蔺逍遥，高云澍

宁夏大学数学统计学院，宁夏 银川

收稿日期：2018年4月11日；录用日期：2018年4月21日；发布日期：2018年4月28日

弦是指连接圈上的两个点构成的一条边，使得这条边不属于圈上。如果一个圈至少有一条弦，那么我们称这个圈为弦圈。本文给出了二部图中过含特定点集点不交弦圈的最小度条件。

关键词 :点不交弦圈，二部图，最小度

Copyright © 2018 by authors and beplay安卓登录

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

本文只考虑有限的简单无向图。设G表示图，且令 , , , 和 分别是图G的点集，边集，最小度，点u的度数和与u相邻的点的集合。完全图是指图中的任意两点之间都有边。若图G是非完全图，定义

若图G是完全图，则令 。长为l的圈叫做l-圈。文中未给出的定义和术语参考文献 [ 1 ] 。

关于图中过所有顶点的圈(哈密尔顿圈)的研究最早始于Dirac [ 2 ] ，他给出了著名的Dirac型条件：

定理1.1： [ 2 ] 设G是一个阶数 的图且 ，则G包含哈密尔顿圈。

1963年，Moon和Moser [ 3 ] 给出了二部图中存在哈密尔顿圈的Dirac型条件：

定理1.2： [ 3 ] 设 是一个二部图，且 。如果 ，则G包含哈密尔顿圈。

图G是泛圈的当且仅当图G包含任意长度的圈。文献 [ 4 ] 和 [ 5 ] 给出了二部图是泛圈的相关结果。

定理1.3： [ 4 ] [ 5 ] 设 是一个二部图，且 。若G包含哈密尔顿圈 使得 ，则图G是泛圈的；如果G包含哈密尔顿圈且G边数

多于 ，则图G是泛圈的。

关于图的哈密尔顿性质的其他结果，我们推荐读者参阅李皓的综述文章 [ 6 ] 。给定圈C，称 中的边为弦。若圈C包含弦，则称圈C为弦圈。显然，若图G中存在弦圈C，则其一定包含偶长圈。Cream和Gould等人 [ 7 ] 证明了图G的Dirac型条件亦可以保证G中存在过特定点的限定长度的点不交弦圈。

定理1.4： [ 7 ] 设G是一个阶数 的图，对任意的整数k， 。如果 ，那么对G

的任意k个不同的点 ，存在k个点不交的弦圈 使得 ，并且对所有的 ，有 。

本文的主要目的是证明二部图图G的Dirac型条件亦可以保证图G中存在过指定点的限定长度的点不交弦圈。我们得到了如下的结果：

定理1.5：设 是一个二部图，且 ，其中k为任意的正整数。如果 ，则对G的k个不同的点 ，G中存在k个点不交的弦圈 ，使得任意的 ，

且 。

证明：首先证明 时定理成立，此时 。首先证明G是泛圈的。由定理1.2知，图G包含哈密尔顿圈。由定理1.3和最小度条件知，图G中任意一对邻接点的度和为 。因此，结合握手定理，易得

,

由上式得到 ，于是，由定理1.3，图G是泛圈的。我们考虑图G中的6-圈 。不失一般性，不妨设 。如果C是弦圈，那么定理对 成立。假设C不是弦圈，则 。

断言2.1： 。

证明：反证法。假设 。由于 ，则

,

由上式， ，于是我们可以把 剖分成两部分，不妨记为A和B，使得 且 。假设 和 在 中有公共的邻点，

不妨设为u，注意到 ，不失一般性，不妨设存在 使得 。此时，

为通过 的8-圈，其中 为弦，定理证毕。因此， 和 在 中没有公共的邻点。于是，仿照上面的部分，把 剖分成两部分，不妨记为D和F，使得 且 。不失一般性，不妨设 且 ，显然，y在 中有邻点，不妨设存在 使得 ，则 为通过 的8-圈，其中 为弦，定理证毕。故断言2.1成立。

根据对称性和断言2.1，易得如下的结论。

断言2.2： 且 。

不妨令 分别表示 中点 和 的公共邻点。如果 ，则 是包含 的6-圈，其中 为弦。如果 ，令z表示 中 的公共邻点，则 是包含 的8-圈，其中 为弦。故 时定理成立。因此， 。我们使用反证法证明。

假设 时定理不成立。令G是一个边极大的反例， 为G中任意的k个不同点。因为阶数至少为6k的完全二部图包含k个点不交的满足定理条件的弦圈，故假设G不是完全图。令 是G中两个不相邻的点且 。令 。则由G的边极大性， 不是反例，故 包含k个点不交的满足定理条件的弦圈，记为 。不失一般性，不妨设G包含 个不交的弦圈 ，使得对 ， ， ，并且 。

我们选择 使得 是最小的。 (1)

令 ， ，则由 和 ，可得

,

断言2.3：对任意的 及 ，有 。

证明：假设存在 及某个 ，使得 。我们只需考虑 的情况。在这种情况下，我们找到一个包含特定点 或 的弦圈 使得 ，用 代替 ，则与(1)的选取矛盾。

令 且 。不失一般性，不妨设 。令 。首先考虑 的情形。如果 ，那么 且 是弦。如果 ，那么 且 是弦。

因此，显然 。如果 ，那么 是包含 但不含 的6-圈且 是弦。如果 ，那么 是包含 但不含 的6-圈且 是弦。如果 ，那么 是包含 但不含 的6-圈且 是弦。如果 ，那么 是包含 但不含 的6-圈，使得 是弦。断言2.3证毕。

因为 ，由断言2.3，对于任意的 ， ，于是

,

不失一般性，不妨设 且令 。令 分别是 的邻点，且 。

情况1：存在两个不同的点 ，使得 。

不失一般性，不妨设 且 。于是有

于是，

从而 ，与 矛盾。

情况2：对不同的点 ，至少存在两对点 和 ，使得 ， 且 。

不失一般性，令 ，也就是 ， 且 。则 是包含 的6-圈且 是弦。

情况3：在 中，点 只有一个公共邻点。

此时，由于

则

从而 ，与 矛盾。至此，定理1.5证毕。

国家自然科学基金(11561054)。

蔺逍遥,高云澍 . 二部图中过特定点的点不交弦圈 Vertex-Disjoint Chorded Cycles through Specified Vertices in Bipartite Graphs[J]. 应用数学进展, 2018, 07(04): 413-417. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.74051