于海燕，王秀芳，李刚

青岛大学，数学与统计学院，山东 青岛

收稿日期：2018年4月30日；录用日期：2018年5月16日；发布日期：2018年5月25日

在本文中，针对一维双曲守恒律方程，我们基于微分变换策略提出了一种高阶全离散间断Galerkin方法。与传统间断Galerkin方法相比较，该方法的主要特点为存储量较小，在时间上能够到达任意高阶精度。与ADER方法相比较，避免了复杂的Cauchy-Kowalewski步骤，同时程序编写简单。数值结果表明该方法具有高阶精度，针对间断解保持高分辨率。

关键词 :双曲守恒律，间断Galerkin方法，微分变换，高阶精度，全离散

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在本文中，考虑双曲守恒律

{ u t + f ( u ) x = 0 u ( x , 0 ) = u 0 (x)

的高阶数值方法。间断Galerkin (DG)方法作为一种高阶方法首先由Reed和Hill [ 1 ] 于1973年在求解中子输运问题时提出。上个世纪90年代，Cockburn，Chi-Wang Shu等人 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 提出了基于Runge-Kutta时间离散方法的Runge-Kutta DG (RKDG)方法，并将该方法成功应用于双曲守恒律方程。DG方法使用分段间断多项式空间作为试探和检验函数空间，并结合了有限元方法和有限体积格式的优点，特别易于处理复杂边界和边值问题，拥有灵活处理间断的能力，同时又适合自适应算法与并行策略，因此在计算流体力学领域得到了广泛应用 [ 6 ] - [ 17 ] 。关于DG方法的历史回顾与最新进展见文献 [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] 。传统的RKDG方法为显格式，其优点在于每个时间步长计算中不需要求解大规模线性代数方程组。但是，传统RKDG方法作为一种高精度方法，由于中间步的存在，导致存储量较高。此外，RKDG方法因为使用Gauss数值求积，所以计算成本非常高。

近年来以ADER方法 [ 21 ] 为代表的时–空任意高阶方法取得了长足进步。ADER方法是一类基于有限体积积分的具有高阶精度的数值方法。在ADER方法框架内，在间断面处对时间进行Taylor展开，人们通常使用Cauchu-Kowalewski步骤(又称为Lax-Wendroff步骤) [ 22 ] 将时间导数项转换为时间导数项，然后分别求解由展开式中的各个部分所构造的黎曼问题。但是Cauchu-Kowalewski步骤非常复杂，计算成本较高，同时编程复杂。

在本文中，针对双曲守恒律基于微分变换策略提出了高阶全离散DG方法。该DG方法是单步、显式的和全离散的，从而避免了存储量过高的缺点。此外微分变换策略较之Cauchu-Kowalewski过程更加简洁，程序编写简单。更进一步，因为数值解关于时间、空间皆表示为多项式，故可以使用精确积分，从而避免了计算成本较高的Gauss积分，节约了计算成本，因此更加适应实际问题的需求。

基于微分方程本身以得到方程解的时–空Taylor级数系数的递推关系，这种策略被称为微分变换(differential transformation) [ 23 ] 。与ADER方法中所用到的Cauchy-Kowalewski (C-K)技巧或者Lax-Wendforr技巧相比较，微分变换策略显得更简单，程序编写更加简洁。但是，并非所有方程都能够使用微分变换策略。目前，可以确定的是针对浅水波方程、欧拉方程可以使用微分变换策略 [ 24 ] 。

以一维Burgers方程的初值问题

{ q t + ( 1 2 q 2 ) x = 0 q ( x , 0 ) = q 0 (x)

为例解释如何借助微分变换策略求解微分方程。

记Burgers方程为

q t + f ( q ) x = 0 (1)

其中 f ( q ) = 1 2 q 2 : = f ( x , t ) 为流通量。首先得到 Q ( k , 0 ) ，即把初始条件表示为 q ( x , 0 ) = ∑ 0 ∞ Q ( k , 0 ) ( x − x j ) k 。然后，我们把未知函数 q ( x , t ) 以及流通量 f ( x , t ) 都展成时–空Taylor级数

q ( x , t ) = ∑ k = 0 ∞ ∑ h = 0 ∞   Q ( k , h ) ( x − x j ) k ( t − t n ) h ,

f ( x , t ) = ∑ k = 0 ∞ ∑ h = 0 ∞   F ( k , h ) ( x − x j ) k ( t − t n ) h , (2)

其中 F ( k , h ) = 1 2 ∑ r = 0 h ∑ s = 0 h Q ( r , s ) Q ( k − r , h − s ) 。

将(2)中两个等式代入方程(1)，得到

∑ k = 0 ∞ ∑ h = 0 ∞   h Q ( k , h ) ( x − x j ) k ( t − t n ) h − 1 = − ∑ k = 1 ∝ ∑ h = 0 ∝   k F ( k , h ) ( x − x j ) k − 1 ( t − t n ) h

调整下求和符号中的下标，得到

∑ k = 0 ∞ ∑ h = 0 ∞ ( h + 1 ) Q ( k , h + 1 ) ( x − x j ) k ( t − t n ) h = − ∑ k = 0 ∞ ∑ h = 0 ∞ ( k + 1 ) F ( k + 1 , h ) ( x − x j ) k ( t − t n ) h

比较上式两端，得到如下递推关系

Q ( k , k + 1 ) = − k + 1 h + 1 F ( k + 1 , h ) (3)

借助于已有的 Q ( k , 0 ) ，并利用递推公式(3)，可以得到解 q ( x , t ) 的时–空Taylor级数展开式。

针对方程组，可以逐方程地借助微分变换策略来求解微分方程。

考虑非线性双曲守恒律方程

U t + F ( U ) x = 0 (4)

首先将方程(4)两端同乘以检验函数 v ( x ) ∈ v h k ，并在时–空单元 I j = [ x j − 1 2 , x j + 1 2 ] × [ t n , t n + 1 ] 上积分，然后利用分部积分得到：

∫ I j U n + 1 v d x d t − ∫ I j U n v d x d t + ∫ t n t n + 1 F ( U ( x j + 1 2 , t ) ) d t ⋅ v ( x j + 1 2 − )   − ∫ t n t n + 1 F ( U ( x j − 1 2 , t ) ) d t ⋅ v ( x j − 1 2 + ) − ∬ I j F ( U ) v x d x d t = 0

对于积分 ∫ t n t n + 1 F ( U ( x j + 1 2 , t ) ) d t = ∫ t n t n + 1 F ( x j + 1 2 , t ) d t ，采用简单的Lax-Friedrichs数值流通量来逼近，即

F ^ j + 1 2 = 1 2 ∫ t n t n + 1 [ F ( x j + 1 2 − , t ) + F ( x j + 1 2 + , t ) − α ( U ( x j + 1 2 + , t ) − U ( x j + 1 2 − , t ) ) ] d t

这里 α = max | λ ( U ) | ，其中 λ ( U ) 为雅克比矩阵 F '   ( U ) 的特征值，并且最大值是在整个计算区域来取。

最后，得到全离散DG方法：对于 ∀ v ( x ) ∈ V h k ， U h ∈ V h k 满足

∫ I j U h n + 1 v d x d t − ∫ I j U h n v d x d t + F ^ j + 1 2 ⋅ v ( x j + 1 2 − ) − F ^ j − 1 2 ⋅ v ( x j − 1 2 + ) − ∬ I j F h v x d x d t = 0

由于 U h ， F n 均表示为关于x，t的多项式，所以对于积分采用精确积分，从而避免了计算成本较高的Gauss积分。

在本节中，通过数值实验来展示所提出的DG方法的良好性能。针对所有数值算例，我们分别将时间与空间取为二次多项式与四次多项式(即分别取 K = H = 2 ，此时取 CFL = 0.18 。或者 K = H = 4 ，同时取 CFL = 0.1 )作为基函数。重力常数g取为9.812。

在本文中，基于微分变换策略提出了一种高阶全离散间断Galerkin方法。该方法的存储量较小，程序编写简单。针对单个方程以及方程组，开展了广泛数值实验。数值结果表明该方法针对光滑问题具有高阶精度，同时针对间断解拥有高分辨率。

本研究得到国家自然科学基金项目(11771228)的资助。

于海燕,王秀芳,李 刚. 基于微分变换策略的全离散间断Galerkin方法 High Order Discontinuous Galerkin Methods with Differential Transform Strategy[J]. 应用数学进展, 2018, 07(05): 574-583. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.75068