | + | A 0 ( z ) | (2.1)

由引理3，存在对数测度有限的集合 E 0 ⊂ [ 1 , + ∞ ) ，使得对任意的z满足 | z | = r ∉ E 0 和 | f ( z ) | = M ( r , f ) ，有

| f ( j ) ( z ) f ( z ) | = ( υ f ( f ) r ) j ( 1 + ο ( 1 ) ) ,                   j = 1 , 2 , ⋯ , k (2.2)

令 max { μ ( A j ) , ρ ( A 0 ) , j ≠ 0 } = a ，应用引理2，对任意给定的 ε > 0 ，存在对数测度无穷的集合 E 1 ⊂ ( 0 , + ∞ ) ，使得对任意的z满足 | z | = r ∈ E 1 时，有

| A j ( z ) | < exp { r a + ε } ,                   ( j = 0 , 1 , 2 , ⋯ , k − 1 ) (2.3)

将(2.2) (2.3)代入(2.1)，则对任意的z满足 | z | = r ∈ E 1 \ E 0   和 | f ( z ) | = M ( r , f ) ，有

( υ f ( f ) r ) k ( 1 + ο ( 1 ) ) ≤ k ⋅ exp { r a + ε } ( υ f ( f ) r ) k − 1 ( 1 + ο ( 1 ) ) (2.4)

由(2.4)式及引理4，有

μ 2 ( f ) ≤ a = max { μ ( A j ) , ρ ( A 0 ) , j ≠ 0 }

类似地可证明

μ 2 ( f ) ≤ a = max { ρ ( A j ) , μ ( A 0 ) , j ≠ 0 }

引理7 [ 5 ] ：设 f ( z ) 是整函数且 ρ ( f ) = ρ < 1 2 ，记

A ( r ) = min | z | = r log | f ( z ) | ,                               B ( r ) = max | z | = r log | f ( z ) |

若 ρ < α < 1 ，则

l o g d e n s _ ( { r : A ( r ) > cos ( π α ) B ( r ) } ) > 1 − ρ α

引理8 [ 4 ] ：设 f ( z ) 是整函数且 0 < μ ( f ) < 1 2 ，记

m ( r ) = inf | z | = r log | f ( z ) | ,                         M ( r ) = sup | z | = r log | f ( z ) |

则对任意 α ∈ ( μ ( f ) , 1 ) ，有

l o g d e n s ¯ ( { r ∈ [ 1 , + ∞ ) : n ( r ) > c o s ( π α ) M ( r ) } ) > 1 − μ ( f ) α

引理9 [ 5 ] ：设 f ( z ) 是整函数且 μ ( f ) = μ < 1 2 ,     μ < ρ = ρ ( f ) ，若 μ ≤ ρ < min ( ρ , 1 2 ) , δ < α < 1 2 ，则 l o g d e n s ¯ ( { r : A ( r ) > cos ( π α ) B ( r ) > r δ } ) > C ( ρ , δ , α ) ， C ( ρ , δ , α ) 是依赖于 ρ , δ , α 的正常数。

引理10 [ 2 ] ：设 f ( z ) 是超越整函数，则存在对数测度有限的集合 E ⊂ ( 0 , + ∞ ) ，使得对任意的z满足 | z | = r ∉ E   且 | f ( z ) | = M ( r , f ) ，有

| f ( z ) f ( j ) ( z ) | ≤ 2 r j ,                 ( j ∈ N )

引理11 [ 5 ] ：设 f ( z ) 是整函数，且 ρ ( f ) = ρ < + ∞ ，则存在对数测度无穷的集合 E ⊂ [ 1 , + ∞ ) ，使得对任意的z，有

lim r → ∞ log T ( r , f ) log r = ρ .

引理12 [ 8 ] ：设 A j ( z ) , ( j = 0 , 1 , ⋯ , k − 1 ) 是整函数且 ρ ( A j ) ≤ ρ < + ∞ ，若 f ( z ) 是方程(1.1)的解，则 ρ 2 ( f ) ≤ ρ 。

张 杰. 一类高阶复微分方程解的增长性The Growth of Academic Papers for a Class of Higher Order Differential Equations[J]. 理论数学, 2018, 08(04): 365-372. https://doi.org/10.12677/PM.2018.84049