H.S. Nan，B.L. Wang [ 2 ] 通过考虑残余表面应力对裂纹表面的影响，研究压电纳米材料的纳米级裂纹问题时，根据解决压电介质裂纹问题的方法，利用傅里叶积分变换和特征方程导出位移和势函数，通过引入满足边界条件的辅助函数，最终得到了奇异积分方程组，得到了裂纹尖端场。Jie Su，Liao-Liang Ke [ 3 ] 等首次尝试对刚性圆柱形冲头下压电半平面微动接触进行理论研究时，利用Fourier积分变换技术和叠加定理，将问题简化为一组耦合的Cauchy奇异积分方程。Zengtao Chen [ 4 ] 在研究尺寸对冲击载荷作用下压电带裂纹扭结的影响时，应用傅里叶变换和拉普拉斯变换将混合模式裂纹问题(模式I和II)减少为奇异积分方程组。Yue-Ting Zhou [ 5 ] 在研究三角形和圆柱形冲头对单斜压电材料摩擦滑动接触问题时，通过傅里叶变换将混合边值问题简化为第二类Cauchy型奇异积分方程。基于简化奇异积分方程的精确解，得到了各种表面应力和电位移的闭合表达式。钟献词 [ 6 ] 在积分变换方法求解压电带形中静止或运动的共线裂纹问题时，在电渗透裂纹和非电渗透型的裂纹假设下，利用Fourier积分变换把相应的混合边值问题转化为求解奇异积分方程。陈建 [ 7 ] 研究压电功能梯度材料层中平行于边界的动态反平面裂纹问题时，采用拉普拉斯、傅里叶积分变换和位错函数法将问题简化为Cauchy奇异积分方程，最后给出数值结果。贾洪波 [ 8 ] 在研究正交各向异性压电材料中III型裂纹对SH波的散射问题时，使用Fourier变换并引入位错密度函数，将混合边值问题转化为奇异积分方程。魏苓彦 [ 9 ] 在研究正交各向异性压电材料中III型裂纹受冲击力电载荷作用时的瞬态断裂问题，基于电可渗透裂纹模型，采用积分变换技术和数值求解奇异积分方程，最后反演得到了动态应力强度因子的表达式。B. Gu [ 10 ] 等在研究机械和电气作用下不同压电层间绝缘裂纹的瞬态响应问题时，利用拉普拉斯、傅里叶积分变换和Cauchy奇异积分方程方法，在电绝缘的边界条件下，解决了两个有限宽度的不同压电层受到机电冲击的界面裂纹面内问题。刘俊俏 [ 11 ] 用奇异积分方程方法研究SH波和压电压磁材料中周期裂纹的相互作用。根据电磁弹性材料的控制微分方程，通过傅立叶积分变换，将问题转化为Hilbert核的奇异积分方程组。李永东 [ 12 ] 在研究压电界面电极的应力强度因子时，建立了压电界面电极的力学模型，利用有限傅里叶变换方法将相应的力电耦合问题描述为奇异积分方程，并得到了界面应力及其强度因子的解析解。常志艳 [ 13 ] 在研究压电材料全平面含平行线裂纹问题时，通过引入势函数将原来获得的压电方程整理为较简单的偏微分方程组，再利用算子作用和Fourier变换等数学工具将偏微分方程转化为常微分方程求解。赵明皞 [ 14 ] 等运用广义不连续位移边界元法研究二维压电半导体材料在多场耦合环境下的断裂问题，利用傅里叶变换，给出二维压电半导体的广义不连续位移基本解。邢时超 [ 15 ] 研究了含半绝缘裂纹的压电条上、下表面在受到不同温度与电载荷作用时的断裂问题。基于压电材料的本构方程、热控制方程和边界条件，并结合Fourier变换和奇异积分公式法，获得了压电板条内温度场和应力场的解。杨昌锦，李尧臣 [ 16 ] 在进行有限厚压电层表面金属电极脱层的屈曲研究时，用Fourier积分变换，界面连续条件和上、下电极表面的边界条件将问题归为第二类Cauchy型奇异积分方程组。乐金朝 [ 17 ] 等使用Fourier积分变换，对非对称载荷作用下的Griffith裂纹问题进行了研究，利用裂纹两侧的位移和应力联结条件，将问题归结为一组带Cauchy核的奇异积分方程，通过Cauchy反演求得了问题的精确解。彭达仁 [ 18 ] 等在研究层状介质垂直界面有限裂纹问题时，运用傅里叶变换及引用

位错密度函数，导出了反映裂纹尖端奇异性的奇异积分方程组。S.Ueda [ 19 ] 研究了热电荷载作用下压电材料平行裂纹的热机电断裂行为。通过傅立叶变换，热机械问题和机电问题分别被简化为一个奇异积分方程组，并进行数值求解。S.Ueda [ 20 ] 在研究热电荷载作用下裂纹压电板的瞬态响应时，通过使用拉普拉斯变换和傅里叶变换，热机械问题和机电问题被简化为一个奇异积分方程组，并被数值求解。S.Ueda [ 21 ] 在研究压电带两个共面裂纹的热应力强度因子时，应用傅里叶变换将混合边值问题转换为奇异积分方程。S.Ueda [ 22 ] 在研究热载作用下功能梯度压电材料裂纹表面电导对强度因子的影响时，通过傅里叶变换，热机电问题分别被简化为奇异积分方程和奇异积分方程组，并进行了数值求解。S.Ueda [ 23 ] 在研究热电加载条件下压电带中两个平行裂纹之间的热机电相互作用时，通过傅里叶变换，热机械问题和机电问题分别被简化为奇异积分方程。S.Ueda & H.Hatano [ 24 ] 研究考虑了含有T形裂纹的无限压电材料的热电机械断裂问题。 通过使用傅里叶变换，热和机电问题分别被简化为一个奇异积分方程组。S.Ueda & H.Kondo [ 25 ] 在热冲击负载条件下研究了功能梯度压电材料板中的裂纹。通过使用拉普拉斯变换和傅立叶变换，热机械问题和机电问题被简化为一个奇异积分方程和一个奇异积分方程组，它们被数值求解。S.Ueda [ 26 ] 在研究功能梯度压电层的热诱导时，傅里叶变换技术用于奇异积分方程来解决问题。S.Ueda & Y.Ashida [ 27 ] 分析了功能梯度压电材料带中平行裂纹的无限行问题，在静态力学和瞬态热载荷条件下进行了分析。通过拉普拉斯变换和傅里叶变换，热机电问题被简化为一个奇异积分方程。S.Ueda & A.Lshii [ 28 ] 在研究热冲击载荷下压电材料带中两个不同长度的平行裂纹的热机电断裂行为，通过使用拉普拉斯变换和傅里叶变换，热机械问题和机电问题分别被简化为两个奇异积分方程组，并被数值求解。

以钟献词 [ 6 ] 的论文为例，我们来看一下傅里叶积分变换在压电材料中的具体运用。

考虑一高为h₂的带形压电材料,内部含有两条平行于边界表面的长为(a-c)的共线裂纹.即裂纹位于 c ≤ | x | ≤ a 上，且裂纹距上下表面的距离分别为场 h I , h I I ( h I + h I I = 2 h )如图1。

这里xoy平面为各向同性面，与之垂直的方向(即z方向)为压电介质的极化方向。当带形表面受反平面机械荷载和平面内电场作用时，压电介质内仅有非零的反平面位移分量 ω ( x , y ) 与平面内电势 ϕ ( x , y ) 在线电弹性理论框架下(忽略体力与自由电荷)，该问题的控制微分方程为

c 44 ∇ 2 ω + e 15 ∇ 2 ϕ = 0 ,     e 15 ∇ 2 ω − ε 11 ∇ 2 ϕ = 0 (3)

其中 c 44 为压电材料的弹性常数， e 15 为压电常数， 为介电常数， ∇ 2 = ∂ 2 x 2 + ∂ 2 y 2 为二维拉普拉斯算子。对一般的压电陶瓷，有 c 44 + e 15 2 ε 11 ≠ 0 ，所以，方程(3.1)可以简化为两个独立的调和方程：

∇ 2 ω = 0 , ∇ 2 ϕ = 0 (4)

一旦反平面位移分量 ω ( x , y ) 与平面内电势 ϕ ( x , y ) 被确定，反平面剪应力和平面内电位移可由下列本构方程给出：

σ x z = c 44 γ x z − e 15 E x , σ y z = c 44 γ y z − e 15 E y (5)

D x = e 15 γ x z + ε 11 E x , D y = e 15 γ y z + ε 11 E y (6)

γ x z = ∂ ω ∂ x , γ y z = ∂ ω ∂ y (7)

E x = ∂ φ ∂ x , D y = e 15 γ y z + ε 11 E y (8)

图1. 内含两共线裂纹的带形压电材料

基于Dunn，Zhang和Tong的精确分析，电渗透型裂纹面上边界条件为：

(9)

D y I ( x , 0 + ) = D y I I ( x , 0 − ) c < | x | < a , (10)

σ y z I ( x , 0 + ) = σ y z I I ( x , 0 − ) = 0 c < | x | < a . (11)

而在y = 0面上的其他部分电弹性场为连续的，即：

φ I ( x , 0 + ) = φ I I ( x , 0 − ) | x | < c , | x | > a (12)

D y I ( x , 0 + ) = D y I I ( x , 0 − ) | x | < c , | x | > a (13)

σ y z I ( x , 0 + ) = σ y z I I ( x , 0 − ) | x | < c , | x | > a (14)

ω I ( x , 0 + ) = ω I I ( x , 0 − ) | x | < c , | x | > a (15)

其中上标I和II分别表示 0 < y < h I 和 − h I I < y < 0 区域内对应的量。

当压电介质在边界表面上受反平面剪应力和平面内电场作用时，即：

σ y z I ( x , h I ) = σ y z I I ( x , − h I I ) = σ 0 , − ∞ < x < + ∞ , E y I ( x , h I ) = E y I I ( x , − h I I ) = E 0 , − ∞ < x < + ∞ . (16)

求解方法

从断裂力学的观点来看，感兴趣的是裂纹尖端的电弹性场。因此，在以后的解答中我们将着眼于解决裂纹尖端的奇异场，并给出相应的强度因子计算式和能量释放率。首先我们求出调和方程(4)的一般解。其次对所求问题予以讨论(由于对称性，只考虑压电介质的右半部分)。

由所考虑的间题关于y轴具有对称性，采用Fourier余弦变换及导数的Fourier变换定理，得：

∫ 0 ∞ ( ∇ 2 ω ) cos ( ξ x ) d x = ( d 2 d y 2 − ξ 2 ) ω ¯ ( ξ , y ) (17)

其中 是位移分量 ω ( x , y ) 的Fourier余弦变换，并且有反演公式：

ω ( x , y ) = 2 π ∫ 0 ∞ ω ¯ ( ξ , y ) cos ( ξ x ) d ξ (18)

由方程 ∇ 2 ω = 0 可得：

ω ¯ ( ξ , y ) = A ( ξ ) exp ( − ξ y ) + B ( ξ ) exp ( ξ y ) (19)

同时，为了使得 ω ( x , y ) 满足边界条件，取：

ω ( x , y ) = 2 π ∫ 0 ∞ [ A ( ξ ) exp ( − ξ y ) + B ( ξ ) exp ( ξ y ) ] cos ( ξ x ) d ξ + A 0 y (20)

同样的方法，可得：

φ ( x , y ) = 2 π ∫ 0 ∞ [ C ( ξ ) exp ( − ξ y ) + D ( ξ ) exp ( ξ y ) ] cos ( ξ x ) d ξ + C 0 y (21)

并且有应力，电位移可按下列关系表示

σ y z ( x , y ) = 2 c 44 π ∫ 0 ∞ ( − ξ ) [ A ( ξ ) exp ( − ξ y ) − B ( ξ ) exp ( ξ y ) ] cos ( ξ x ) d ξ + A 0 c 44 + C 0 e 15     + 2 e 15 π ∫ 0 ∞ ( − ξ ) [ C ( ξ ) exp ( − ξ y ) − D ( ξ ) exp ( ξ y ) ] cos ( ξ x ) d ξ , (22)

D y ( x , y ) = 2 e 15 π ∫ 0 ∞ ( − ξ ) [ A ( ξ ) exp ( − ξ y ) − B ( ξ ) exp ( ξ y ) ] cos ( ξ x ) d ξ + A 0 e 15 − C 0 ε 11     − 2 ε 11 π ∫ 0 ∞ ( − ξ ) [ C ( ξ ) exp ( − ξ y ) − D ( ξ ) exp ( ξ y ) ] cos ( ξ x ) d ξ , (23)

由边界条件及一系列代数运算，该问题可被化简为(具体过程可见论文原文)

4 π ∫ c a Δ ω ′ 1 ( t ) d t ∫ 0 ∞ tanh ( h I ξ ) tanh ( h I I ξ ) tanh ( h I ξ ) + tanh ( h I I ξ ) cos ( x ξ ) sin ( t ξ ) d ξ = − σ 0 c 44 c < x < a (24)

进一步，由已知公式

2 π ∫ 0 ∞ cos ( x ξ ) sin ( t ξ ) d ξ = 1 π ( 1 t + x + 1 t − x )

方程可被化为求解下列奇异积分方程：

2 π ∫ c a Δ ω ′ 1 ( t ) t − x d t + 2 π ∫ c a Δ ω ′ 1 ( t ) k ( 1 ) ( t , x , h I , h I I ) d t = − τ ( 1 ) c 44 (25)

其中 τ ( 1 ) = σ 0 ，且

k ( 1 ) ( t , x , h I , h I I ) = ∫ 0 ∞ 2 [ tanh ( h I ξ ) tanh ( h I I ξ ) tanh ( h I ξ ) + tanh ( h I I ξ ) − 1 ] cos ( x ξ ) sin ( t ξ ) d ξ + 1 t + x

以上就是利用Fourier积分变换把相应的混合边值问题转化为求解奇异积分方程的过程。

Keqiang Hu [ 29 ] 等研究Dugdale型裂纹沿着两种不同的压电材料的界面移动的问题时，应用傅里叶变换将裂纹的混合边值问题转化为对偶积分方程，得到了精确求解。Yi-Ze Wang [ 30 ] 在讨论残余极化和周围介质中麦克斯韦应力对两种不同压电材料之间的反平面界面裂纹的影响时，通过傅里叶变换和它的逆变换，它被转化成两对双积分方程。推导了应力强度因子和电位移的闭合解。Jeong Woo Shin [ 31 ] 采用积分变换方法，分析了两种不同功能梯度压电材料界面裂纹在反平面剪切冲击载荷作用下的瞬态响应，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将问题简化为两组对偶积分方程，然后将其表示为第二类的Fredholm积分方程。R. Bagheri [ 32 ] 等在研究功能梯度压电条中多个运动裂纹的解析解时，利用复数傅里叶变换获得了变换的位移和应力场。马旭 [ 33 ] 通过对裂纹的无限长功能梯度/压电材料层合的SH波散射问题的研究，用Fourier积分变换把混合边值问题的求解转化为对偶积分方程，然后利用Copson方法将得到的对偶积分方程转化为Fredholm积分方程再进行数值求解。郭玉彬 [ 34 ] 在忽略界面上裂纹尖端裂纹面相互叠入的前提下，讨论了功能梯度材料与压电材料拼接界面上的反平面运动裂纹问题。通过Fourier积分变换，将混合边值问题转化为对偶积分方程，并利用Copson-Sih方法将对偶积分方程转化为第二类Fredholm积分方程进行求解，给出了反平面位移、电势及应力分量的解析表达式。杜勇峰、王建国 [ 35 ] 采用Schmidt方法研究条形压电材料和弹性材料的界面III型裂纹问题，主要探讨条形压电材料和弹性材料受反平面剪应力和平面电位移作用的情形；通过Fourier积分变换和界面裂纹位移差的车贝雪夫多项式假设，并利用Schmidt方法得到数值解。边文凤 [ 36 ] 在研究压电材料I型裂纹动态问题的对偶方程组及其求解的情况时，采用Laplace变换、半无限对称Fourier 正弦变换和Fourier余弦变换，对用势函数表示的压电材料基本微分方程进行变换和初步求解；然后通过Fourier反演和引入边界条件，建立了二维压电材料动态裂纹问题的对偶方程组，曾云 [ 37 ] 用含有电场梯度效应的电弹性体理论分析了压电体中的反平面裂纹问题。利用Fourier积分变换方法，将相应的复合边值问题转化为对偶积分方程组。求解这些方程组，获得了裂纹尖端的强度因子和能量释放率。刘海涛 [ 38 ] 在研究压电材料中矩形裂纹材料的三维断裂问题时，通过二维Fourier变换技术将此类问题的求解转化为三对以矩形裂纹上下面的位移间断函数为未知变量的对偶积分方程，并采用Schmidt方法进行数值求解。胡克强 [ 39 ] 在研究矩形压电体中反平面裂纹的电弹性场的问题时，利用Fourier积分变换和Fourier正弦级数将电绝缘型裂纹问题化为对偶积分方程，并进一步归结为易于求解的第二类Fredholm积分方程。哈元军 [ 40 ] 在讨论无限长功能梯度压电板中双裂纹尖端热响应分析时，用Fourier积分变换把混合边值问题转化为以裂纹面上位移为未知量的对偶积分方程，利用Schmidt方法对其求解。杨娟 [ 41 ] 利用积分变换及奇异积分方程技术研究电磁复合材料底层处裂纹对SH波散射问题。假定裂纹面的边界条件为电渗透性，通过Fourier余弦变化将问题转化为对偶积分方程，并利用Copson方法将对偶积分方程转化为第二类Fredholm积分方程。冯文杰 [ 42 ] 等在研究加层压电条界面裂纹的稳态扩展时，应用Fourier积分变换将问题化为以第二类Fredholm积分方程表示的对偶积分方程，导出了相应的动应力强度因子表达式。陆万顺 [ 43 ] 等分析了功能梯度压电材料中裂纹尖端的热应力，针对考虑的问题，通过Fourier积分变换把混合边值问题的求解转化为裂纹面上位移间断为未知量的对偶积分方程，然后利用Schmidt方法来求解。胡克强 [ 44 ] 等基于三维弹性理论和压电理论，研究了功能梯度压电板条中的电渗透型运动裂纹问题。利用Fourier积分变换方法，将混合边值问题化为对偶积分方程，并进一步归结为易于数值求解的第二类Fredholm积分方程。曾云 [ 45 ] 等用含有电场梯度效应的电弹性体理论分析了压电体中的III型裂纹问题，利用傅里叶积分变换方法，将相应的混合边值问题转化为对偶积分方程组，求解这些方程组，得到了裂纹尖端处的电场强度因子。