丁梦琳

云南财经大学统计与数学学院，云南 昆明

收稿日期：2018年4月8日；录用日期：2018年4月20日；发布日期：2018年4月27日

称一个图为s-弧正则图，如果图的全自同构群在图的s弧集上是正则的。Feng等在 [ 1 ] 中证明了素数度的1-弧正则图都是Cayley图，随后出现一些小度数图的研究，见 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] 。本文即确定了平方自由阶素数度的2-弧正则图，其中度数t满足 t ≡ 3 ( m o d 4 ) 。

关键词 :自同构群，弧正则图，凯莱图

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一个图与其全自同构群密切相关，全自同构群是图论中的一个基本且重要的研究对象，一个图的全自同构群越大，图的对称性越好，故寻找一个图的自同构群便成为研究图的首要却也十分困难的任务。正则图是一类简单图，图的许多性质都是从正则图的研究开始的，比如正则图的连通性，对称性，所以研究正则图的性质成为图论的一个活动领域。本文便完全确定了平方自由阶的素数度2-弧正则图，其中度 t ≡ 3 ( mod 4 ) 。

本文所得主要结果如下：

定理1.1. 设G为2n阶t度的2-弧正则图，其中n为平方自由的且至少包含三个素因子，t素数，且 t ≡ 3 ( mod 4 ) ，则 t = 3 ，且G满足：

A u t Γ = P S L ( 2 , q ) ， ( A u t Γ ) α = S 3 ，其中 q ≡ ± 3 ( mod 8 ) ， n = q ( q + 1 ) ( q − 1 ) 24 .

为了证明以上定理，我们给出几个重要的结果。

首先是含有二面体Sylow 2-子群的有限群，参见[ [ 5 ] ，引理2.4]。

引理2.1. 设G为一个含二面体Sylow 2-子群的有限群，M是G的最大奇数阶正规子群，则G/M同构于下列群之一：

1) (二面体) 2-子群；

2) A 4 或 A 7 ；

3) A u t ( P S L ( 2 , q ) ) 的包含 P S L ( 2 , q ) 的子群，其中 q ≥ 5 为奇素数幂。

下面给出关于局部本原图的一个性质。参见[ [ 6 ] ，定理4]。

引理2.2. 设 Γ = ( V , E ) 为平方自由阶k度， k ≥ 3 的G-局部本原联通图。假设G在VG上传递且G不是完全二部图，则下述之一成立：

1) ，2nk为平方自由的，k为nk的最小素因子，G为二面体 D 2 n 上的Cayley图；

2) G = M : X ，其中M为平方自由阶的，X为几乎单群且

a) s o c ( G ) = M 11 , M 12 , M 22 , M 23 , M 24 , J 1 ；

b) G = A n 或者 S n ，其中 n < 3 k ；

c) G = P S L ( 2 , p ) 或 G = P G L ( 2 , p ) ；

d) s o c ( G ) = P S L ( 2 , p f ) ， f ≥ 2 ，且 p f > 9 ，或者 k | p f − 1 或者 f = 2 ， k | p + 1 ；

e) G为Lie型单群 G F ( p f ) ， p ≤ k ，或者 [ d 2 ] f < k ，G为d维典型群， d ≥ 3 。或者 2 f < k ，

s o c ( G ) = G 2 ( p f ) , D 4 ( p f ) , F 4 ( p f ) , E 6 ( p f ) , E 7 ( p f ) 。且 M T = M × T 有至多两个轨道并且G为T-边传递图，特别地，如 T = P S L ( 2 , p ) ，则 M , T α , k 满足[ [ 6 ] ，表3]。

下面给出平方自由阶弧传递3度图的一个引理，参见 [ 7 ] 。

引理2.3. 设G为2n阶弧传递3度图，其中n为平方自由的且至少包含三个素因子，则下述之一成立：

1) A u t ( Γ ) 可解，且 A u t ( Γ ) ≅ D 2 n : Z 3 ；

2) A u t ( Γ ) = P S L ( 2 , p ) ，其中 p ≥ 19 为一素数。

下面的定理稍微改进了Praeger，参见[ [ 8 ] ，定理4.1]的一个著名结果，见 [ 9 ] 。

命题2.1. 设G为素数度 ( X , s ) -弧正则图，且假设 N ⊲ X ≤ A u t Γ 在VG上至少有3个轨道，则下述之一成立：

1) N在VG半正则， X / N ≤ A u t ( Γ N ) 为 ( X / N , s ) -弧正则图，且G为 Γ N 的一个正规N-覆盖；

2) X α ≅ ( X / N ) δ ，其中 α ∈ V Γ ， δ ∈ V Γ M ；

3) 如果X有一正规子群 M ⊂ N ，则 Γ M 为 ( X / M , s ) -弧正则，且是 Γ N 的一个正规N/M-覆盖。

群 P S L ( 2 , q ) 的极大子群是知道的，下面我们给出一个引理，参见 [ 10 ] 。

引理2.4. 设 G = P S L ( 2 , q ) ， q = p n ≥ 5 ，p为素数，则G的极大子群同构于下列群之一：

1) D 2 ( q − 1 ) d ，其中 d = ( 2 , q − 1 ) ，且 q ≠ 5 , 7 , 9 , 11 ；

2) D 2 ( q + 1 ) d ，其中 ，且 q ≠ 7 , 9 ；

3)

4) A 4 ，其中 q = p = 5 ，或 q = p = 3 , 13 , 27 , 37 ( mod 40 ) ；

5) S 4 ，其中 q ≡ ± 1 ( mod 8 ) ；

6) A 5 ，其中 q ≡ ± 1 ( mod 10 ) ；

7) P S L ( 2 , p m ) ， n / m 为奇素数；

8) P S L ( 2 , p n 2 ) ，n为偶数。

接下来我们给出 P S L ( 2 , q ) 极大子群 [ 10 ] 的一个推论。

推论2.1. 设 H ≅ Z t : Z t − 1 为 P S L ( 2 , q ) 的子群，其中 q ≥ 5 ，t都是奇素数。则 t = 3 。

证明：因为q为奇素数， d = ( 2 , q − 1 ) = 2 ，H包含在 P S L ( 2 , q ) 的极大子群里，我们逐一验证引理2.4的可能的情况。(1)~(3)由阶数算是不可能的，排除。(7)和(8)中，因为q为奇素数，没有p值使之存在,排除。(4)和(5)中，H为 Z 3 : Z 2 满足。(6)中， A 5 中没有20阶的子群，排除。综上，H只可能为 Z 3 : Z 2 ，我们得到 t = 3 。

通过Magma [ 8 ] ，我们可以检验一个图是否为3度2-弧正则图。我们给出一个2-弧正则图关于 P S L ( 2 , 19 ) 的例子。

例子2.1. 设 G = P S L ( 2 , 19 ) 为作用在20个点上的置换群。设：

a = (1, 3)(2, 13)(4, 5)(6, 10)(7, 12)(8, 19)(9, 14)(11, 15)(16, 17)(18, 20)；

b = (1, 16, 4)(3, 5, 17)(6, 20, 7)(8, 15, 9)(10, 12, 18)(11, 19, 14)；

c = (1, 18)(2, 8)(3, 20)(4, 16)(5, 17)(6, 11)(7, 9)(10, 15)(12, 14)(13, 19)；

证明：设 H = 〈 a , b 〉 ，则 H ≅ S 3 ， 〈 H , c 〉 = G 且 | H : H ∩ H c | = 3 ，因此 Cos ( G , H , H c H ) 是 ( G , 2 ) -弧正则3度图。而且这个图是在同构意义下的自同构群为 P S L ( 2 , 19 ) 的2-弧正则3度图。

接下来给出一个2-弧正则图关于 P S L ( 2 , 29 ) 的例子。

例子2.2. 设 G = P S L ( 2 , 29 ) 为作用在30个点上的置换群。设

e = (3, 16)(4, 20)(5, 26)(6, 9)(7, 28)(8, 14)(10, 18)(11, 12)(13, 29)(15, 23)(17, 30)(19, 25)(21, 22)(24, 27)；

f = (1, 14, 8)(2, 7, 28)(3, 27, 10)(4, 9, 13)(5, 12, 21)(6, 20, 29)(11, 26, 22)(15, 30, 19)(16, 18, 24)(17, 23, 25)；

g₁= (1, 2)(3, 25)(4, 7)(5, 29)(6, 15)(8, 17)(9, 23)(10, 27)(13, 26)(14, 30)(16, 19)(18, 24)(20, 28)(21, 22)；

g₂= (1, 2)(4, 21)(5, 11)(6, 25)(7, 23)(8, 14)(9, 19)(10, 30)(12, 26)(13, 24)(15, 28)(17, 18)(20, 22)(27, 29)。

证明：设 H = 〈 e , f 〉 用Magma计算可知： H ≅ S 3 ， 〈 H , g 1 〉 = 〈 H , g 2 〉 = G .

| H : H ∩ H g 1 | = | H : H ∩ H g 2 | = 3 ，因此 Cos ( G , H , H g 1 H ) 和 Cos ( G , H , H g 2 H ) 是 ( G , 2 ) -弧正则3度图。更多的，这两个图是同构意义下，以 P S L ( 2 , 29 ) 作为全自同构群的唯一的两个不同构的2-弧正则3度图。

设G为2n阶素数度t度的2-弧正则图，其中 n = p 1 p 2 ⋯ p s ， s ≥ 3 ， p i ， 1 ≤ i ≤ s 为不同的素数。设 α ∈ V Γ ， A = A u t Γ 表示图G的全自同构群。

定理3.1. 假设A可解，则图G不存在。

证明：如果图G存在，首先假设G是完全二部图，则 Γ = K t , t ，当 t ≥ 5 时， A u t Γ ≅ ( S t × S t ) : Z 2 是不可解的，与A可解矛盾。当 t = 3 时， A u t Γ ≅ ( S 3 × S 3 ) : Z 2 且G是3度图，此时 | V Γ | = 6 ， | A | = | A α | × | V Γ | ，则 | A α | = 12 ，而3度2-弧正则图的点稳定子群阶为6，矛盾。

假设G不是完全二部图，因为素数度的图一定是局部本原图，所以G满足引理2.2，又因为A是可解的，所以G满足引理2.2 (1)，于是 A = D 2 n : Z k ， | A | = 2 n t ，则 | A α | = t 与图G为2-弧正则图矛盾。综上，图G不存在，定理得证。

下面我们给出定理1.1的证明。

定理3.2. 设 t ≡ 3 ( mod 4 ) ，A不可解，则图G满足定理3.1。

证明：因为G为t度的2-弧正则图，所以 | A | = 2 n t ( t − 1 ) ， t ≡ 3 ( mod 4 ) ，设A的Sylow 2-子群 A 2 ，则 A 2 ≅ Z 4 或 Z 2 2 。

如果 A 2 ≅ Z 4 为循环群，因为Sylow 2-子群是循环群的有限群都是可解的，所以推出矛盾。于是 A 2 ≅ Z 2 2 ，A满足引理2.1。设M为A的最大的奇数阶正规子群，逐一分析A/M的可能性，如果A/M为可解的，则由M为可解群，可推出A可解，矛盾。于是 A / M ≅ A 7 或满足引理2.1 (3)。如果 A / M ≅ A 7 ，则 | A / M | 2 = 8 ，这与 | A / M | 2 = 4 矛盾。所以 P S L ( 2 , q ) ≤ A / M ≤ A u t ( P S L ( 2 , q ) ) = P G L ( 2 , q ) ⋅ Z f = P S L ( 2 , q ) ⋅ Z 2 ⋅ Z f ，其中 q = p f ，p为素数。

断言： A = M ⋅ P S L ( 2 , q ) 且 f = 1 。

假设 A / M ≠ P S L ( 2 , q ) ，因为 | P S L ( 2 , q ) | 2 = 4 = | A | 2 ，所以 A / M ≠ P S L ( 2 , q ) Z 2 = P G L ( 2 , q ) ，所以 f > 2 且f不是2的方幂。因为G为2-弧正则图，由引理3.1中类似的分析，可知G不是完全二部图。由假设，A不可解，所以G满足引理2.2 (2)部分。

于是可以设 A = N : X ，N是平方自由阶的，X为几乎单群， s o c ( X ) = T 。

考虑到 P S L ( 2 , q ) ≤ A / M ≤ A u t ( P S L ( 2 , q ) ) ，可推出 M = N 且 T = P S L ( 2 , q ) 。下面逐一验证引理2.2 (2) (i)-(v)。

因为 T = P S L ( 2 , q ) ，所以(i)和(ii)直接可排除；假设满足(iii)，则 M = 1 且 A = A / M = P S L ( 2 , q ) 或 A = A / M = P G L ( 2 , q ) ，均与假设矛盾。假设满足(iv)，则 T = P S L ( 2 , p f ) ， f ≥ 2 且 p f > 9 ， t | p f − 1 。因为 f > 2 ，所以 p 2 | | A | = 2 n t ( t − 1 ) ，如果 t = p ，则 p | n 且 f = 2 ，矛盾。如果 t ≠ p ，则 p 2 | ( t − 1 ) 或 ，且 p | t − 1 ，总之， p | t − 1 ，所以 ( p , t ) = 1 ，这与 p | p f − 1 矛盾。 f = 2 与假设矛盾。假设满足(iv)，如果A为d维典型群，此时 d ≥ 3 ，矛盾。如果 s o c ( A ) = G 2 ( p f ) , D 4 ( p f ) , F 4 ( p f ) , E 6 ( p f ) , E 7 ( p f ) ，则与 T = P S L ( 2 , q ) 矛盾。

于是断言成立。

假设M在VG上传递，则 | α M | = | V Γ | = | M : M α | = 2 n 为偶数，这与 | M | 是奇数矛盾。

假设M在VG上有两个轨道，记为 Δ 1 ， Δ 2 ，设 A + = A Δ 1 = A Δ 2 ，由 [ 9 ] ，之所以 A Δ 1 = A Δ 2 ，是因为 A Δ 1 = { g ∈ A | Δ 1 g = Δ 1 } ， A Δ 2 = { m ∈ A | Δ 2 g = Δ 2 } ，下证 Δ 2 g = Δ 2 ，因为 Δ 1 ， Δ 2 为block，故如果不成立，则满足 Δ 2 g = Δ 1 , Δ 1 g − 1 = Δ 2 。

( ( Δ 1 g ) g − 1 = Δ 2 = Δ 1 ，矛盾。)而且，因为A在VG上传递，所以 | A : A + | = 2 。由Frattini论断， A + = M A α + = M A α ，则 A + / M = M A α / M ≅ A α / A α ∩ M 为可解的，且M可解，故 A + 可解。又因为 | A : A + | = 2 ， A + ⊲ A ，故A可解。矛盾。

假设M在VG上至少有三个轨道，由命题2.1，由M诱导的正规商图 Γ M 为 ( A / M , 2 ) -弧正则图，其

中 | V Γ M | = 2 n | M | 为平方自由的， 。设 α ∈ V Γ ， δ ∈ V Γ M ， A ¯ = A / M ，则

A α ≅ A ¯ α ≅ ℤ t : ℤ t − 1 。设 A σ ¯ ≤ Y ，Y为 P S L ( 2 , q ) 的极大子群，由断言，我们知道q为奇素数，所以由推论得 t = 3 。最后，因为A不可解且 | A | 2 = 4 ，由引理2.3，我们得到 ( A , A α ) = ( P S L ( 2 , q ) , S 3 ) ，且 q ≥ 19 为奇素数。因为 | A : A α | = q ( q − 1 ) ( q + 1 ) 24 = 2 n ，其中n是平方自由的奇素数，所以 8 | q 2 − 1 ， 16 ∤ q 2 − 1 ， 8 ∤ q + 1

且 8 ∤ q − 1 ，得 q ≡ ± 3 ( mod 8 ) 且 n = q ( q + 1 ) ( q − 1 ) 24 定理得证。

问题：虽然本文已得到一些较好的结果，但还是有许多的不足之处，例如：没有得到对于 s ≥ 2 时的平方自由阶s-弧正则图的一般结论。这将是一个巨大的工作。

丁梦琳. 平方自由阶素数度2-弧正则图2-Arc-Regular Graphs of Square-Free Order and Prime Valency[J]. 应用数学进展, 2018, 07(04): 369-373. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.74046