苏新晓^*，戴丽娜，林全文

广东石油化工学院理学院数学系，广东 茂名

收稿日期：2018年4月19日；录用日期：2018年5月3日；发布日期：2018年5月10日

利用Riccati-变换技巧，对二阶非线性微分方程 ( r ( t ) x ′ ( t ) ) ′ + p ( t ) x ′ ( t ) + q ( t ) f ( x ( t ) ) = 0 作进一步的研究，给出了一些新的振动准则。

关键词 :广义Riccati变换，非线性，微分方程，振动准则

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考虑二阶非线性阻尼微分方程

( r ( t ) x ′ ( t ) ) ′ + p ( t ) x ′ ( t ) + q ( t ) f ( x ( t ) ) = 0 (E)

其中 r , p , q ∈ C ( [ t 0 , ∞ ) ) ， r ( t ) > 0 ， t ≥ t 0 。 f ∈ C ( ℜ ) ， x f ( x ) > 0 ， f ′ ( x ) ≥ 0 ， x ≠ 0 。

本文仅限于研究定义在 [ t 0 , ∞ ) 上方程(E)存在的解。方程(E)的解称为振动的，如果它有任意大的零点；否则称它为非振动的。

方程(E)称为强次线性，如果

0 < ∫ 0 + ε d v f ( v ) ,     ∫ 0 − − ε d v f ( v ) < ∞ ,     ∀ ε > 0 (1.1)

称为强超线性，如果

0 < ∫ ε ∞ d v f ( v ) ,     ∫ − ε − ∞ d v f ( v ) < ∞ ,     ∀ ε > 0 (1.2)

近几年来，二阶微分方程振动理论及其应用受到很大的关注，出现大量的研究论文和专著，请参考文 [ 1 ] - [ 6 ] 。特别许多学者对方程(E)的解的振动性给出了一些有效的振动准则，其中，Rgovchenko [ 5 ] 虽然对方程(E)建立了解的振动准则，但是文中对函数f作了严格的要求，即要求函数f满足条件

f ′ ( x ) ≥ k > 0

使得结果不能用于方程 x ″ ( t ) + q ( t ) | x ( t ) | α sgn x ( t ) = 0 ,   α > 0 。从而限制了它的适用范围。文 [ 6 ] 和文 [ 7 ] 建立了方程(E)新的振动准则，推广和改善了文 [ 5 ] 的结果。

本文目的同样在不要求 f ′ ( x ) ≥ k > 0 的条件下，建立方程(E)新的振动准则，利用不同的Riccati变换改善了文 [ 6 ] [ 7 ] 的结果，我们的结果推广和改善文 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] 相应结果，并以例子说明我们得到的结果的重要性，进一步说明了文 [ 6 ] [ 7 ] 的结果不能用于本文所给例子。

定义函数

F 1 ( x ) = { ∫ 0 + x d v f ( v ) ,     x > 0 ∫ 0 − x d v f ( v ) ,     x < 0 (2.1)

F 2 ( x ) = { ∫ x ∞ d v f ( v ) ,     x > 0 ; ∫ x − ∞ d v f ( v ) ,     x < 0. (2.2)

考虑集合 D = { ( t , s ) | t ≥ s ≥ t 0 } 。函数 H ∈ C ( D , R ) 称为属于X，记为 H ∈ X ，如果

(A₁) H ( t , t ) = 0 ,   t ≥ t 0 ,     H ( t , s ) > 0 ,   ( t , s ) ∈ D ;

(A₂) ∂ H ∂ s ( t , t ) = 0 ,   t ≥ t 0 ;     ∂ H ∂ s ( t , s ) ≤ 0 ,   ( t , s ) ∈ D ;

使用一些记号定义函数， ρ ∈ C 1 ( [ t 0 , ∞ ) , ( 0 , ∞ ) ) ，令

P ( t ) = 1 r ( t ) ( ρ ( t ) p ( t ) + ρ ( t ) r ′ ( t ) − ρ ′ ( t ) r (t) )

定理2.1：设函数f满足(1.1)式， H ∈ X ，若存在正函数 ρ ∈ C 1 ( [ t 0 , ∞ ) , ( 0 , ∞ ) ) ，满足

P ( t ) ≥ 0 ,     P ′ ( t ) ≤ 0 ,     t ≥ t 0 (2.3)

且

lim sup t → ∞ 1 H ( t , t 0 ) ∫ t 0 t H ( t , s ) ρ ( s ) q ( s ) r ( s ) d s = ∞ (2.4)

则方程(E)振动。

证设方程(E)有一个非振动解 x ( t ) ，不妨设 x ( t ) > 0 ，考虑广义Riccati变换

w ( t ) = ρ ( t ) x ′ ( t ) f ( x ( t ) ) (2.5)

(2.5)式对t进行求导，并由(E)式，知

w ′ ( t ) = ( ρ ( t ) r ( t ) ) ′ r ( t ) x ′ ( t ) f ( x ( t ) ) + ρ ( t ) r ( t ) ( r ( t ) x ′ ( t ) f ( x ( t ) ) ) ′ = ρ ′ ( t ) r ( t ) r ( t ) x ′ ( t ) f ( x ( t ) ) − ρ ( t ) r ′ ( t ) r ( t ) x ′ ( t ) f ( x ( t ) ) + ρ ( t ) r ( t ) ( r ( t ) x ′ ( t ) ) ′ f ( x ( t ) ) − ρ ( t ) ( x ′ ( t ) ) 2 f ′ ( x ( t ) ) f 2 ( x ( t ) ) = − ρ ( t ) q ( t ) r ( t ) − 1 r ( t ) ( ρ ( t ) p ( t ) + ρ ( t ) r ′ ( t ) − ρ ′ ( t ) r ( t ) ) x ′ ( t ) f ( x ( t ) ) − ρ ( t ) ( x ′ ( t ) ) 2 f ′ ( x ( t ) ) f 2 ( x ( t ) ) ≤ − ρ ( t ) q ( t ) r ( t ) − 1 r ( t ) ( ρ ( t ) p ( t ) + ρ ( t ) r ′ ( t ) − ρ ′ ( t ) r ( t ) ) x ′ ( t ) f ( x ( t ) ) = − ρ ( t ) q ( t ) r ( t ) − P ( t ) x ′ ( t ) f ( x ( t ) ) (2.6)

不等式(2.6)两边同时乘以 H ( t , s ) ，并对此从t₀到t对s进行积分，得

∫ t 0 t H ( t , s ) ρ ( s ) q ( s ) r ( s ) d s ≤ − ∫ t 0 t H ( t , s ) w ′ ( s ) d s − ∫ t 0 t H ( t , s ) P ( s ) x ′ ( s ) f ( x ( t ) ) d s (2.7)

利用条件(A₂)，有

− ∫ t 0 t H ( t , s ) w ′ ( s ) d s = H ( t , t 0 ) w ( t 0 ) + ∫ t 0 t ∂ H ∂ s ( t , s ) w ( s ) d s ≤ H ( t , t 0 ) w ( t 0 ) (2.8)

由条件(2.3)和积分中值定理知，对任意固定的 s ≥ t 0 ，存在 ζ ∈ [ t 0 , s ] ，使得

− ∫ t 0 s P ( v ) x ′ ( v ) f ( x ( v ) ) d v = − P ( t 0 ) ∫ t 0 ζ x ′ ( v ) f ( x ( v ) ) d v = P ( t 0 ) ∫ x ( ζ ) x ( t 0 ) d τ f ( τ ) (2.9)

由(2.1)知，当 x > 0 时，有

∫ x ( ζ ) x ( t 0 ) d τ f ( τ ) < { 0 ,                                   当 x ( ζ ) > x ( t 0 ) , ∫ 0 + x ( t 0 ) d τ f ( τ ) ,       当 x ( ζ ) ≤ x ( t 0 ) ,

注意(2.1)式，于是(2.9)式可改成

− ∫ t 0 s P ( v ) x ′ ( v ) f ( x ( v ) ) d v = P ( t 0 ) ∫ x ( ζ ) x ( t 0 ) d τ f ( τ ) ≤ P ( t 0 ) F 1 ( x ( t 0 ) ) ≡ L 1 ,     ∀ s ≥ t 0 (2.10)

利用(2.10)式，得到

− ∫ t 0 t H ( t , s ) P ( s ) x ′ ( s ) f ( x ( t ) ) d s = ∫ t 0 t H ( t , s ) d ( − ∫ t 0 s P ( v ) x ′ ( v ) f ( x ( v ) ) d v ) = − ∫ t 0 t ∂ H ∂ s ( t , s ) ( − ∫ t 0 s P ( v ) x ′ ( v ) f ( x ( v ) ) d v ) d s ≤ L 1 ( − ∫ t 0 t ∂ H ∂ s ( t , s ) d s ) = L 1 H ( t , t 0 ) (2.11)

联合(2.7)，(2.8)和(2.11)时，得到

∫ t 0 t H ( t , s ) ρ ( s ) q ( s ) r ( s ) d s ≤ ( w ( t 0 ) + L 1 ) H ( t , t 0 ) = L H ( t , t 0 )

因此

lim sup t → ∞ 1 H ( t , t 0 ) ∫ t 0 t H ( t , s ) ρ ( s ) q ( s ) r ( s ) d s ≤ L

上式与条件(2.4)矛盾，同理 x ( t ) < 0 时也成立，定理2.1证毕。

定理2.2设函数 满足(1.2)式， H ∈ X ，若存在正函数 ，满足

且条件(2.4)成立，则方程(E)振动。

证设方程(E)有一个非振动解 ，如同定理2.1的证明一样，我们有(2.7)和(2.8)式对 成立。

由条件(2.12)和积分中值定理，对任意固定的 ，存在 ，使得

由(2.2)知，当 时

注意到(2.2)式，于是(2.13)式可改成

利用(2.14)式，得到

此时，(2.7)式成为

因此，

上式与条件(2.4)矛盾，同理当 时结论也成立，定理2.2证毕。

推论2.1：当 时， 。若存在正函数 ，满足条件(2.12)和(2.4)式，则方程(E)振动。

证设方程(E)有一个非振动解 ，不妨设 ，定义函数

(2.15)式对t进行求导，并由(E)式，得

不等式(2.16)两边同时乘以 ，并对此从t₀到t对s进行积分，因此

利用条件(A₂)，有

由条件(2.12)和积分中值定理知，对任意固定的 ，存在 ，使得

利用(2.19)式，得到

联合(2.17)，(2.18)和(2.20)，有

因此

上式与条件(2,4)矛盾，同理当 时结论也成立，证毕。

注1：在方程(E)中取 。若存在正函数 使得满足 ，且条件(2.4)成立，则方程(E)成立。

注2：当 时，推论2.1推广和改善了文献 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] 的相应结果。

例考虑二阶阻尼微分方程

其中，我们取 。且取 ，则对任意 ，我们有

且有

因此，

显然，方程(E₁)满足条件(2.12)和(2.4)，故由推论2.1知方程(E₁)振动。但是，文献 [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] 中的振动准则都不能应用于方程(E₁)。

国家自然科学基金(11271380)、茂名市科技局软科学项目(20140340; 2015038)。

苏新晓,戴丽娜,林全文. 二阶非线性微分方程的振动准则 Oscillate Criterion for Second-Order Nonlinear Differential Equations[J]. 理论数学, 2018, 08(03): 208-214. https://doi.org/10.12677/PM.2018.83026