李海燕，郭锦

海南大学信息科学技术学院，海南 海口

收稿日期：2018年4月11日；录用日期：2018年4月21日；发布日期：2018年4月28日

设 π = ( d 1 , d 2 , ⋯ , d n ) 是非负整数序列， π 1 , π 2 是将 π 的所有元素划分为两部分后的两个子序列。如果 − 1 ≤ | π 1 | − | π 2 | ≤ 1 ，则称 π 1 , π 2 是 π 的一个平衡二部划分，其中 | π i | ( i = 1 , 2 ) 表示 π i 中的元素数目。设k和m是两个正整数， π = ( k m , ( k − 1 ) m ) 是双正则可图序列。本文确定了 ψ m a x ( π ) 的值和 ψ m i n ( π ) 的值。

关键词 :图，度序列， ( k m , ( k − 1 ) m ) -双正则可图序列，公平划分

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本文中只限于讨论有限简单图。未给出的定义请参照文献 [ 1 ] 。设G和H是简单图，图 G + H 表示G与H的和，其顶点集为 V ( G + H ) = V ( G ) ∪ V ( H ) ，其边集为 E ( G + H ) = E ( G ) ∪ E ( H ) 。

设 V 1 , V 2 是图G的一个二部划分，如果 − 1 ≤ | V 1 | − | V 2 | ≤ 1 ，则称 V 1 , V 2 是G的一个二部平衡划分。对于 i = 1 , 2 ， e ( V i ) 表示两个端点都在 V i 中的边的数目， e ( V 1 , V 2 ) 表示两个端点分别在顶点子集 V 1 , V 2 中的边数。通常 e ( V 1 , V 2 ) 用来表示平衡二部划分的大小。图G的一个最大(最小)平衡二部划分 V 1 , V 2 是图G的所有平衡二部划分中 e ( V 1 , V 2 ) 的值达到最大(最小)。与最大，最小平衡划分问题不同，公平划分问题是寻找图G的一个划分，使得多个分量同时进行优化。

本文将把图的公平划分问题变形到度序列的公平划分问题。

若简单图有顶点集 v 1 , v 2 , ⋯ , v n 且 v i 的度为 d i ( i = 1 , ⋯ , n ) ，则序列 π = ( d 1 , d 2 , ⋯ , d n ) 称为G的度序列。记 N S n 为所有满足 n − 1 ≥ d 1 ≥ d 2 ≥ ⋯ ≥ d n ≥ 0 的整数序列的集合。如果π是某个n阶简单图G的度序列，那么称π为可图序列，且G为π的一个实现。记 G S n 为 N S n 中的所有可图序列组成的集合。在可图度序列中， r n 表示有n个r，即度序列的实现中有n个顶点的度为r。

给定可图序列π, π 1 , π 2 是将π的元素划分为两部分后的两个子序列。如果 − 1 ≤ | π 1 | − | π 2 | ≤ 1 ，则称 π 1 , π 2 是π的一个平衡二部划分，其中 | π i | ( i = 1 , 2 ) 表示 π i 中的元素数目。若G是π的一个实现， V 1 , V 2 是G的一个平衡二部划分且 V 1 , V 2 在π中的度序列分别为 π 1 , π 2 ，则称 V 1 , V 2 为π的平衡二部划分 π 1 , π 2 的一个实现。

类似于图的“公平”划分问题，我们考虑度序列的“公平”划分问题：寻找已知可图序列π的一个平衡二部划分 π 1 , π 2 ，使得 π 1 , π 2 的某个实现 V 1 , V 2 在π的所有平衡二部划分的所有实现下 min { e ( V 1 ) , e ( V 2 ) } 达到最大或者 max { e ( V 1 ) , e ( V 2 ) } 达到最小，记 ψ min ( π ) = min { e ( V 1 ) , e ( V 2 ) } ， ψ max ( π ) = max { e ( V 1 ) , e ( V 2 ) } 。若 V 1 ′ , V 2 ′ 是π的某个平衡二部划分的一个实现，显然 ψ min ( π ) ≥ min { e ( V ′ 1 ) , e ( V ′ 2 ) } ， ψ max ( π ) ≤ max { e ( V ′ 1 ) , e ( V ′ 2 ) } 。

定理2.1：(Erdös和Gallai [ 2 ] )设 π = ( d 1 , d 2 , ⋯ , d n ) ∈ N S n 且 ∑ i = 1 n d i 是偶数。则 π ∈ G S n 当且仅当对任意整数t，

∑ i = 1 t d i ≤ t ( t − 1 ) + ∑ j = t + 1 n min { d i , t } ,   1 ≤ t ≤ n

都成立。

设 P : = ( p 1 , p 2 , ⋯ , p m ) ， Q : = ( q 1 , q 2 , ⋯ , q n ) 是两个非负整数序列。如果存在一个简单二部图 G [ X , Y ] 使得X和Y中的顶点度分别是 ( p 1 , p 2 , ⋯ , p m ) 和 ，那么称序列对 是二部可图的，并称二部图 为 的一个实现。Gale [ 3 ] 和Ryser [ 4 ] 分别独立地给出了关于二部可图序列的刻划定理。

定理2.2：(Gale [ 3 ] , Ryser [ 4 ] ) 设 和 是两个非负整数序列且满足 ， 。若 ，则 是二部可图的当且仅当

成立。

引理2.3：(Yin和Li [ 5 ] )设 ， 且 是偶数。如果 ，则 。

设 ，若 ，则称π是 -双正则可图的。本文主要给出双正则可图序列 的公平划分的上下界。

定理3.1：设 是一个正整数，m是4的整数倍且 。那么

1) 若 ，则 ；

2) 若 ，则 。

证明：情形(1)： 。

设 ， ，那么 是π的一个平衡二部

划分。这里，

且

接下来我们比较 和 的大小。显然，由(1)和(2)得 且

。

若 ，由(1)和(2)得，

；

。

据 和 可得

。

若 ，由(1)和(2)得， ；

。

显然，

。

由定理2.2， 是二部可图的。设 是 的一个实现，则G也是 的一个实现且 是G的一个平衡二部划分。因此， 。

故， ，且 。

情形(2)： 。

设 ， 。由于 是偶数，所以 的度和 为偶数。由引理2.3知， 。设 是 的一个实现且 ，

。令 。容易验证G是π的一个实现，且

。

证毕。

定理4.1：设 是一个正整数，m是4的整数倍且 。那么

1) 若 ，则 ；

2) 若 ，则 。

证明：情形(1)： 。

设 ， ，则 是π的一个平衡二部划分。由于 是偶数，所以 的度和 为偶数。又由引理2.3可得， 。设 是 的一个实现且

，令 。容易验证G是π的一个实现， 是G的一个平衡二部划分且

。

情形(2)： 。显然 。

设 ， 。这里，

且

接下来我们比较 和 的大小。显然，由(3)和(4)得 且

。

若 ，由(3)和(4)得，

；

。

据 和 可知

若 ，由(3)和(4)得， ；

。

显然，

。

由定理2.2， 是二部可图的。设 是 的一个实现， 且 。令 ，则G是 的一个实现且 是G的一个平衡二部划分。故，

。

因此， ， 。证毕。

海南省自然科学基金(No. 20161003, 20161002)；国家自然科学基金(No. 11601108)。

李海燕,郭 锦. (k,k-1)-双正则可图序列的公平划分 Judicious Balanced Bipartitions of (k,k-1)-Biregular Graphic Degree Sequence[J]. 应用数学进展, 2018, 07(04): 423-428. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.74053