王丹¹，刘晓平²

¹新疆大学，数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐

²新疆工程学院，新疆 乌鲁木齐

收稿日期：2018年2月22日；录用日期：2018年3月5日；发布日期：2018年3月13日

对于一个简单图G，变换图G⁺⁻⁻定义为 V ( G + − − ) = V ( G ) ∪ E ( G ) ，且两个顶点 x , y ∈ V ( G + − − ) 相邻当且仅当满足下列三个条件：1) x , y ∈ V ( G ) 并且 x , y ∈ E ( G ) ，2) x , y ∈ E ( G ) 并且 x , y 在G 中不相邻，3) x和y，其中一个在 V ( G ) 中，另一个在 E ( G ) 中，并且它们在G中关联。在这篇文章里，我们将证明G⁺⁻⁻是平面的当且仅当 | E ( G ) | ≤ 2 或者与下列的某个图同构：C₃，C₃+ K₁，P₄，P₄+ K₁，P₃+ K₂，P₃+ K₂+ K₁，K_1,3，K_1,3+ K₁，3K₂，3K₂+ K₁，3K₂+ 2K₁，C₄，C₄+ K₁，2P₃。

关键词 :全图，平面性，变换图

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这篇文章里所有的图都是有限的，简单的，无向的。在 [ 1 ] 中可以找到没有被定义的术语和符号。图 G = ( V ( G ) ∪ E ( G ) ) ， | V ( G ) | 是G的顶点的个数， | E ( G ) | 是G的边的个数，v的邻集N_G(v)是G中所有与v相邻的顶点的集合。因为G是简单图，所以有 | N G ( v ) | = d G ( v ) 。

假设V'是V(G)的一个非空子集。图G的导出子图 G [ V ′ ] 定义为 V ( G [ V ′ ] ) = V ′ 并且 u v ∈ E ( G [ V ′ ] ) 当且仅当 u v ∈ E ( G ) 。两个图 G = ( V ( G ) , E ( G ) ) ， H = ( V ( H ) , E ( H ) ) 的并，记为 G ∪ H ，点集是 V ( G ) ∪ V ( H ) ，边集是 E ( G ) ∪ E ( H ) 。如果它们不交，即 V ( G ) ∩ V ( H ) = ∅ ，它们的并记为G + H。

图G的线图L(G)的点集是E(G)，其两个顶点相邻当且仅当它们在G中相邻。图G的全图G⁺⁺⁺，它的点集是 V ( G ) ∪ E ( G ) ，任意两点相邻当且仅当它们在G中或者是相邻的，或者是关联的。吴和孟 [ 2 ] 推广了全图的概念，并且引入了一些新的变换图。我们也采用了G^xyz这个符号， x , y , z ∈ { + , − } ，这个符号是在 [ 2 ] 中被引入的。

如果一个图可以在平面中画出来使得他们的边不交，只有在端点处相交，我们就说这个图在平面上是可嵌入的，或者是可平面的。图G的剖分是在G的边上插入一系列的点之后得到的。Behzad [ 3 ] 刻画了图G的变换图G⁺⁺⁺是可平面的。刘 [ 4 ] 给出了图G的变换图G⁻⁻⁻是可平面的充要条件。吴等 [ 5 ] 证明了图G的变换图G⁻⁺⁺可平面的充要条件是G点数至多为4。读者可参考 [ 6 ] - [ 13 ] 了解更多的关于图G^xyz的结论。按习惯，n个顶点的完全图，圈，路分别记为K_n，C_n，P_n。两部分中的顶点数分别为m，n的完全二部图记为K_m,n。

文章的第二部分我们使用了著名的Kuratowski [ 1 ] 定理。

定理1.1：一个图是可平面的当且仅当它不包含K₅或者K_3,3的剖分。

推论1.2：每个可平面简单图都有一个顶点的度数至多为5。

下面是这篇文章的主要结论。

定理1.3：对于一个边数为m的图G，G⁺⁻⁻是可平面的当且仅当m ≤ 2或者G与下面的某个图同构：C₃，C₃+ K₁，P₄，P₄+ K₁，P₃+ K₂，P₃+ K₂+ K₁，K_1,3，K_1,3+K₁，3K₂，3K₂+ K₁，3K₂+ 2K₁，C_4，C₄+ K₁，2P₃。

证明：由引理2.1~2.5的结论可以立即得到。

下面的结论容易证明，但很有用。

引理2.1：如果H是G的子图，那么H⁺⁻⁻是G⁺⁻⁻的子图。

由引理2.1，如果H⁺⁻⁻是非可平面的， G = H + k K 1 ，k是一个整数，并且k ≥ 1，那么G⁺⁻⁻是非可平面的。我们很容易检测到对于边数m ≤ 2的图，G⁺⁻⁻是非可平面的。接下来我们考虑边数为3的图，在图1中我们精确地给出了所有边数为3的并且没有孤立点的5个图。

引理2.2：对于一个边数为3的图G，G⁺⁻⁻是可平面的当且仅当

G ∈ { C 3 , C 3 + K 1 , P 4 , P 4 + K 1 , P 3 + K 2 , P 3 + K 2 + K 1 , K 1 , 3 , K 1 , 3 + K 1 , 3 K 2 , 3 K 2 + K 1 , 3 K 2 + 2 K 1 } .

证明：充分性：正如图2中所示：

G⁺⁻⁻：3K₂+ 2K₁，P₃+ K₂+ K₁，K_1,3+ K₁，C₃+ K₁，P₄+ K₁的变换图G⁺⁻⁻是可平面的。根据引理2.1，C₃，P₄，P₃+ K₂，K_1,3，3K₂，3K₂+ K₁的变换图G⁺⁻⁻也是可平面的。

必要性：对于每一个图 G ∈ { P 3 + K 2 + 2 K 1 , K 1 , 3 + 2 K 1 , C 3 + 2 K 1 , P 4 + 2 K 1 } ，其变换图 ( G + 2 K 1 ) + − − 是非可平面的，因为它们都包含K_3,3的剖分，如图3所示。

图1. 所有边数为3的没有孤立点的图

图2. 3K₂+ 2K₁，P₃+ K₂+ K₁，K_1,3+ K₁，C₃+ K₁，P₄+ K₁的变换图G⁺⁻⁻

图3. P₃+ K₂+ 2K₁，K_1,3+ 2K₁，C₃+ 2K₁，P₄+ 2K₁的变换图G⁺⁻⁻

图4. 所有边数为4的没有孤立点的图

图5. 一些边数为4的变换图

图6. 一些边数为4的变换图

现在我们来考虑边数为4的图，我们精确地给出了11种边数为4的没有孤立点的图，如图4所示。

引理2.3：对于一个边数为4的图G，G⁺⁻⁻是可平面的当且仅当 G ∈ { C 4 , C 4 + K 1 , 2 P 3 } 。

证明：充分性：在图6和图7中我们给出了 ( C 4 + K 1 ) + − − ， ( 2 P 3 ) + − − 平面嵌入，因此 ( C 4 + K 1 ) + − − ， ( 2 P 3 ) + − − 是可平面的，由引理2.1， ( C 4 ) + − − 也是可平面的。

必要性：设G是一个边数为4的图，那么G可以由图4增加一些孤立点得到，由图4~图7和引理2.1，如果 G ∉ { C 4 , C 4 + K 1 , 2 P 3 } ，G⁺⁻⁻是非可平面的。

现在我们来考虑边数为5的图。我们精确地给出了边数为5的没有孤立点的图，如图8所示。

引理2.4：对于边数为5的图G，其变换图G⁺⁻⁻是非可平面的。

证明：因为图G是一个边数为5的图(如图8所示)，G包含一个边数为4的子图H，不同构于 C 4 , C 4 + K 1 , 2 P 3 。由引理2.3，H⁺⁻⁻是非平面图。又由引理2.1知，H⁺⁻⁻是G⁺⁻⁻的子图。所以，G⁺⁻⁻也是非平面的。

引理2.5：如果图G的边数m ≥ 6，那么G⁺⁻⁻是非可平面的。

图7. 一些边数为4的变换图

图8. 所有边数为5的没有孤立点的图

证明：显然，G包含一个边数为5的子图H，由引理2.1得到H⁺⁻⁻是G⁺⁻⁻的子图。更进一步，由引理2.4得到G⁺⁻⁻是非可平面的。

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