张利花，廖珊莉，吴远波

广西大学数学与信息科学学院，广西 南宁

收稿日期：2018年4月7日；录用日期：2018年4月19日；发布日期：2018年4月26日

本文提出了一种新的Hammerstein型非线性积分方程的数值方法，主要基于泰勒级数展开和分段逼近的思想，给出了Hammerstein型非线性积分方程的离散化方案，分析了逼近解的收敛性和误差估计，并通过数值模拟验证了该方法的可行性和有效性，具有很好的研究与参考价值。

关键词 :Hammerstein式积分方程，Taylor级数展开，分段近似，收敛性与误差估计

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积分方程在数学物理的许多分支中出现，如弹性、湿热弹性、流体力学和断裂力学等。因此，解决线性或非线性积分方程的数学理论和数值解是很重要的。本文考虑Hammerstein型的非线性积分方程

φ ( x ) − ∫ a b K ( x , y ) Ω ( φ ( y ) ) d y = f ( x ) , x ∈ [ a , b ] , (1)

f ( x ) 是 [ a , b ] 上的已知函数， φ ( x ) 是在给定内核 K ( x , y ) ∈ [ a , b ; a , b ] 上需要被解的未知函数， 是非线性形式 φ ( y ) ∈ R 的已知函数，非线性积分算子 k 0 被定义为

( k 0 φ ) ( x ) = ∫ a b K ( x , y ) Ω ( φ ( y ) ) d y , x ∈ [ a , b ] , (2)

之后等式(1)可以被写成算子的形式

( I − k 0 ) φ ( x ) = f ( x ) , x ∈ [ a , b ] , (3)

这里I表示单位算子，由文献 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 可知函数 K ( x , y ) , Ω ( φ ( y ) ) 和 f ( x ) 在不同的假设条件下Hammerstein型积分方程解的存在性和唯一性引起了很多关注。文献 [ 6 ] 将Petrov-Galerkin方法推广到求解非线性的Hammerstein型积分方程。文献 [ 7 ] 采用Toeplitz矩阵方法对Hammerstein型的非线性积分方程进行了数值求解。

本文的目的是为Hammerstein式的非线性积分方程(1)提供一种新的数值方法。基于泰勒级数展开和分段逼近的思想，给出了Hammerstein型非线性积分方程的离散化方案，进一步分析了逼近解的收敛性和误差估计。数值结果表明了该方法的有效性。

在假设条件 K ( x , y ) ∈ C n + 1 [ a , b ; a , b ] 和 f ( x ) , φ ( x ) ∈ C n [ a , b ] 下，在等式(1)的两边对x积分n次，得到

φ ( i ) ( x ) − ∫ a b K x ( i ) ( x , y ) Ω ( φ ( y ) ) d y = f ( i ) ( x ) , x ∈ [ a , b ] , (4)

这里 i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n 在给出一种新的数值方法之前，我们需要考虑(4)式中一系列的Hammerstein式积分方程解的存在性和唯一性。我们有下面的定理：

定理1：假设 H [ a , b ] 是一个Hilbert空间且 f ( i ) ( x ) ∈ H [ a , b ] 和 φ ( i ) ( x ) ∈ H [ a , b ] ， i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n 算子 k i ( i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n ) 被定义为

k i : H [ a , b ] → H [ a , b ]

和

( k i φ ) ( x ) = ∫ a b K x ( i ) ( x , y ) Ω ( φ ( y ) ) d y

假设算子 k i 满足Lipschitz条件如下

‖ k i φ 1 − k i φ ‖ ≤ M i ‖ φ 1 − φ 2 ‖

常量 0 < M i < 1 ，之后等式(4)在Hilbert空间 H [ a , b ] 有唯一解。

证明：假设

T i φ = f ( i ) + k i φ

然后等式(4)被改写为

φ ( i ) = T i φ

对于 ∀ φ 1 , φ 2 ∈ H [ a , b ] ，我们有

‖ T i φ 1 − T i φ 2 ‖ = ‖ k i φ 1 − k i φ ‖ ≤ M i ‖ φ 1 − φ 2 ‖

这里算子 T i ( i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n ) 是收缩算子。基于Banach不动点定理，方程 φ = T 0 φ 在 H [ a , b ] 上有唯一解 φ ¯ ( x ) ，并且 φ ¯ ( x ) 满足 φ ( i ) = T i φ ， i = 1 , 2 , ⋯ , n 。

为了求解(1)的数值解，选择一系列正交点 a = x 0 < x 1 < ⋯ < x m = b 且 m ≥ 1 。积分算子 k 0 能进一步被一系列积分算子的和表示，即

( k 0 φ ) ( x ) = ∑ k = 0 m − 1 ∫ x k x k + 1 K ( x , y ) Ω ( φ ( y ) ) d y , (5)

此外，为了方便我们采取等距正交分点，即

x k = a + k h , k = 0 , 1 , ⋯ , m , h = ( b − a ) / m , (6)

通过引进变量ξ和 y = x k + h ξ ，等式(5)能进一步表达为

( k 0 φ ) ( x ) = h ∑ k = 0 m − 1 ∫ 0 1 K ( x , x k + h ξ ) Ω ( φ ( x k + h ξ ) ) d ξ , (7)

现在假设 Ω ( φ ( x k + h ξ ) ) 能被表达为以下的Taylor级数展式

Ω ( φ ( x k + h ξ ) ) = Ω ( φ ( x k ) ) + ( h ξ ) Ω ′ φ ( φ ( x k ) ) φ ′ ( x k ) + ⋯ + ( h ξ ) n n ! d n Ω d y n | y = x k + R n ( θ k , h , ξ ) , (8)

R n ( θ k , h , ξ ) 是Lagrange余项且

R n ( θ k , h , ξ ) = ( h ξ ) n + 1 ( n + 1 ) ! d n + 1 Ω d y n + 1 | y = θ k , x k ≤ θ k ≤ x k + h ξ , (9)

因此算子 ( k 0 φ ) ( x ) 近似为

( k 0 n φ ) ( x ) = h ∑ k = 0 m − 1 ∑ j = 0 n h j j ! d j Ω d y j | y = x k ∫ 0 1 K ( x , x k + h ξ ) ξ j d ξ , (10)

类似的，我们有

( k i φ ) ( x ) = h ∑ k = 0 m − 1 ∫ 0 1 K x ( i ) ( x , x k + h ξ ) Ω ( φ ( x k + h ξ ) ) d ξ , (11)

i = 1 , 2 , ⋯ , n ，等式(11)进一步近似表达为

( k i n φ ) ( x ) = h ∑ k = 0 m − 1 ∑ j = 0 n h j j ! d j Ω d y j | y = x k ∫ 0 1 K x ( i ) ( x , x k + h ξ ) ξ j d ξ , (12)

从方程(10)和(12)可以构造Hammerstein型非线性积分方程的离散化格式为

φ l ( i ) − h ∑ k = 0 m − 1 ∑ j = 0 n h j j ! d j Ω d y j | ( x k , φ k j ) ∫ 0 1 K x ( i ) ( x l , x k + h ξ ) ξ j d ξ = f ( i ) ( x l ) , (13)

和 l = 0 , 1 , ⋯ , ( m − 1 ) 。此后 d j Ω d y j | ( x k , φ k ( j ) ) 意味着变量 y = x k 和近似值 φ k ( j ) 替代精确值 φ ( j ) ( x k ) 。一般可以用迭代法求解非线性系统(13)，一旦 m ( n + 1 ) 的非线性系统被解决，我们就可以获得 φ ( j ) ( x k ) 的数值解 φ k ( j ) 其中 j = 0 , 1 , ⋯ , n 和 k = 0 , 1 , ⋯ , m − 1 。 φ ( x ) 的近似解可以进一步给出

φ m , n ( x ) = f ( x ) + h ∑ k = 0 m − 1 ∑ j = 0 n h j j ! d j Ω d y j | ( x k , φ k ( j ) ) ∫ 0 1 K ( x , x k + h ξ ) ξ j d ξ , (14)

其中 a ≤ x ≤ b 。

采用分段逼近和Taylor级数的思想来展示(14)的近似解。显然，当n较大时，非线性系统(13)将是复杂的，一般情况下，我们可以选择 n = 0 , 1 或2和一个较大的m去获得精确解的一个比较好的近似解。

这一部分，近似解 的收敛性和误差估计是重点。首先，我们给出一个引理如下：

引理1：如果有以下条件

‖ K x ( i ) ( x , y ) ‖ ∞ = max a ≤ x , y ≤ b | K x ( i ) ( x , y ) | = P i < + ∞

‖ d n + 1 Ω d y n + 1 ‖ ∞ = max a ≤ y ≤ b | d n + 1 Ω d y n + 1 | = N 0 < + ∞ ,

满足 0 < h < 1 ，

‖ ( k i n φ ) ( x ) − ( k i φ ) ( x ) ‖ ∞ ≤ P i N 0 ( b − a ) ( n + 2 ) ! h n + 1 → 0 , n → + ∞ (15)

对于一个固定的n，

‖ ( k i n φ ) ( x ) − ( k i φ ) ( x ) ‖ ∞ ≤ P i N 0 ( b − a ) ( n + 2 ) ! h n + 1 → 0 , h → 0 , (16)

其中 i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n 。

证明：运用等式(7) (10) (11) (12)得到

‖ ( k i n φ ) ( x ) − ( k i φ ) ( x ) ‖ ∞ = h ‖ ∑ k = 0 m − 1 ∫ 0 1 K x i ( x , x k + h ξ ) ( h ξ ) n + 1 ( n + 1 ) ! d n + 1 Ω d y n + 1 | y = x k d ξ ‖ ∞ ≤ h m P i N 0 ∫ 0 1 ( h ξ ) n + 1 ( n + 1 ) ! d ξ = m P i N 0 ( n + 2 ) ! h n + 2 = P i N 0 ( b − a ) ( n + 2 ) ! h n + 1 (17)

在考虑 0 < h < 1 的情况下，当 n → + ∞ 时我们有 ‖ ( k n φ ) ( x ) − ( k φ ) ( x ) ‖ ∞ → 0 ，对于一个固定的n，当 h → 0 时有 ‖ ( k n φ ) ( x ) − ( k φ ) ( x ) ‖ ∞ → 0 。因此引理得证。

另一方面，算子 k 0 − n 的一个序列数值积分被定义为

( k 0 − n φ ) ( x ) = h ∑ k = 0 m − 1 ∑ j = 0 n h j j ! d j Ω d y j | ( x k , φ k ( j ) ) ∫ 0 1 K ( x , x k + h ξ ) ξ j d ξ , (18)

基于引理1，可以很容易得到

‖ φ ( x ) − φ m , n ( x ) ‖ ∞ = ‖ ( k 0 φ ) ( x ) − ( k 0 − n φ ) ( x ) ‖ ∞ = ‖ ( k 0 φ ) ( x ) − ( k 0 n φ ) ( x ) + ( k 0 n φ ) ( x ) − ( k 0 − n φ ) ( x ) ‖ ∞ ≤ ‖ ( k 0 φ ) ( x ) − ( k 0 n φ ) ( x ) ‖ ∞ + ‖ ( k 0 n φ ) ( x ) − ( k 0 − n φ ) ( x ) ‖ ∞ ≤ P 0 N 0 ( b − a ) h n + 1 ( n + 2 ) ! + ‖ ( k 0 n φ ) ( x ) − ( k 0 − n φ ) ( x ) ‖ ∞ (19)

另外，我们重写等式(13)为

Φ ˜ = W ( Φ ˜ ) + F , (20)

这里

W ( Φ ˜ ) = [ ω l ( i ) ( Φ ˜ ) ] m ( n + 1 ) × 1 ,

F = [ f ( i ) ( x l ) ] m ( n + 1 ) × 1 = [ f ( 0 ) ( x 0 ) , f ( 0 ) ( x 1 ) , ⋯ , f ( n ) ( x m − 1 ) ] T ,

Φ ˜ = [ φ k ( j ) ] m ( n + 1 ) × 1 = [ φ 0 ( 0 ) , φ 1 ( 0 ) , ⋯ , φ m − 1 ( n ) ] T ,

和

ω l ( i ) ( Φ ˜ ) = h ∑ k = 0 m − 1 ∑ j = 0 n h j j ! d j Ω d y j | ( x k , φ k ( j ) ) ∫ 0 1 K x ( i ) ( x l , x k + h ξ ) ξ j d ξ ,

其中 i = 0 , 1 , ⋯ , n 和 l = 0 , 1 , ⋯ , ( m − 1 ) 。

并且，从等式(4)和(8)，可得到

Φ = W ( Φ ) + F + R , (21)

这里

Φ = [ φ j ( x k ) ] m ( n + 1 ) × 1 = [ φ ( 0 ) ( x 0 ) , φ ( 0 ) ( x 1 ) , ⋯ , φ ( n ) ( x m − 1 ) ] T ,

R = [ r s ] m ( n + 1 ) × 1 ,

和

r 0 = h ∑ k = 0 m − 1 ∫ 0 1 K ( x 0 , x k + h ξ ) R n ( θ k , h , ξ ) d ξ ,

r 1 = h ∑ k = 0 m − 1 ∫ 0 1 K ( x 1 , x k + h ξ ) R n ( θ k , h , ξ ) d ξ ,

⋯

r m ( n + 1 ) − 1 = h ∑ k = 0 m − 1 ∫ 0 1 K x ( n ) ( x m − 1 , x k + h ξ ) R n ( θ k , h , ξ ) d ξ ,

现在假定非线性系统(13)有唯一解，可以使用迭代法 [ 8 ] 并满足以下收缩条件

‖ W ( Φ ) − W ( Φ ˜ ) ‖ ∞ ≤ α ‖ Φ − Φ ˜ ‖ ∞ , (22)

其中 0 < α < 1 。之后应用等式(20)和(24)得

‖ Φ − Φ ˜ ‖ ∞ ≤ ‖ W ( Φ ) − W ( Φ ˜ ) ‖ ∞ + ‖ R ‖ ∞ , (23)

进一步得

‖ Φ − Φ ˜ ‖ ∞ ≤ 1 1 − α ‖ R ‖ ∞ = 1 1 − α max 0 ≤ s ≤ m ( n + 1 ) | r s | ≤ 1 1 − α P N 0 ( b − a ) ( n + 2 ) ! h n + 1 , (24)

这里 P = max i = 0 , 1 , ⋯ , n p i 。

把式(24)代入式(19)得

‖ φ ( x ) − φ m , n ( x ) ‖ ∞ ≤ P 0 N 0 ( b − a ) ( n + 2 ) ! h n + 1 + 1 1 − α P N 0 ( b − a ) ( n + 2 ) ! h n + 1 = N 0 ( b − a ) h n + 1 ( n + 2 ) ! ( P 0 + P 1 − α ) , (25)

从式(25)可知当 n → + ∞ ， 0 < h < 1 或对于固定的一个n当 m → + ∞ ( i . e .   h → 0 ) 时，总有 ‖ φ ( x ) − φ m , n ( x ) ‖ ∞ → + ∞ 。最后，基于以上分析，我们有下面定理：

定理2：如果有以下条件

‖ K x ( i ) ( x , y ) ‖ ∞ = max a ≤ x , y ≤ b | K x ( i ) ( x , y ) | = P i < + ∞

‖ d n + 1 Ω d y n + 1 ‖ ∞ = max a ≤ y ≤ b | d n + 1 Ω d y n + 1 | = N 0 < + ∞ ,

‖ W ( Φ ) − W ( Φ ˜ ) ‖ ∞ ≤ α ‖ Φ − Φ ˜ ‖ ∞ ,

i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n ，式(14)的近似解 φ m , n ( x ) 收敛到精确解 φ ( x ) 。即得

lim n → + ∞ ‖ φ m , n ( x ) − φ ( x ) ‖ ∞ = 0 , 0 < h < 1 ,

对一个固定的n有

lim h → 0 ‖ φ m , n ( x ) − φ ( x ) ‖ ∞ = 0 ,

此外，还可以得到以下误差估计

‖ φ ( x ) − φ m , n ( x ) ‖ ∞ ≤ N 0 ( b − a ) h n + 1 ( n + 2 ) ! ( P 0 + P 1 − α ) ,

其中 P = max i = 0 , 1 , ⋯ , n p i 。

定理2表明，可以选择 m ( i . e   h ) 和n的两个可行值来得到精确解的近似解。

在此基础上，通过数值算例，验证了所提方法的有效性，并与已有的结果进行了比较。

例： [ 9 ] [ 10 ] 给出Hammerstein式的非线性积分方程

φ ( x ) = x exp ( 1 ) + 1 − ∫ 0 1 ( x + y ) e φ ( y ) d y , (26)

其中 0 ≤ x ≤ 1 精确解为 φ ( x ) = x 。我们选择 ( m , n ) = ( 8 , 0 ) 和 ( m , n ) = ( 8 , 1 ) ，可得

φ 8.0 ( x ) = x exp ( 1 ) + 1 − 1 8 ∑ k = 0 7 exp ( φ k ( 0 ) ) ( x + x k + 1 16 ) , (27)

和

φ 8 , 1 ( x ) = x exp ( 1 ) + 1 − 1 8 ∑ k = 0 7 exp ( φ k ( 0 ) ) [ ( x + x k + 1 16 ) + φ k ( 1 ) 8 ( x + x k 2 + 1 24 ) ] , (28)

而且，我们可以计算

φ ′ ( x ) = exp ( 1 ) + 1 − ∫ 0 1 e φ ( y ) d y = c , (29)

其中c是常数。因此，在实际计算中，假设 φ k ( 1 ) = c 是可行的。为了比较，我们进一步选择 ( m , n ) = ( 16 , 0 ) 和 ( m , n ) = ( 16 , 1 ) 进行数值计算。

从表1可以看出，随着m和n的增加，近似解和精确解的误差在减小。

表1. 近似解和精确解 | φ ( x ) − φ m , n ( x ) | 的误差

广西自然科学基金(2016GXNSFAA380261)，广西研究生教育创新计划项目(No. YCSW2017048)。

张利花,廖珊莉,吴远波. Hammerstein型非线性积分方程的一种数值新方法 A New Numerical Method for a Nonlinear Integral Equation of Hammerstein Type[J]. 应用数学进展, 2018, 07(04): 348-355. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.74043