李珍珍¹，刘晓平²

¹新疆大学数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐

²新疆工程学院，新疆 乌鲁木齐

收稿日期：2018年4月7日；录用日期：2018年4月19日；发布日期：2018年4月26日

图中的关联是由图G中的顶点v和图G中与v关联的边e所构成的有序对(v,e)，两个关联对(v,e)和(u,f)相邻当且仅当u = v或e = f或 u v ∈ { e , f } 成立。图的关联着色是指对图中G的关联有序对进行着色，使得相邻关联对着不同的颜色。图G的关联色数 χ i ( G ) ，是指图G的所有关联着色方式中使用的最小颜色的个数。近期，Gregor，luzar和Sotak证明对于 Δ ≤ 4 的图G， χ i ( G ) ≤ 7 。本文主要目标是对于这一结果给以短的证明。

关键词 :关联着色，关联着色数

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图的关联着色的概念是在1993年由Brualdi和Massy [1] 引入的。图G的关联是指由图G中相关联的点v和边e构成的有序对(v,e)。我们称两个关联(v,e)和(u,f)相邻当且仅当，u = v或e = f或 u v ∈ { e , f } 成立。图G的关联着色是指对图G中相邻的关联给以不同的颜色。图G的所有关联着色方式中所用的最少颜色数称为图G的关联着色数，记为 χ i ( G ) 。Brualdi和Massy [1] 提出猜想：对任意图G， χ i ( G ) ≤ Δ ( G ) + 2 。这一猜想在1997年被Guiduli [2] 证明是错误的。但是外平面图、超立方体图等诸多图类使猜想成立。Maydanskiy [3] 证明了Brualdi-Massy猜想对3-正则图成立。

引理1.1：(Maydanskiy [3] )对任意3-正则图G， χ i ( G ) ≤ 5 .

近期，Gregor, Luzar, Sotak [4] 证明了下述定理：

定理1.2：(Gregor, Luzar, Sotak [4] )若G是一个最大度为4的图，则 χ i ( G ) ≤ 7 。

本篇文章主要目标是对这个定理1.2给予新的简短证明。

我们证明的主要思想是借助于Guiduli [2] 提出的关联着色数的一个等价形式。如果一个有向图D，它的连通分支都是有向星(边的方向由中心点指向外)，我们称D为有向星森林。一个有向图D的有向星荫度 [5] ，记为 d s t ( D ) ，是指覆盖D的所有弧所用的有向星森林数的最小值。一个图G的伴随有向图，记为D(G),是把G的每条边用一对双向弧替代所得到的有向图。图G的一个关联对 ( v , e ) 可看作是D(G)的指向v的一个弧，这样图G的一个关联着色就转化为D(G)的弧着色，其每个色类都是一个有向星森林。因此，任何图G， χ i ( G ) = d s t ( D ( G ) ) 。

如果 Δ ( G ) ≤ 3 ，由定理1.1，结论成立。以下对 Δ ( G ) = 4 的情形进行证明.

首先，用Gregor，Luzar，与Sotak [4] 所用方法，选取G的一个最大匹配M。则 V ( G ) \ V ( M ) 是一个独立集。用A表示G中所有未被M覆盖的4度点的集合。为了描述方便，我们称 V ( M ) 中点及M中边为红色点或红色边，A中点为黑色点。显然G中可能会有既不是黑色又不是红色的点。由Hall定理可证明存在匹配 M ′ = { v v ′ : v ∈ A , v ′ ∈ V ( M ) } 覆盖点集A。我们称 M ′ 中边为黑色边。令 G ′ = G \ ( M ∪ M ′ ) ，并称 G ′ 中边为蓝色边。如图1所示。

注意到 M ′ 中任意两个元素不会与 M ′ 中同一边的两个端点关联，由M与 M ′ 选取可得 Δ ( G ′ ) ≤ 3 。由定理1.1，存在 D ( G ′ ) 的弧着色 φ ′ : A ( D ( G ′ ) ) → { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 使得其每个色类都是一个有向星森林。对于任意点x，我们用 φ ′ ( x ) 表示 D ( G ′ ) 中与点x关联的弧所用的颜色集。

下面我们所采用的步骤有别于Gregor，Luzar，与Sotak [4] 的证明方法：修改 φ ′ ，进而得到我们所希望的D(G)的弧着色。

步骤1. 对图G的黑色边 x y ( x ∈ A , y ∈ N ( A ) ) ，着D(G)中弧 a = ( x , y ) 颜色 φ ( a ) ， φ ( a ) ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } \ φ ′ ( y ) 。注意到，这里可能存在蓝色边 x z ( z ∈ N ( A ) ) 使得弧 b = ( z , x ) 满足 φ ′ ( b ) = φ ( a ) 。如果这种情况发生，我们把蓝色弧b所着的颜色去掉。

经过步骤1，图D(G)中没有着色的弧由以下三类集合构成：所有红色弧构成的集合，由N(A)指向A的黑色弧所构成集合，步骤1中蓝色弧b所构成的集合。用 D ′ 表示由D(G)中没有被着色的弧所导出的D(G)的子有向图，如图2所示。

以下证明 d s t ( D ′ ) = 2 。由M是最大匹配，得 D ′ 具有下列性质：

1) ∀ x ∈ V ( D ′ ) ∩ V ( A ) ,   d D ′ − ( x ) ≤ 2 ，x所关联的弧为黑色或蓝色；

2) 任意两条蓝色弧的头部端点互不相同；

3) 如果红色边uv的两个端点都与非红色弧关联，则 N D ′ + ( u ) \ { v } = N D ′ + ( v ) \ { u } 且 | N D ′ + ( u ) \ { v } | = 1 (如图2中的 D 3 )。

由上述性质((1)~(3))知， D ′ 的任 D ′ 意连通分支 C ′ 同构于 D 3 ，C或 D ( K 2 ) (如图2)。显然有 d s t ( D 3 ) = 2 且 d s t ( D 3 ) = 2 ，因此我们假定 C ′ 既不同构于 D 3 ，也不同构于 D ( K 2 ) 。对 C ′ 可以借助于步骤1对 φ ( a ) 的选择做适当调整，使得任意连通分支都不包含黑蓝边交错圈 C 0 ， | C 0 | = 2 ( mod 4 ) ，这类连通分支如图2中C。

如果经过步骤1所得到的 D ′ 的连通分支C中包含黑蓝边交错圈 C 0 ， | C 0 | = 2 ( mod 4 ) 则对 C 0 中黑色弧 a = ( x , y ) 的对应颜色 φ ( a ) 重新选择(此时 φ ( a ) 至少有两种选着)，通过改变 φ ( a ) 的选择消去圈 C 0 再次得到图 D ′ ，此时中若包含 C 0 ，重复此过程且不选择相同黑色弧做颜色替换，依次下去，考虑到性质(1)及点的度数限制，有限步可得到 D ′ ，使其连通分支都不包含黑蓝边交错圈 C 0 ， | C 0 | = 2 ( mod 4 ) 。

图1. M，M'，G'及它们的颜色

图2. 子有向图D'及其可能的分支 C , D 3 , D (K2)

步骤2. 对与图C同构的连通分支进行弧着色，首先把图中C蓝色弧用颜色6进行着色，且对图C中与蓝色弧具有相同尾部端点的红色弧和黑色弧用颜色6进行着色；其次把剩余的未被着色的黑色弧全部着7色并且把与黑色弧有公共尾部端点的红色弧着为颜色7；最后把所有未被着色的红色弧用颜色6进行弧着色(如图2)，因中C不具有黑蓝边交错圈 C 0 ， | C 0 | = 2 ( mod 4 ) ，此着色方式可行。

通过步骤2所得的C中的每个色类均为有向星森林，所以 d s t ( D ′ ) = 2 。

因此， χ i ( G ) = d s t ( D ( G ) ) ≤ 7 。

李珍珍,刘晓平. 最大度为4的图的关联着色数 Incidence Coloring of Graphs G with Δ(G)≤4*[J]. 应用数学进展, 2018, 07(04): 334-337. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.74041