在结构网格下，数值格式在对对流项离散时，一般会用到该界面相邻的三个节点。而在非一致网格下界面f的值不仅与相邻的节点的值有关，也与这些节点所在的位置有关。在非一致网格下，我们选取的节点为界面f的相邻的三个节点。如图1所示，U，C，D分别为f的上游，中心和下游节点，分别位于 x U , x C , x D 处。这三个节点上的值为 ϕ U , ϕ C , ϕ D ，界面f的值为 ϕ f ，位于 x f 处。在非一致网格下， ϕ f = f ( ϕ U , ϕ C , ϕ D , x U , x C , x f , x D ) ，由正则化变量定义：

ϕ ^ = ϕ − ϕ U ϕ D − ϕ U ,   x ^ = x − x U x D − x U

得到 ϕ ^ f = f ( ϕ ^ C , x ^ C , x ^ f ) 图2,图3分别为正则化前后的变量关系。通过正则化后我们看到 ϕ ^ f 的值是依赖于 ϕ ^ C , x ^ C 和 x ^ f 的值。

M. S. Darwish指出由Gaskell和Lau [ 8 ] 提出的对流有界性准则CBC是适用于非结构网格的。这个准则在正则变化的基础上指出，对于一个具有有界性的格式，满足以下条件：

{ ϕ ^ C < ϕ ^ f = f ( ϕ ^ C ) < 1 ,       0 < ϕ ^ C < 1 ϕ ^ f = ϕ ^ C ,                                           ϕ ^ C ≤ 0 ϕ ^ f = ϕ ^ C ,                                           ϕ ^ C ≥ 1 (1)

关于精度问题，Leonard [ 9 ] 提出在结构网格上利用NVF得出的格式是满足二阶或三阶精度。在[ 9 ]

图1. 非一致网格下三个相邻的节点及单元边界

图2. 正则化前的变量关系

图3. 正则化后的变量关系

中，一个格式为二阶精度的充分必要条件是其表达式过点 Q ( 0.5 , 0.75 ) ；而对于非一致网格(NVSF)的情况，所构造的格式是二阶精度的充分必要条件是其表达式过点 Q ( x ^ C , x ^ f ) 。图4为几种格式在结构网格下与非一致网格下的正则变量图。

2.3. 新格式的构造

由上面可知构造一个有界性的新格式首先要满足CBC准则，即式(1)。并且为保证构造的新格式具有二阶精度，必须通过点 ( x ^ C , x ^ f ) 。我们令

φ ^ f = a φ ^ C 3 + b φ ^ C 2 + c φ ^ C + d (2)

由上面可知此格式需满足：

图4. 利用NVSF构造的几种线性格式的正则变量图(NVD)

{ φ ^ f ( 0 ) = 0 φ ^ f ( x ^ c ) = x ^ f φ ^ f ( 1 ) = 1 (3)

我们要构造的新格式与非一致网格下的Quick [ 7 ] 格式在处 ( x ^ C , x ^ f ) 的导数相同，即

φ ^ ′ f ( x ^ c ) = x ^ f ( x ^ f − 1 ) x ^ c ( x ^ c − 1 ) (4)

将(3) (4)带入(2)式中解得

{ a = ( x ^ c − x ^ f ) 2 x ^ c 2 ( x ^ c − 1 ) 2 b = 3 x ^ c 2 x ^ f + x ^ c x ^ f − 2 x ^ c 3 − x ^ c x ^ f 2 − x ^ f 2 x ^ c 2 ( x ^ c − 1 ) 2 c = x ^ c 4 + x ^ c x ^ f 2 + x ^ c x ^ f − 3 x ^ c 2 x ^ f x ^ c 2 ( x ^ c − 1 ) 2 d = 0

最后得到一个一致网格下的新格式，如图5新格式是满足CBC准则的。

φ ^ f = ( x ^ c − x ^ f ) 2 x ^ c 2 ( x ^ c − 1 ) 2 φ ^ C 3 + 3 x ^ c 2 x ^ f + x ^ c x ^ f − 2 x ^ c 3 − x ^ c x ^ f 2 − x ^ f 2 x ^ c 2 ( x ^ c − 1 ) 2 φ ^ C 2     + x ^ c 4 + x ^ c x ^ f 2 + x ^ c x ^ f − 3 x ^ c 2 x ^ f x ^ c 2 ( x ^ c − 1 ) 2 φ ^ C

非一致网格在退化为结构网格时，点 ( x ^ C , x ^ f ) 退化为点 ( 0.5 , 0.75 ) ，则得到结构网格下的新格式为

ϕ ^ f = ϕ ^ C 3 − 5 2 ϕ ^ C 2 + 5 2 ϕ ^ C (5)

一维线性对流方程

∂ ϕ ∂ t + α ∂ ϕ ∂ x = 0 , x ∈ [ a , b ] , t > 0 (6)

给定初值 ϕ ( x , 0 ) = ϕ 0 ( x ) , α = 1 。

下面将利用非结构网格下的新格式对二维对流方程进行求解，选取Doswell [ 12 ] 模型，

表1. 格式误差与数值精度阶对比

图7. 新格式的数值解与真实解

∂ ϕ ∂ t + ∂ ( a ϕ ) ∂ x + ∂ ( b ϕ ) ∂ y = 0

此数学模型在速度场中有稳定的切向速度

ν t ( r ) = 1 ν max tanh ( r ) cosh 2 (r)

在计算的过程中，令 ，并在该场中有

a ( x , y ) = − y − x 0 r ν t ( r ) , b ( x , y ) = x − y 0 r ν t (r)

其中 ( x 0 , y 0 ) 为旋转中心， r = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 表示区域内任意一点到中心的距离，角速度定义为 ω = ν t ( r ) r 。选取计算区域为 [ 0 , 8 ] × [ 0 , 8 ] ，利用EasyMesh对计算区域进行三角形网格剖分，图8为剖分图。在这种剖分下得到14,818个单元三角形，7570个顶点，22,384条边。此模型的精确解为

ϕ ( x , y , t ) = tanh [ y − x 0 δ cos ( ω t ) − x − y 0 δ sin ( ω t ) ]

参数 δ 表示的是锋面的梯度，取 δ = 10 − 6 ，得到的数值结果如图9。(a)显示了数值解的2D图，反应了锋面生成的漩涡形状，(b)显示了数值解的3D图像。