本文主要采用首次积分法对广义带导数的非线性Schrodinger方程进行研究，通过引入行波变换化简方程，将原广义带导数的非线性Schrodinger方程转化为常微分方程，再根据多项式的整除定理，得到广义带导数的非线性Schrodinger方程的精确行波解。 The first integral method is mainly adopted in this paper to study the nonlinear generalized Schrodinger equation with derivative. By introducing the traveling wave transformation, the original nonlinear generalized Schrodinger equation with derivative has been changed into an ordinary differential equation. Then according to the division theorem of polynomial, exact traveling wave solutions of the nonlinear generalized Schrodinger equation with derivative are obtained.
杨娜，陈龙伟*
云南财经大学统计与数学学院，云南 昆明
收稿日期：2018年3月29日；录用日期：2018年4月12日；发布日期：2018年4月20日
本文主要采用首次积分法对广义带导数的非线性Schrodinger方程进行研究，通过引入行波变换化简方程，将原广义带导数的非线性Schrodinger方程转化为常微分方程，再根据多项式的整除定理，得到广义带导数的非线性Schrodinger方程的精确行波解。
关键词 :首次积分法，常微分方程，行波解
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关于非线性偏微分方程行波解的探讨在研究非线性物理现象中起着非常重要作用。而非线性偏微分方程的精确求解及其解法研究作为非线性科学中的前沿研究课题和热点问题，更是极具挑战性。近几年，求解非线性偏微分方程的方法得到了一定的发展，例如，F展开法 [
本文将利用首次积分法求解广义带导数的非线性Schrodinger方程精确解，方程如下：
i u x = u t t + 2 | u | 2 u + i α ( | u | 2 u ) t + i β ( | u | 2 ) t u + γ | u | 4 u . (1)
其中 α , β , γ 为实常数，而u是一个复函数。
作变换 u ( x , t ) = f ( ξ ) e i η ， ξ = c x + k t ， η = w x + c 2 k t 。其中 c , k , w 为实常数。将上式带入(1)式中，并
分离实部和虚部，整理可得到一个常微分方程组
{ ( c 2 4 k 2 − w ) f = k 2 f ″ + ( 2 − α c 2 k ) f 3 + γ f 5 , ( 3 α + 2 β ) k f 2 f ′ = 0. (2)
为了求解方程(1)的非平凡解，我们需假设 3 α + 2 β = 0 且 k ≠ 0 ，于是，可以得到
f ″ = − r k 2 f 5 + α c − 4 k 2 k 3 f 3 + ( c 2 4 k 4 − w k 2 ) f . (3)
为了计算简便，我们令 − r k 2 = A ( A ≠ 0 ) ， α c − 4 k 2 k 3 = B ， c 2 4 k 4 − w k 2 = C ，可以得到
f ″ = A f 5 + B f 3 + C f . (4)
下面引入新的变量 X = f ( ξ ) ， Y = f ′ ( ξ ) ，则(4)式转化为
{ X ′ = Y , Y ′ = A X 5 + B X 3 + C X . (5)
为了使用首次积分法，我们设
P ( X , Y ) = ∑ i = 0 m a i ( X ) Y i = 0. (6)
其中 a i ( X ) , i = 0 , 1 , 2 , ⋯ , m 是关于X的多项式。
由多项式的整除原理知，存在多项式 T ( X , Y ) = g ( X ) + h ( X ) Y ，使得
d P d ξ = ∂ P ∂ X ⋅ ∂ X ∂ ξ + ∂ P ∂ Y ⋅ ∂ Y ∂ ξ = ( g ( X ) + h ( X ) Y ) ( ∑ i = 0 m a i ( X ) Y i = 0 ) . (7)
当 m = 1 时，将(5)和(6)式带入到(7)，并且由 Y i ( i = 0 , 1 , 2 ) 的系数相等，对应 Y 2 , Y 1 , Y 0 的系数，分别得到
a ′ 1 ( X ) = a 1 ( X ) h ( X ) , (8)
a ′ 0 ( X ) = a 1 ( X ) g ( X ) + a 0 ( X ) h ( X ) , (9)
a 1 ( X ) ( A X 5 + B X 3 + C X ) = a 0 ( X ) g ( X ) . (10)
由(8)式可知， a 1 ( X ) 是常数， h ( X ) = 0 。为方便起见，不妨设 a 1 ( X ) = 1 。而由(9)式得 d e g [ a 0 ( X ) ] = d e g [ g ( X ) ] + 1 。又根据(10)式知 d e g [ g ( X ) ] = 2 ， d e g [ a 0 ( x ) ] = 3 。设
g ( X ) = A 2 X 2 + A 1 X + A 0 , (11)
由(9)式得
a 0 ( X ) = 1 3 A 2 X 3 + 1 2 A 1 X 2 + A 0 X + B 0 , (12)
其中， B 0 为积分常数。将 a 0 ( X ) , a 1 ( X ) , g ( X ) 代入(10)式，由待定系数法，可得当 A , C > 0 ，且 A = 3 B 2 16 C
时，
A 2 = ± 3 A , A 1 = 0 , A 0 = ± C , B 0 = 0. (13)
将上式代入到(6)式中得
± 1 3 3 A X 3 ± C X + Y = 0. (14)
由(14)和(5)得
X ′ = ± 1 3 3 A X 3 ± C X . (15)
解常微分方程(15)得到
X = ± C e 2 C ( ξ + ξ 01 ) ( 3 − 3 3 A e 2 C ( ξ + ξ 01 ) ) − 1 + 3 A e 2 C ( ξ + ξ 01 ) , (16)
X = ± 3 C e 2 C ( ξ + ξ 01 ) − 3 3 A C 3 A − e 2 C ( ξ + ξ 01 ) , (17)
其中 ξ 01 为任意常数。
从而得到方程(1)的下列形式的精确解
u ( x , t ) = ± ( C e 2 C ( ξ + ξ 01 ) ( 3 − 3 3 A e 2 C ( ξ + ξ 01 ) ) − 1 + 3 A e 2 C ( ξ + ξ 01 ) ) e i η , (18)
u ( x , t ) = ± ( 3 C e 2 C ( ξ + ξ 01 ) − 3 3 A C 3 A − e 2 C ( ξ + ξ 01 ) ) e i η . (19)
当 m = 2 时，即
P ( X , Y ) = a 0 ( X ) + a 1 ( X ) Y + a 2 ( X ) Y 2 . (20)
将(5)和(20)式代入(7)式，通过比较 Y i ( i = 0 , 1 , 2 , 3 ) 的系数，对应 Y 3 , Y 2 , Y 1 , Y 0 的系数，分别得到
a ′ 2 ( X ) = a 2 ( X ) h ( X ) , (21)
a ′ 1 ( X ) = a 2 ( X ) g ( X ) + a 1 ( X ) h ( X ) , (22)
a ′ 0 ( X ) + 2 a 2 ( X ) Y ′ = a 1 ( X ) g ( X ) + a 0 ( X ) h ( X ) , (23)
a 1 ( X ) Y ′ = a 0 ( X ) g ( X ) = a 1 ( X ) ( A X 5 + B X 3 + C X ) . (24)
因为 a i ( X ) ( i = 0 , 1 , 2 ) , h ( X ) , g ( X ) 均是关于X的多项式，于是由(21)~(24)得： d e g [ a 2 ( X ) ] = 0 , h ( X ) = 0 ， d e g [ a 0 ( X ) ] = 6 。为方便起见，这里不妨设 a 2 ( X ) = 1 。
下面分两种情况讨论 a 1 ( X ) 和 g ( X ) 。
1) 当 a 1 ( X ) = 0 , g ( X ) = 0 时，由(22)和(24)知，满足条件。又由(23)知，
a 0 ( X ) = − 1 3 A X 6 − 1 2 B X 4 − C X 2 + A 0 ， A 0 为任意常数。
将 a 0 ( X ) , a 1 ( X ) , a 2 ( X ) 代入(6)式得 Y 2 = 1 3 A X 6 + 1 2 B X 4 + C X 2 − A 0 。即
X ′ = ± 1 3 A X 6 + 1 2 B X 4 + C X 2 − A 0 . (25)
为计算方便，我们只讨论正号的情况，且设 Φ = X 2 ，则 X ′ = 1 2 Φ Φ ′ ，那么上式变为
Φ ′ = 2 Φ ( 1 3 A Φ 3 + 1 2 B Φ 2 + C Φ − A 0 ) . (26)
设 f ( Φ ) = 1 3 A Φ 3 + 1 2 B Φ 2 + C Φ − A 0 ，于是根据三次方程的判别式D及盛金公式，有以下几种情况：
a) 当 B 2 = 4 A C , A 0 = − B C 6 A 时，方程有一个三重根 B 2 A ，则 f ( Φ ) = 1 3 A ( Φ − B 2 A ) 3 ，
Φ ′ = 2 A 3 Φ ( Φ − B 2 A ) 3 。那么此时， Φ = − B 3 ( ξ + ξ 02 ) 24 A 2 − 2 A B 2 ( ξ + ξ 02 ) ，其中 ξ 02 为任意常数。而 X = ± Φ ，
于是得到方程(1)下列形式的精确解
u ( x , t ) = ± ( − B 3 ( ξ + ξ 02 ) 24 A 2 − 2 A B 2 ( ξ + ξ 02 ) ) 1 2 e i η . (27)
b) 当 Δ < 0 时，方程有三个不相等的实根 Φ 1 , Φ 2 , Φ 3 ，于是 f ( Φ ) = 1 3 A ( Φ − Φ 1 ) ( Φ − Φ 2 ) ( Φ − Φ 3 ) ，而 Φ ′ = 2 A 3 Φ ( Φ − Φ 1 ) ( Φ − Φ 2 ) ( Φ − Φ 3 ) ，那么此时， Φ = Φ 2 Φ 3 s n 2 ( ω 1 ( ξ + ξ 03 ) , k 1 ) ( Φ 2 − Φ 3 ) + Φ 3 s n 2 ( ω 1 ( ξ + ξ 03 ) , k 1 ) ，其中 ξ 03 为任意常数， ω 1 2 = A 3 Φ 1 ( Φ 3 − Φ 2 ) ， k 1 2 = ( Φ 1 − Φ 2 ) Φ 3 ( Φ 3 − Φ 2 ) Φ 1 。
于是得到方程(1)下列椭圆函数形式的精确解
u ( x , t ) = ± ( Φ 2 Φ 3 s n 2 ( ω 1 ( ξ + ξ 03 ) , k 1 ) ( Φ 2 − Φ 3 ) + Φ 3 s n 2 ( ω 1 ( ξ + ξ 03 ) , k 1 ) ) 1 2 e i η . (28)
c) 当 Δ = 0 时，方程有三个实根，其中有一个两重根，分别为 Φ 4 , Φ 5 (为两重根)。于是
f ( Φ ) = 1 3 A ( Φ − Φ 4 ) ( Φ − Φ 5 ) 2 ， Φ ′ = 2 ( Φ − Φ 5 ) A 3 Φ ( Φ − Φ 4 ) ，此时， Φ = − Φ 5 ( e ρ ( ξ + ξ 04 ) − A Φ 4 ) 2 4 Φ 5 e ρ ( ξ + ξ 04 ) − ( e ρ ( ξ + ξ 04 ) + A Φ 4 ) 2 ，其中 ξ 04 为任意常数， ρ = − 2 3 3 A Φ 5 ( Φ 5 − Φ 4 ) 。
于是得到方程(1)以下指数函数形式的精确解
u ( x , t ) = ± ( − Φ 5 ( e ρ ( ξ + ξ 04 ) − A Φ 4 ) 2 4 Φ 5 e ρ ( ξ + ξ 04 ) − ( e ρ ( ξ + ξ 04 ) + A Φ 4 ) 2 ) 1 2 e i η . (29)
d) 当 Δ > 0 时，方程有一个实根 Φ 6 和一对共轭虚根 Φ = b ± a i 。于是
f ( Φ ) = 1 3 A ( Φ − Φ 6 ) [ ( Φ − b ) 2 + a 2 ] ， Φ ′ = 2 A 3 Φ ( Φ − Φ 6 ) [ ( Φ − b ) 2 + a 2 ] ，此时， Φ = Φ 6 N ( 1 − c n ( ω 2 ( ξ + ξ 05 ) , k ) ) ( M + N ) − ( M + N ) c n ( ω 2 ( ξ + ξ 05 ) , k ) ，其中 ξ 05 为任意常数， M 2 = ( Φ 6 − b ) 2 + a 2 ， N 2 = a 2 + b 2 ，
于是得到方程(1)下列椭圆函数形式的精确解
2) 当
妨设
再将
a)
可以得出
b)
可以得出
c)
可以得出
本文我们利用首次积分法，根据m的不同情况进行讨论，对GDNLSE求精确解，得到了指数形式波解和其他形式的行波解等。另外，关于首次积分法中的m，本文只讨论了m = 1和m = 2两种情形。对于m = 3，甚至m更大的情形，我们没有讨论。m越大，求解会越复杂，甚至可能会导致无法求解。因此，进一步发展和完善首次积分法，将成为我们未来研究的课题。
杨 娜,陈龙伟. 基于首次积分法研究GDNLSE方程的精确解 The First Integral Method for Solving Exact Solution of GDNLSE[J]. 应用数学进展, 2018, 07(04): 303-309. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.74036
https://doi.org/10.1016/S0960-0779(02)00077-2
https://doi.org/10.1016/j.amc.2005.12.035
https://doi.org/10.1007/s11071-007-9262-x