Venouziou等人于2008年首次给出了多维Bedrosian定理(包含二维、三维以及更高维度)的一个数学表达式 [ 24 ] (即方向Hilbert变换对应的Bedrosian定理，我们简称为方向Bedrosian定理)，其通过对多维空间进行一维Bedrosian定理(在每个一维空间中均作为一次一维操作处理)的多次组合获得多维Bedrosian定理的理论条件和表达形式。Venouziou等学者普遍认为，要获得多维信号类似于一维函数那样的Bedrosian定理，可以通过分析不同维空间的一维Bedrosian定理进行讨论，把一维Bedrosian定理的理论条件在二维和多维空间内进行支撑范围的并集和交集等算子的运算。但是，Venouziou等人的方向Bedrosian定理并没有从信号处理的角度进行深入分析，同时其也没有考虑多维信号(例如图像和视频)的特性 [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] (包括纹理结构特性、统计特性、自然特性等)，因此对于方向相关的信号适应性比较差，且其纯粹考虑从数学角度对一维Bedrosian定理在二维和多维空间上的直接扩展。

文献 [ 23 ] 在2011年则从频域的角度分析和探讨复数信号，并对方向Bedrosian定理进行了深入了分析研究，且将其扩展到广义分数阶域内 [ 23 ] ，并且给出了详细的参数讨论，从信号处理角度(分数阶Fourier变换以及线性正则变换)对二维Bedrosian定理开展了详细的分析研究。同时，该作者还分析了交叉象Hilbert变换的Bedrosian定理(本文简称交叉象Bedrosian定理)，并给出了详细的应用及对应的参数、理论条件、表达形式等。但是，该理论也只适合于广义域内的方向不相关的二维图像，并不适合于其他类型的信号，且其在图像中的具体应用并没有详细深入地加以论证(详见定理1~6)。

下面给出文献 [ 23 ] 中的二维广义Bedrosian定理部分结果。

定理1：对于两个二维函数 f ( x , y ) 和 h ( x , y )   ( x , y ∈ ℜ ) ，且当 | u | > a 时 f p ( u , y ) = 0 ，当 | v | < b 时 h p ( v , y ) = 0 ， b ≥ a ≥ 0 ， α = p π 2 ，令 f ¯ ¯ ( x , y ) = f ( x , y ) e i x 2 2 cot α ，那么

H α x { f ¯ ¯ ( x , y ) h ( x , y ) } = f ¯ ¯ ( x , y ) ⋅ H α x { h ( x , y ) } .

定理2：对于两个二维函数 f ( x , y ) 和 h ( x , y )   ( x , y ∈ ℜ ) ，且当 | u | > a 时 f p ( u , y ) = 0 ，当 | v | < b 时 h p ( x , v ) = 0 ， b ≥ a ≥ 0 ， β = p π 2 ，令 f ¯ ¯ ( x , y ) = f ( x , y ) e i y 2 2 cot β ，那么

H β y { f ¯ ¯ ( x , y ) h ( x , y ) } = f ¯ ¯ ( x , y ) ⋅ H β y { h ( x , y ) } .

定理3：对于两个二维函数 f ( x , y ) 和 h ( x , y )   ( x , y ∈ ℜ ) ，且当 | u | > a 1 且 | v | > b 1 时有 f p 1 , p 2 ( u , v ) = 0 ，当 | w | < a 2 且 | z | < b 2 时有 h p 1 , p 2 ( w , z ) = 0 ，同时有 a 2 ≥ a 1 ≥ 0 和 b 2 ≥ b 1 ≥ 0 成立， α = p 1 π 2 ， β = p 2 π 2 ，令 f ¯ ¯ ( x , y ) = e i x 2 2 cot α f ( x , y ) e i y 2 2 cot β ，那么

H α , β x , y { f ¯ ¯ ( x , y ) h ( x , y ) } = f ¯ ¯ ( x , y ) ⋅ H α , β x , y { h ( x , y ) } .

定理4：对于两个二维函数 f ( x , y ) 和 h ( x , y )   ( x , y ∈ ℜ ) ，且当 u < − a 时 f p ( u , y ) = 0 ，当 v < b 时 h p ( v , y ) = 0 ， b ≥ a ≥ 0 ， α = p π 2 ，令 f ¯ ¯ ( x , y ) = f ( x , y ) e i x 2 2 cot α ，那么

.

定理5：对于两个二维函数 f ( x , y ) 和 h ( x , y )   ( x , y ∈ ℜ ) ，且当 u < − a 时 f p ( u , y ) = 0 ，当 v < b 时 h p ( x , v ) = 0 ， b ≥ a ≥ 0 ， β = p π 2 ，令 f ¯ ¯ ( x , y ) = f ( x , y ) e i y 2 2 cot β ，那么

H β y { f ¯ ¯ ( x , y ) h ( x , y ) } = f ¯ ¯ ( x , y ) ⋅ H β y { h ( x , y ) } .

定理6：对于两个二维函数 f ( x , y ) 和 h ( x , y )   ( x , y ∈ ℜ ) ，且当 u < − a 1 且 v < − b 1 时有 f p 1 , p 2 ( u , v ) = 0 ，当 w < a 2 且 时有 h p 1 , p 2 ( w , z ) = 0 ，同时有 a 2 ≥ a 1 ≥ 0 和 b 2 ≥ b 1 ≥ 0 成立， α = p 1 π 2 ， β = p 2 π 2 ，令 f ¯ ¯ ( x , y ) = e i x 2 2 cot α f ( x , y ) e i y 2 2 cot β ，那么

H α , β x , y { f ¯ ¯ ( x , y ) h ( x , y ) } = f ¯ ¯ ( x , y ) ⋅ H α , β x , y { h ( x , y ) } .

表3. 二维Bedrosian定理国内外研究现状

为了使得二维Bedrosian定理能够在图像处理中获得较好的应用，一些学者 [ 38 ] 则从二维图像信号单分量和多分量定义的角度使用了二象Hilbert变换对应的Bedrosian定理(本文简称二象Bedrosian定理)，这是二维Bedrosian定理首次对图像进行应用的具体实例(详见文献 [ 38 ] )，其通过二象Bedrosian定理或者准则首次界定了二维单分量、多分量的定义和概念，为后续图像的分量分解以及分析提供了一定的理论依据。可惜的是，他们只是借鉴了二象Bedrosian定理给出的一般性概念，并没有给出二象Bedrosian定理在图像中的具体应用的理论条件，也没有给出二象Bedrosian定理相应的理论推导和详细证明，所以总体上停留在概念上。

随后，一些学者 [ 37 ] 于2014年又在Venouziou等人工作 [ 24 ] 的基础上进一步对多维(包括二维及以上的高维)方向Bedrosian定理进行研究，提升了Venouziou等人提出的多维方向Bedrosian定理的理论条件，更进一步地给出了较为完善的理论分析和证明，且将Bedrosian定理从实数相乘扩展到复数相乘等更为复杂的结构形式，进一步利用Bedrosian定理的等式关系构造出时频分析基函数，从而为图像的理论分析和应用提供了理论基础。可惜的是，这些学者与Venouziou等人工作一样，其理论对于具有方向相关性的图像适应性较差，且不是从图像处理角度而是纯粹从数学理论条件上加以探讨分析，且也没有给出在图像处理方面的具体应用实例及验证结果。同时，在一维信号分解思想的启发下 [ 32 ] ，其他学者 [ 33 ] 通过基于方向Bedrosian定理和交叉象Bedrosian定理的组合，从而对合成的标准图像分解进行分析，获得的分解性能在某些方面明显优于以往的图像分解方法 [ 38 ] ，同时也就揭示了二维Bedrosian定理在图像分解方面的可能的巨大潜力。必须强调的是，在理论和应用方面还有大量的工作需要不断地尝试和探索，包括对二维图像的幅相求解 [ 34 ] 及进一步的理论分析等。

总之，到目前为止也只有方向Hilbert变换及交叉象Hilbert变换有它们对应的二维Bedrosian定理等相关理论，其他的二维Bedrosian定理目前基本上是属于空白 [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 40 ] (国内外研究现状详见表3)。而且方向Bedrosian定理及交叉象Bedrosian定理目前也只是一维Bedrosian定理在二维信号上的直接拓展，并没有考虑图像的结构属性。

不同二维Bedrosian定理理论推导及证明主要包含以下几个内容：

1) 二象Bedrosian定理理论推导与证明

根据二象Hilbert变换的构造方法和特性，我们拟把频域分为9个区域(四个半轴、原点再加上四个象限设为9个区域)，通过对这些区域进行不同组合获取标准和非标准二象Bedrosian定理，测试不同区域组合下二象Bedrosian定理的理论依据和物理意义、二象Bedrosian定理的适应范围等，并在时域内给出Bedrosian定理的数学理论分析。

2) 单象Bedrosian定理理论推导与证明

在充分分析方向Bedrosian定理和交叉象Bedrosian定理的基础上，构造单象Bedrosian定理理论形式，对方向Bedrosian定理和交叉象Bedrosian定理进行多种组合，来推导证明单象Bedrosian定理，并分析单象Bedrosian定理的特性和应用。

3) 四元Bedrosian定理理论推导与证明

对于四元信号，一是从时域四元数的特性出发，构造和推导证明四元Bedrosian定理。二是从四元Fourier变换域出发，通过不同的象限组合，构造不同的四元Bedrosian定理，测试不同象限组合下四元Bedrosian定理的特性和适用范围，并从四元解析分析的角度加以理论证明。

4) 单基解析Bedrosian定理理论推导与证明

从Reisz变换的特性出发，结合矢量信号的性质，开发由两个方向Bedrosian定理结合的单基解析Bedrosian定理。另外，尝试结合方向Bedrosian定理和单象Bedrosian定理来构造新的Bedrosian定理，并推导出新Bedrosian定理的理论表达，测试新Bedrosian定理对应的特性和适用范围。

5) 二维广义Bedrosian定理理论推导与证明

在二维分数阶Fourier变换域内进行二维广义Bedrosian定理的构造，给出相应的数学理论分析和推导证明，并解释相应的物理意义。

应用Bedrosian定理对图像进行分解，目前的文献报道并不多，主要包括文献 [ 33 ] [ 41 ] 等。核心思想：使用不同二维Bedrosian定理，只有满足一定频率条件的分量信号变成了复数，而其他分量信号保持不变，因此只要对图像信号多次进行嵌套应用Bedrosian定理，实现分量信号的差异性变化，从而根据分量信号的不同变化来区分和剥离不同分量。其所涉及的主要算法包括如下两种：

算法思路1 [ 33 ] [ 41 ] ：

1) 给定二维信号B(根据需要给定，前期工作表明目前主要靠经验信息)和原图像A相乘，建立合成图像C；

2) 对信号B依据交叉象Bedrosian定理进行交叉象Hilbert变换得到π/2相移信号D，把D和原图像A相乘，建立合成图像E；

3) 对信号C依据交叉象Bedrosian定理进行交叉象Hilbert变换后再与D相乘得到信号F；

4) 对信号D依据交叉象Bedrosian定理进行交叉象Hilbert变换后再与C相乘得到信号G；

5) 做差H=F-G即为A的一个分量A1的分解结果；

6) 令A-A1=A，对A执行步骤 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 的操作，即可获得图像A的多分量分解结果。

算法思路2 [ 33 ] [ 41 ] ：

1) 原图像A依据方向Bedrosian定理进行方向Hilbert变换得到复数图像B；

2) 信号B依据方向Bedrosian定理进行方向Hilbert变换得到复数图像C；

3) C的共轭与B相乘得到复数图像D；

4) 对D进行Fourier变换后取低频分量，而后再把低频分量进行Fourier逆变换得到图像E；

5) E与C相乘得到图像F，取F的实部即为A图像的一次分解结果；

6) 对A不断执行步骤 [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] 的操作，即可获得图像A的多分量分解结果。

从文献测试结果来看，两种算法具有不同的适应范围：算法1适合于具有剧烈频率变化的图像，而算法2适合于频率变化相对缓慢的图像(见图2结果比对)。前期结果表明，只要根据需要确定好二维信号B，通过Bedrosian定理很有希望找到合适的参量，实现自适应的精细分解。但是，需要测试的工作尚还有很多。

幅相分析一直是信号处理领域的基础性工作之一，在一维信号中，应用一维Bedrosian定理为幅度求解、相位分析、频率分析等提供了简洁明了、直接有力的方式，可以充分利用实数复数转换过程的性质，为后续处理提供一种有效的时频分析工具。借助于一维Bedrosian定理的幅度求解、相位分析、频率分析等基本思路，针对不同的二维Bedrosian定理，有些学者 [ 41 ] 在工作中进行了理想情况下不同纹理相乘时直接进行Hilbert变换获得的结果，如表4所示，有很多情况是失败的(如表4最后一行的环形结构图像，无法产生任何有意义的相移形式，也就是说，在二维信号中不能再像一维信号那样直接进行Hilbert变换就可以实现幅相分析)，因此需要我们从新的角度定义二维Bedrosian定理的理论形式并进行相关理论及应用研究。前期工作主要思路包括以下几种 [ 26 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 41 ] ：