李丹丹，银山^*

内蒙古工业大学理学院，内蒙古 呼和浩特

收稿日期：2018年5月1日；录用日期：2018年5月18日；发布日期：2018年5月25日

对偏微分方程的(初)边值问题，目前的大多数求解方法基于其部分(初)边界条件。那么这样得到的解能否满足所有边界条件呢？为此，我们基于Adomian分解法，求解三角形地下水域上补给效应模型的Dirichlet边值问题。我们发现：1) 求出的解有时满足所有边界条件，有时不满足；2) 满足部分边界条件的解不是唯一；3) Adomian分解法得到的解是满足部分边界条件的某一个特解。

关键词 :偏微分方程，Dirichlet边值问题，Adomian分解法

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求解偏微分方程精确解的方法有很多，如双线性导数法 [ 1 ] [ 2 ] ，齐次平衡法 [ 3 ] ，辅助方程法 [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] ，Lie对称 [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] ，达布变换 [ 10 ] ，tanh函数法 [ 11 ] ，G展开法 [ 12 ] 等等。但这些方法很难应用于偏微分方程的(初)边值问题。对偏微分方程(初)边值问题，近期人们提出并发展了很多方法，如摄动法 [ 13 ] ，Adomian分解法 [ 14 ] 、同伦摄动法 [ 15 ] [ 16 ] 、同伦分析法 [ 17 ] 等等。而这些求解偏微分方程的边值问题的方法，求解过程中主要依赖部分边界条件，不是所有边界条件。那么，基于部分边界条件能否得到满足所有边界条件的解呢？即满足部分边界条件的解是否唯一呢？针对该问题，我们基于Adomian分解考虑三角形地下水域上的补给效应模型。

Adomian分解法是美国数学物理学家Georgie Adomian [ 18 ] [ 19 ] 提出的一种分解法。该方法克服了传统摄动方法对小参数的依赖性，并且具有很好的收敛性和易计算性。对偏微分方程的(初)边值问题，传统的Adomian分解法只基于部分边界条件，不是所有边界条件(见文 [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] )。Serrano [ 24 ] [ 25 ] 等人研究地下水流补给效应模型。地下水流模型控制微分方程为：

∂ 2 h ∂ x 2 + ∂ 2 h ∂ y 2 = − R g T , 0 ≤ x ≤ 600 , x ≤ y ≤ 600 − x (1.1)

其中 T = 100 m 2 /month , R g = 10 mm/month ，假设附加的边界条件为

h ( x , x ) = f 1 ( x ) , (1.2)

h ( x , 600 − x ) = f 2 ( x ) , (1.3)

h ( x , 0 ) = f 3 ( x ) . (1.4)

其中

f 1 ( x ) = 100 + 2 x 125 − x 2 50000 , (1.5)

f 2 ( x ) = 448 5 + 103 x 1500 − x 2 12500 , (1.6)

f 3 ( x ) = 100 + 17 x 3750 − x 2 500000 (1.7)

为了方便令其中 L x = ∂ 2 ∂ x 2 , L y = ∂ 2 ∂ y 2 则方程(1.1)可改写为

L x h ( x , y ) + L y h ( x , y ) = − R g T (1.8)

根据Adomian算法 [ 23 ] ，把逆算子

L 1 − 1 = ∫ y x ∫ y x ⋅ d x d x − x − y 600 − 2 y ∫ y 600 − y ∫ y x ⋅ d x d x

作用于方程(1.8)两边，并考虑边界条件(1.2)，(1.3)可得

∑ n = 0 ∞ h n = ( 1 − x − y 600 − 2 y ) f 1 ( y ) + x − y 600 − 2 y f 2 ( 600 − y ) − L 1 − 1 R g T − L 1 − 1 L y ∑ n = 0 ∞ h n (2.1)

由上式构造迭代公式

h 0 ( x , y ) = ( 1 − x − y 600 − 2 y ) f 1 ( y ) + x − y 600 − 2 y f 2 ( 600 − y ) − L x − 1 r g t ,

h n ( x , y ) = − L x − 1 L y h n − 1 (2.2)

从迭代公式(2.2)，我们得到

h 0 ( x , y ) = 100 − x 2 20000 + x ( 1 30 + 3 y 100000 ) − 13 y 750 , h n = 0 , ( n ≥ 1 )

由此得到方程(1.1)的满足边界条件(1.2)和(1.3)的精确解：

H 1 ( x , y ) = 100 − x 2 20000 + x ( 1 30 + 3 y 100000 ) − 13 y 750 (2.3)

经验证 H 1 ( x , y ) 不满足边界条件(1.4)。

将逆算子

L 2 − 1 = ∫ 0 y ∫ 0 y ⋅ d y d y − y 600 − x ∫ 0 600 − x ∫ 0 y ⋅ d y d y

作用于方程(1.8)两侧，考虑边界条件(1.3)和(1.4)，可得

∑ n = 0 ∞ h n = ( 1 − y 600 − x ) f 3 ( x ) + y 600 − x f 2 ( x ) − L 2 − 1 R g T − L 2 − 1 L x ∑ n = 0 ∞ h n , (3.1)

从上式，我们构造迭代公式：

h 0 ( x , y ) = ( 1 − y 600 − x ) f 3 ( x ) + y 600 − x f 2 ( x ) − L y − 1 r g t ,

h n ( x , y ) = − L y − 1 L x h n − 1 (3.2)

从(3.2)，我们得到

h 0 ( x , y ) = − 3 x 2 + x ( 6800 + 42 y ) + 25 ( 6000000 + 760 y − 3 y 2 ) 1500000 (3.3)

h 1 ( x , y ) = y ( − 600 + x + y ) 500000 (3.4)

h n ( x , y ) = 0 , ( n ≥ 2 ) (3.5)

由此得到方程满足边界条件(1.3)和(1.4)的精确解:

H 2 ( x , y ) = − 3 x 2 + 5 x ( 1360 + 9 y ) + 8 ( 18750000 + 2150 y − 9 y 2 ) 1500000 (3.6)

通过验证发现 H 2 ( x , y ) 满足所有边界条件。

从上述求解结果可以发现: 基于(1.2)，(1.3)用Adomian算法求出的解(2.3)只满足边界条件(1.2)，(1.3)，不满足(1.4)；而基于(1.3)，(1.4)的Adomian解满足所有边界条件(1.2)~(1.3)。这说明，利用部分边界条件求出的解有时满足所有的边界条件，有时只满足部分边界条件，不是所有边界条件。Adomian解(2.3)和(3.6)都满足边界条件(1.2)与(1.3)，从而得知满足偏微分方程部分边界条件的解不是唯一，是多样的。并且说明了有Adomian分解法得到的解是满足部分边界条件的某一个特解。

感谢银山老师的支持与帮助。

内蒙古自治区项目(2016MS0109)，内蒙古自治区高等学校科研研究项目(NJZY094)，内蒙古工业大学重点项目(ZD201515)。

李丹丹,银 山. 偏微分方程的满足部分边界条件的解的多样性 The Diversity of Solutions Satisfied Partial Boundary Conditions for a Partial Differential Equation[J]. 应用数学进展, 2018, 07(05): 617-621. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.75073