标定模板是由两个均匀固体介质组成的，X射线穿过它的长度d与探测器接收到的原数据是一一对应的，但是，探测器接收到的原数据与实际接收到的数据并不相等，由题目知实际的接收信息是探测器接收到的原数据经过增益等处理后得到的，我们通过函数拟合的方法给出这种增益处理的量化表达。

1) 计算X射线被标定模板所截长度 d i

问题1中的标定模板是均匀固体介质，且由第1个模板的接收数据知在有介质的位置X射线吸收率 μ 0 = 1 ，在无介质的位置X射线吸收率 μ 0 = 0 。相对于椭圆而言，计算X射线被圆所截的长度的误差更小且更容易计算。因此我们计算X射线被圆所截的长度，即圆的弦长 d i 。

在某个方向上，通过确定圆心在探测器上的垂直投影的位置编号x(由三次样条插值法得到)来判断穿过圆的X射线对应的探测器单元的位置 x i ，并且利用圆的平分弦定理计算探测器单元所在直线被圆所截的弦长 d i ，其计算公式如下：

d i = 2 r 2 − [ ( x i − x ) × d ] 2

其中r为圆形介质的半径，本题中 r = 2 ，d为相邻两个探测器之间的距离，本题中 d = 0.2768 。在第一个模板的接收数据中随机找一列如EU列，分别计算每个 x 1 i ( 46 ≤ i ≤ 74 ) 对应的 d 1 i 。再通过计算每个方向上穿过圆的所有X射线对应的探测器接收点相距最远两个的接收信息的差值，筛选出其中最小的列为第DX列，并计算该列中 x 2 i ( 46 ≤ i ≤ 74 ) 对应的 d 2 i 。

2) 寻找 d i 与探测器的接收信息 y i 之间的关系

将第一个模板的接收数据中EU列和DX列中满足 46 ≤ i ≤ 74 的 y 1 i 和 y 2 i 分别与(1)中得到的 d 1 i ， d 2 i 进行函数拟合，分别如图8、图9所示：

由图可得， d i 与探测器的接收信息 y i 存在明显的线性关系，且函数图像的截距很小，对函数的影响忽略不计。因为此时介质的吸收率为1，从而穿过的均匀介质长度等于探测器上得到的原数据。从而，X射线穿过均匀介质后探测器上得到的原数据与经过增益等处理后得到的接收信息成近似正比关系。

radon变换及其逆变换具有线性 [ 5 ] ，从而对接收信息进行radon变换的逆变换得到的值与对未处理的原数据进行radon变换的变换后得到的值作比，其比值为一个常数，该常数为拟合图像的斜率，近似于2。

3) 计算问题2中X射线穿过某未知介质后探测器上得到的原数据

利用(2)中的结论，X射线穿过介质后探测器上得到的原数据与经过增益等处理后得到的接收信息成近似正比关系，我们可以推算出问题二中的接收信息所对应的原数据。

radon变换和其逆变换被广泛应用于医学成像、光学和全系干涉量度学等领域中进行图像分析和信号重构，其原理如下 [ 6 ] ：

1) 对椭圆介质进行radon变换得到一个与介质中心和旋转角度有关的函数

二维的radon变换表示为如下的线积分：

p ϕ ( ρ ) = ∫ L ϕ , ρ f ( x , y ) d s ,   ρ ∈ [ − R , R ] ,   ϕ ∈ [ 0 , π ] (2.1)

图8. EU列拟合图像 y 1 i = 1.7777 d 1 i − 0.0356

图9. DX列拟合图像 y 2 i = 1.7715 d 2 i + 0.0077

其中

L ϕ , ρ = { ( x , y ) | x cos ϕ + y sin ϕ = ρ } (2.2)

是在平面上，将直线L进行参数化后得到的表达式。ρ是原点到直线L的距离，f是直线L与x轴正半轴的夹角。

f ( x , y ) 表示均匀椭圆介质的吸收率，其满足如下条件：

f ( x , y ) = { c ,     在 介 质 内 0 ,     在 介 质 外

f ( x , y ) = { c ,     在 介 质 内 0 ,     在 介 质 外 (2.3)

当椭圆介质的中心记为坐标原点 ( x 1 = y 1 = 0 ) ，旋转角度在初始位置时，将(2.3)和(2.2)式代入(2.1)式可得

p ϕ ( ρ ) = { 2 c A B a 2 ( ϕ ) a 2 ( ϕ ) − ρ 2 ,       | ρ | ≤ a ( ϕ ) 0 ,                                                               其 他

当且仅当 a 2 ( ϕ ) = A 2 cos 2 ϕ + B 2 sin 2 ϕ 时等号成立。(其中A、B分别为椭圆介质的半长轴与半短轴的长度。)

如果中心为 ( x 1 , y 1 ) 且旋转α度，同样地将将(2.3)式和(2.2)式代入(2.1)式可得

p ϕ ( ρ ) = p ϕ − α ( ρ − s cos c r − ϕ ) ,   s = x 1 2 + y 1 2 ,   r = tan − 1 ( y 1 x 1 )

引入狄拉克函数 δ ( x , y ) ，(2.1)式等价于

p ϕ ( ρ ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) δ ( x cos ϕ + y sin ϕ − ρ ) d x d y

将其与 I ϕ , ρ = I 0 e − ∫ I ϕ , ρ μ ( x , y ) d s 联立可解得:

f ( x , y ) = μ ( x , y ) , p ϕ ( ρ ) = − log I ϕ , ρ I 0 ,

即：

p ϕ ( ρ ) = ∫ L ϕ , ρ μ ( x , y ) d s ,   ρ ∈ [ − R , R ] ,   ϕ ∈ [ 0 ∘ , π ]

2) 将上述radon变换得到的函数进行一维傅里叶变换，得到二维傅里叶变换的一个切片。

由傅立叶切片定理知：某图像函数 μ ( x , y ) 在某一方向上的投影函数 p ϕ ( ρ ) 的关于ρ的一维傅立叶变换，给出 μ ( x , y ) 的二维傅立叶变换 F ( u , v ) 的一个切片，该切片与u轴相交成f角，且通过坐标原点。具体表达式为：

p ^ ϕ ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ p ϕ ( ρ ) e − i 2 π ω ρ d ρ = F ( u , v ) | u = ω cos ϕ , v = ω sin ϕ

3) 在全部180个方向上进行上述变换，拼接起来构成一个立体图形。

对平面上180个不同的f对应的 ( u , v ) = ( ω cos ϕ , ω sin ϕ ) 在二维傅立叶空间上，关于u轴进行旋转形成的截面进行拼接重构得到一个立体图形。

即 p ^ ϕ ( ω ) = F ( ω cos ϕ , ω sin ϕ ) , ϕ ∈ ( 0 , π ) , ω ∈ ( − ∞ , + ∞ )

4) 通过radon变换的逆变换，并添加色阶，得到色阶图。

radon变换的逆变换还原出介质的几何形状，通过添加色阶，得到一个色阶图。其中，radon变换的逆变换公式为：

μ ( x , y ) = 1 4 π 2 ∫ 0 2π d ϕ ∫ − ∞ + ∞ ∂ ∂ ρ p ϕ ( ρ ) ρ − ( x cos ϕ + y sin ϕ ) d ρ

在实际的操作过程中，我们对探测器接收的数据进行radon变换的逆变换，发现得出的图形并不与问题一中的初始方向一致，如果我们强制将其角度旋转30˚，会造成数据的丢失(圆形介质区域的接收信息丢失)。但是，第一个模板和第二个模板的接收数据的矩阵边缘部分均为0。因此，我们可以通过添加零元素来扩大第二个模板的接收数据的矩阵的维数，再对矩阵进行切割，以此来避免数据的丢失。具体求解过程如下：

1) 将第二个模板的接收数据每一列增加100个零，共计180列，得到一个新的矩阵。

2) 对新的矩阵进行radon变换的逆变换，顺时针旋转30˚，得到的图形即为我们所要的初始方向。

3) 对2)所得的矩阵进行切割，并使切割之后的矩阵成为一个 256 × 256 的矩阵，根据第1个模板和第2个模板的接收数据之间的关系，对矩阵的数据进行增益处理，得到一个新的矩阵，该矩阵中的数据即为我们所求的吸收率。

4) 由于标定模板是 100 × 100 的，所以我们需要对给定的十个坐标数据扩大2.56倍，并进行相应的坐标变换，使得矩阵的(0，0)位置与我们之前建立坐标系的原点重合，进而求得给定的十个坐标数据以及所给的10个位置的吸收率。

基于上述四步，我们求得的结果如下：

a) 该未知介质的几何形状及在正方形托盘中的位置如图10所示。

b) 该未知介质在图3所给的10个位置处的吸收率分别是(见表1)。