—非线性期望在Dynkin对策中的应用

吴和林

重庆理工大学，重庆

收稿日期：2018年5月31日；录用日期：2018年6月19日；发布日期：2018年6月26日

本文我们研究了由倒向随机微分方程诱导的非线性g-期望下的Dynkin停时对策问题。在我们的假设之下，我们获得了一组鞍点并由此得出了对策解的存在性。除此之外，我们还讨论了存在限制的情况。我们的结果可以应用到非常一般情形下的美式期权定价问题之中。

关键词 :倒向随机微分方程，停时对策，限制问题

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Dynkin对策问题一般是如下叙述的。分别定义下价值和上价值函数为

V _     t : = ess sup τ ∈ Π t ess inf σ ∈ Π t E [ R t ( τ , σ ) | Γ t ] , (1.1)

和

V ¯ t : = ess inf τ ∈ Π t ess sup σ ∈ Π t E [ R t ( τ , σ ) | Γ t ] , (1.2)

其中 R t ( τ , σ ) 是满足一定条件的关于停时 τ 和 σ 的一个函数，那么通常是要寻找充分条件使得 V ¯ t = V _     t 成立.

很容易看出， V ¯ t ≥ V _     t ，为了得到相反的不等式，我们通常去寻找一对停时 ( τ t * , σ t * )

使得

E [ R t ( τ , σ t * ) | Γ t ] ≤ E [ R t ( τ t * , σ t * ) | Γ t ] ≤ E [ R t ( τ t * , σ ) | Γ t ] (1.3)

对任意取值于t和T之间的停时

τ 和 σ 成立。

事实上，如果(1.3)成立，那么由$1.1)和(1.2)的定义有 V ¯ t = V _     t 。这时V(t)称为Dynkin对策的价值函数。

研究这类问题的方法有很多。首先，停时对策是最优停时问题的推广，因此可以用鞅方法来寻找一组鞍点并由此得到价值函数。这是比较经典的一种方法，详细研究可以参考E. B. Dynkin [ 1 ] ，N. V. Krylov [ 2 ] 等。其次，因为带下反射的反射倒向随机微分方程(简称RBSDE) 是解决最优停时的有力工具，有些文章比如J. Cvitanic；I. Karatzas [ 3 ] ，S. Hamadene；J. -P. Lepeltier [ 4 ] 等，便通过对带上下反射的双边反射BSDE的研究来讨论Dynkin对策问题。再次，特殊地，在马尔科夫情形下，A. Bensoussan，A. Friedman [ 5 ] 和A. Friedman [ 6 ] 则使用分析的方法来解决微分对策问题。他们通过相应的偏微分方程、变分不等式、自由边界问题的研究来讨论对策问题的鞍点和价值函数。当然，仍然还有其它的方法来解决这个问题，比如I. Karatzas [ 7 ] 中的依路径方法和I. Karatzas；H. Wang [ 8 ] 中的奇异控制方法。

受J. Cvitanic；I. Karatzas [ 3 ] 的启发，在本文中，我们研究存在限制条件情形下的停时对策，既用 g Γ 期望来计量回报过程。我们分别定义下价值和上价值函数为

V ¯ t = ess sup τ ∈ Π t ess inf σ ∈ Π t E t g [ R ( τ , σ ) ] (1.4)

V _     t = ess inf τ ∈ Π t ess sup σ ∈ Π t E t g [ R ( τ , σ ) ] (1.5)

其中 R ( τ , σ ) = L ( τ ) 1 ( τ ≤ σ ) + U ( σ ) 1 ( σ < τ ) Π t 为取值于t和 T之间的停时集合，T为终端时刻。在 L ( t ) 和 U ( t ) 满足适当假设的前提下，我们想去寻找一对鞍点 ( τ t * , σ t * ) 使得

E t g [ R ( τ , σ t * ) ] ≤ E t g [ R ( τ t * , σ t * ) ] ≤ E t g [ R ( τ t * , σ ) ] (1.6)

对任意 τ , σ ∈ Π t 成立，因而由(1.4)和(1.5)的定义，相应地价值函数存在。

这个问题看起来和J. Cvitanic；I. Karatzas [ 3 ] 中叙述的非常相似，然而它们之间还是由区别的，尽管我们将证明它们的结果看起来也很相似。为了说明我们的问题的意义，我们将在以后指出它们的不同之处，并研究带限制的情形，即我们用 g Γ 期望来计量回报过程。

给定某个函数 g : Ω × [ 0 , T ] × R × R d → R ，本文中我们始终需要如下条件

| g ( ω , t , x 1 , y 1 ) − g ( ω , t , x 2 , y 2 ) | ≤ M ( | x 1 − x 2 | + | y 1 − y 2 | ) (A1)

对某个M > 0以及任意 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) 成立

g ( ⋅ , x , y ) ∈ H T 2 ( R ) ,     ∀ x ∈ R , y ∈ R d (A2)

在适当的概率空间中，我们定义双边反射BSDE，详情可参考J. Cvitanic，I. Karatzas [ 3 ] 。

定义1 [带上下反射壁的倒向随机微分方程]

设 ξ 为 L 2 ( Γ T ) 中的一个随机变量， g : Ω × [ 0 , T ] × R × R d → R 满足条件(A1)和(A2)的 P ⊗ B ( R ) ⊗ B ( R d ) 可测的函数。考虑 S 1 2 中的满足

L ( t ) ≤ U ( t ) ,     ∀ 0 ≤ t ≤ T ,     L ( T ) ≤ ξ ≤ U ( T ) a.s

的连续过程。

我们称 Γ 循序可测的三元组 ( X , Y , K ) ， X : [ 0 , T ] × Ω → R , Y : [ 0 , T ] × Ω → R d 和 K : [ 0 , T ] × Ω → R 为以 ξ 为终端，系数为g，以 U , L (分别从上和从下方反射)为反射壁的BSDE 的解，如果下式成立

i) K = K + − K − , K ± ∈ S 1 2

ii) Y ∈ H d 2

并且

X ( t ) = ξ + ∫ t T g ( s , X ( s ) , Y ( s ) ) d s + K + ( T ) − K + ( t ) − [ K − ( T ) − K − ( t ) ] − ∫ t T Y ′ ( s ) d W ( s ) (2.1)

L ( t ) ≤ X ( t ) ≤ U ( t ) (2.2)

∫ 0 T ( X ( t ) − L ( t ) ) d K + ( t ) = ∫ 0 T ( U ( t ) − X ( t ) ) d K − ( t ) = 0 (2.3)

对 0 ≤ t ≤ T 几乎处处成立。

过程 L , U 是一对随机的与时间有关的反射壁，状态过程X在到达终端 ξ 的过程中始终不穿越它们。

J. Cvitanic；I. Karatzas [ 3 ] 通过求解停时对策问题，既Dynkin对策问题，来求解这种形式的双边反射BSDE，S. G. Peng and M. Y. Xu [ 9 ] 则讨论了反射壁更一般的情形下的双边反射问题。我们仍将在本章中讨论受限的情形下的停时对策问题。

在这一节中，我们回顾一些与反射BSDE和Dykin对策问题相关的一些结果。

在J. Cvitanic；I. Karatzas [ 3 ] 中，作者证明了如果(X,Y,Z)是反射BSDE的解，那么X(t)和由(1.1)，(1.2)定义的Dynkin对策问题的价值函数相等，其中

R t ( τ , σ ) = ∫ t τ ∧ σ g ( s , X ( s ) , Y ( s ) ) d s + L ( τ ) 1 ( τ < T , τ ≤ σ ) + U ( σ ) 1 ( σ < τ ) + ξ 1 ( τ ∧ σ = T ) (I)

更一般地，在S. Hamadene，J. -P. Lepeltier [ 4 ] 中，作者讨论了以

R t ( τ , σ ) = E ( u , v ) ∫ t τ ∧ σ g ( s , X ( s ) , u ( ( s ) , v ( s ) ) d s + L ( τ ) 1 ( τ < T , τ ≤ σ ) + U ( σ ) 1 ( σ < τ ) + ξ 1 ( τ ∧ σ = T ) (II)

为支付函数的混合零和微分对策问题。

在本文中，当 g ( ω , t , x , 0 ) = 0 时，我们可以把 E t g [ L ( τ ) 1 ( τ ≤ σ ) + U ( σ ) 1 ( σ < τ ) ] 展开为

E [ ∫ t τ ∧ σ g ( s , X τ , σ ( s ) , Y τ , σ ( s ) ) d s + L ( τ ) 1 ( τ < T , τ ≤ σ ) + U ( σ ) 1 ( σ < τ ) + ξ 1 ( τ ∧ σ = T ) | Γ t ] (III)

其中 ( X τ , σ ( t ) , Y τ , σ ( t ) ) 是以 η = L ( τ ) 1 ( τ < T , τ ≤ σ ) + U ( σ ) 1 ( σ < τ ) + ξ 1 ( τ ∧ σ = T ) 为终端的BSDE的解， ξ = L ( T ) 。

上述停时对策问题看起来很相似，但有本质的区别。

从上面(I)，(II)和(III)的表达式中，我们比较容易看出它们积分项中被积函数的区别。

在(I)中， ( X ( s ) , Y ( s ) ) 是事先确定的；在(II)中，X(s)只依赖于 ( u , v ) ；但是在我们的问题(III)中， ( X τ , σ ( t ) , Y τ , σ ( t ) ) 依赖于停时 ( τ , σ )

利用反射BSDE和BSDE的比较性质或g-鞅理论，我们可以找到非线性g-期望下的Dynkin对策的一组鞍点。

其中的主要原因是g-期望拥有很多和线性期望一样的性质，我们可以从以后的证明中看出，线性在反射BSDE和Dynkin对策的联系中不是关键的。

按照J. Cvitanic；I. Karatzas [ 3 ] 的思路，利用g期望理论，我们可以很容易证明下面在非受限情形下的结果。

定理1 假设 L ( t ) , U ( t ) ∈ S 1 2 并且 L ( t ) ≤ U ( t ) , 0 ≤ t ≤ T 。生成元 g ( t , x , y ) 满足条件(A1)，(A2)并且 g ( t , x , 0 ) = 0 , ∀ t , x 。假定 ( X ( t ) , Y ( t ) , K ( t ) ) 是以 L ( T ) 为终端的反射倒向随机微分方程(2.1)的解，那么由 (1.4)，(1.5)确定的Dynkin对策有一组鞍点 ( τ t * , σ t * ) ，从而价值函数存在。更进一步，这组鞍点为

τ t * = inf { s ≥ t : L ( s ) = X ( s ) } ∧ T (3.1)

和

σ t * = inf { s ≥ t : U ( s ) = X ( s ) } ∧ T (3.2)

并且

V _ ( t ) = V ¯ ( t ) = X (t)

证明：我们只要证明(1.6)。

先固定 σ t * ，对任意取值于 [ t , T ] 的一个停时 τ ，因为 L ≤ X 和 X ( σ t * ) = U ( σ t * ) ，

所以我们有

E t g [ R t ( τ , σ t * ) ] = E t g [ L ( τ ) 1 ( τ ≤ σ t * ) + U ( σ t * ) 1 ( σ t * < t ) ] ≤ E t g [ X ( τ ) 1 ( τ ≤ σ t * ) + U ( σ t * ) 1 ( σ t * < t ) ] = E t g [ X ( τ ∧ σ t * ) ]

至此，我们将要证明

E t g [ X ( τ ∧ σ t * ) ] ≤ E t g [ X ( τ t * ∧ σ t * ) ] (3.3)

对任意取值于 [ t , T ] 的停时 τ 成立。

由(2.3)和(3.1)，(3.2)，我们有当 τ ≤ τ t * 时， ；当 σ ≤ σ t * 时， A − ( σ ) = A − ( t ) 。

因此在集合 ( τ ≤ τ t * ) 上，由方程(2.1)，我们有

X ( τ ∧ σ t * ) = X ( τ t * ∧ σ t * ) + ∫ τ ∧ σ t * τ t * ∧ σ t * g ( s , X ( s ) , Y ( s ) ) d s − ∫ τ ∧ σ t * τ t * ∧ σ t * Y ′ ( s ) d W (s)

这意味着

X ( τ ∧ σ t * ) = E t ∧ σ t * g [ X ( τ t * ∧ σ t * ) ] (3.4)

在另一方面，当 τ > τ t * ，类似地，我们有

X ( τ t * ∧ σ t * ) = X ( τ ∧ σ t * ) + ∫ τ t * ∧ σ t * τ ∧ σ t * g ( s , X ( s ) , Y ( s ) ) d s + A + ( τ ∧ σ t * )     − A + ( τ t * ∧ σ t * ) − ∫ τ t * ∧ σ t * τ ∧ σ t * Y ′ ( s ) d W (s)

由此意味着

E t t * ∧ σ t * g [ X ( τ ∧ σ t * ) ] ≤ X ( τ t * ∧ σ t * ) (3.5)

在(3.4)和(3.5)中取条件g-期望，由g-解的相容性，参考Shige Peng [ 10 ] ，我们得到(3.3)。

现在，我们确定 τ t * ，对任意取值于 [ t , T ] 的停时 σ ，我们将证明

E t g [ X ( τ t * ∧ σ t * ) ] ≤ E t g [ X ( τ t * ∧ σ ) ] (3.6)

类似地，当 σ ≤ σ t * 时，我们有

X ( τ t * ∧ σ ) = X ( τ t * ∧ σ t * ) + ∫ τ ∧ σ τ t * ∧ σ t * g ( s , X ( s ) , Y ( s ) ) d s − ∫ τ ∧ σ τ t * ∧ σ t * Y ′ ( s ) d W (s)

因此

X ( τ t * ∧ σ ) = E t t * ∧ σ g [ X ( τ t * ∧ σ t * ) ] (3.7)

成立。

当 σ > σ t * 时，(2.1)成为

X ( τ t * ∧ σ t * ) = X ( τ t * ∧ σ ) + ∫ τ t * ∧ σ t * τ t * ∧ σ g ( s , X ( s ) , Y ( s ) ) d s     − ( A − ( τ t * ∧ σ ) − A − ( ( τ t * ∧ σ t * ) ) − ∫ τ t * ∧ σ t * τ t * ∧ σ Y ′ ( s ) d W (s)

而这就意味着

E t t * ∧ σ t * g [ X ( τ t * ∧ σ ) ] ≥ X ( τ t * ∧ σ t * ) (3.8)

在(3.7)和(3.8)中取g-期望，我们有(3.6)证完。

注记1：比较J. Cvitanic；I. Karatzas [ 3 ] 中证明4.1的方法和我们证明定理3.1的方法，尽管它们非常类似，但是我们的好处在于直接利用了g-鞅理论，这样方便我们以后处理带限制的情形。

下面我们讨论带限制的情形，也就是我们用带限制的g-期望，既S. G. Peng；M. Y. Xu [ 9 ] 中定义的 g Γ 期望来计量回报过程。

与没有限制的情形相似，我们分别定义下价值和上价值过程如下

V ¯ t = ess sup τ ∈ Π t ess inf σ ∈ Π t E t g , ϕ [ R ( τ , σ ) ] (3.9)

和

V _     t = ess inf τ ∈ Π t ess sup σ ∈ Π t E t g , ϕ [ R ( τ , σ ) ] (3.10)

其中 R ( τ , σ ) = L ( τ ) 1 ( τ ≤ σ ) + U ( σ ) 1 ( σ < τ ) 。

对任意整数m，令 g m = g + m ϕ ，我们用 ( X m , Y m , K m ) , m = 1 , 2 , ⋯ ，表示分别以U和L为上下反射壁的 g m 反射BSDE的解。因为 X m 能由惩罚方法得到，由比较定理， X m 是一列递增过程。

利用这一列过程，我们得到如下的一列停时

τ t * ( m ) = inf { s ≥ t : L ( s ) = X m ( s ) } ∧ T (3.11)

和

σ t * ( m ) = inf { s ≥ t : U ( s ) = X m ( s ) } ∧ T (3.12)

容易看出 τ t * ( m ) 递增并且 递减。

令 X ( t ) : = lim m → ∞ X m ( t ) 。为了后面的证明，我们希望 X ( t ) 是右连续的，为此我们证明 X m ( t ) 的右连续性。我们有下面引理

引理1 在函数 g , ϕ ，障碍 满足和定理1一样的条件下， X m ( t ) , m = 1 , 2 , ⋯ 以及其极限 X ( t ) 均为右连续。

证明：事实上，令 g m = g + m ϕ ， ( X m , Y m , K m ) , m = 1 , 2 , ⋯ 是以U和L为上下反射壁的反射BSDE的解，那么由惩罚方法， X m ( t ) 是下列 X n , m (t)

X n , m ( t ) = ξ + ∫ t T g m ( s , X n , m ( s ) , Y n , m ( s ) ) d s + n ∫ t T ( X n , m ( s ) − L ) − d s     − n ∫ t T ( X n , m ( s ) − U ) + d s − ∫ t T Y n , m ( s ) d W (s)

当 n → ∞ 的极限，其中 ( K m ) + 和 ( K m ) − 分别是 n ∫ t T ( X n , m ( s ) − L ) − d s 和 n ∫ t T ( X n , m ( s ) − L ) − d s

那么由S. G. Peng，M. Y. Xu [ 9 ] 中的定理A.1或定理3.1， 右连续从而 X ( t ) 右连续。

在以上结果的基础上，我们得到下面带限制的Dynkin对策的结果。

定理2若g和 ϕ 满足假设(A1)和(A2)， L ( t ) 和 U ( t ) 是非负连续过程，并且存在 B > 0 ，使得对 ∀ t ∈ [ 0 , T ] ， L ( t ) ≤ B , U ( t ) ≤ B 。我们考虑由(3.9)和(3.10)定义的下价值和上价值函数的Dynkin对策。如果 L ( t ) 关于时间递增，那么由(3.13)定义的一对停时是一组鞍点。

证明：如引理1所证明， X ( t ) : = lim m → ∞ X m ( t ) 是右连续的，我们可以定义停时

τ t * = inf { s ≥ t : L ( s ) = X ( s ) } ∧ T , σ t * = inf { s ≥ t : U ( s ) = X ( s ) } ∧ T (3.13)

并且对任意m， L ( τ t * ) = X ( τ t * ) , U ( σ t * ) = X ( σ t * ) , τ t * ≥ τ t * ( m ) , σ t * ≤ σ t * ( m ) ，

对任意 n ≤ m ，由BSDE的比较定理和在非受限的情形下的定理3.1，我们有

E t g n [ X m ( τ ∧ σ t * ) ] ≤ E t g m [ X m ( τ ∧ σ t * ) ] ≤ E t g m [ X m ( τ t * ( m ) ∧ σ t * ( m ) ) ] = X m ( t ) (3.14)

对任意 τ 和由(3.11)与(3.12)定义的停时 τ t * ( m ) , σ t * ( m ) 成立。

在另一方面，我们有

X m ( t ) = E t g m [ X m ( τ t * ( m ) ∧ σ t * ( m ) ) ] ≤ E t g m [ X m ( τ t * ( m ) ∧ σ ) ] ≤ E t g , ϕ [ X m ( τ t * ( m ) ∧ σ ) ] (3.15)

对任意取值于 [ t , T ] 的停时 τ 成立。

在(3.15)中，我们将要证明

E t g , ϕ [ X m ( τ t * ( m ) ∧ σ ) ] ≤ E t g , ϕ [ X m ( τ t * ∧ σ ) ] (3.16)

由 τ t * ( m ) , m = 1 , 2 , ⋯ 和 τ t * 的定义，我们有

X m ( τ t * ( m ) ∧ σ ) = L ( τ t * ( m ) ) 1 ( τ t * ( m ) ≤ σ ) + X m ( σ ) 1 ( σ < τ t * (m))

和

X ( τ t * ∧ σ ) = L ( τ t * ) 1 ( τ t * ≤ σ ) + X ( σ ) 1 ( σ < τ t * )

因此由 L ( t ) 关于时间的单调性，我们得

i) 当 σ < τ t * ( m ) ≤ τ t * 时

X m ( τ t * ( m ) ∧ σ ) = X m ( σ ) = X m ( τ t * ∧ σ ) ≤ X ( τ t * ∧ σ )

ii) 当 τ t * ( m ) ≤ σ < τ t * 时

X m ( τ t * ( m ) ∧ σ ) = X m ( τ t * ( m ) ) = L m ( τ t * ( m ) ) ≤ L ( σ ) ≤ X ( σ ) = X ( τ t * ∧ σ )

iii) 当 时

X m ( τ t * ( m ) ∧ σ ) = X m ( τ t * ( m ) ) = L m ( τ t * ( m ) ) ≤ L ( τ t * ) ≤ X ( τ t * ) = X ( τ t * ∧ σ )

首先我们在(3.14)和(3.15)中取 m → ∞ 时的极限，由(3.16)和 g Γ -解的比较定理，我们有

E t g n [ X ( τ ∧ σ t * ) ] ≤ X ( t ) (3.17)

和

X ( t ) ≤ E t g , ϕ [ X ( τ t * ∧ σ ) ] (3.18)

然后，我们在(3.17)中取 n → ∞ 时的极限。由惩罚方法， g Γ -期望由一列单增的 g n -期望取极限而得，我们有

E t g , ϕ [ X ( τ ∧ σ t * ) ] ≤ X ( t ) (3.19)

把(3.18)和(3.19)放在一起，注意到

R ( τ ∧ σ t * ) = L ( τ ) 1 ( τ ≤ σ t * ) + U ( σ t * ) 1 ( σ t * < τ ) ≤ X ( τ ∧ σ t * )

和

R ( τ t * ∧ σ ) = L ( τ t * ) 1 ( τ t * ≤ σ ) + U ( σ ) 1 ( σ < τ t * ) ≤ X ( τ t * ∧ σ )

那么由 g Γ -期望的比较性质，我们知道Dynkin对策(3.9)和(3.10)有价值函数 X ( t ) 。

更进一步，我们容易看出 ( τ t * , σ t * ) 是一组鞍点，既如果我们分别在(3.18)和(3.19)令 τ = τ t * , σ = σ t * ，则有

E t g , ϕ [ R ( τ t * ∧ σ t * ) ] = E t g , ϕ [ X ( τ t * ∧ σ t * ) ] = X ( t ) (3.20)

证完。

注记 2注意到当 g ( t , x , 0 ) = 0 和 ϕ ( t , x , 0 ) = 0 时，那么 g Γ -解在 L T ∞ ( P ) 上有定义。

事实上，对任意 ξ ∈ L T ∞ ( P ) ，假设 ξ ≤ D , a . s 对某个实数 D 成立，那么 ( X ( t ) , Y ( t ) , C (t))

是满足限制条件 ϕ ( X ( t ) , Y ( t ) ) = 0 , a . s , a . e 和终端条件 X ( T ) = ξ 的g-上解，其中

X ( t ) = { D       0 ≤ t < T ; ξ             t = T .

Y ( t ) = 0 以及

C ( t ) = ( 0                 0 ≤ t < T ; D − ξ           t = T .

因此最小g-上解存在。

重庆市教育委员会科研基金KJ1400922。

吴和林. 带限制倒向随机微分方程在停时对策中的应用 Constraint BSDE for Stopping Game[J]. 应用数学进展, 2018, 07(06): 723-730. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.76087