杜兰，龙品红^*

宁夏大学数学统计学院，宁夏 银川

收稿日期：2018年1月9日；录用日期：2018年1月24日；发布日期：2018年1月31日

本文给出了群膨胀的一些性质，然后证明了群膨胀是左L-半群的一个充要条件。最后，给出了有限循环群膨胀的基本性质。

关键词 :有限循环群，群的膨胀，交换半群

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设S为一个半群，T为S的子半群， Φ 为S到T的映射。如果对于任意 t ∈ T 有 Φ ( t ) = t ，对于任意 x , y ∈ S 有 x y = Φ ( x ) Φ ( y ) ，那么称S为它的子半群T的膨胀，称 Φ 为S到T的膨胀映射。如果半群S是群G的膨胀，那么S一定是拟正则半群。若拟正则半群S的幂等元集合E为S的理想，则称S为E-理想拟正则半群(见 [ 1 ] [ 2 ] )。

由对于半群S，如果 S 2 有单位元，那么S是 S 2 的膨胀(见 [ 3 ] )。设 a , b 是半群S中的元素，如果S中的元素 x , y 使得 a x = y a = b ，那么称 a | b (见 [ 4 ] )。设S为半群， f ∈ S 。若对任意 a ∈ S 有 f a f = f ，则称 f 为S的强幂等元。设S为周期半群，若S的幂等元皆为强幂等元，则称S为强周期半群(见 [ 5 ] )。本文主要研究有限循环群膨胀的基本性质。为此，首先考虑半群的一些等价关系，然后给出了群膨胀的一些性质，并且证明群膨胀是左L-半群的一个充要条件。

设S是半群， x ∈ S ， λ x ， ρ x 表示S上的二元关系( [ 6 ] )：

λ x = { ( a , b ) ∈ S × S | x a = x b } ;

ρ x = { ( a , b ) ∈ S × S | a x = b x } .

下面我们定义半群上的等价关系。

定义 1.1.设S是半群， x ∈ S ，规定

η x = λ x ∩ ρ x ;

δ x = { ( a , b ) ∈ S × S | x a x = x b x } ;

α x = { ( a , b ) ∈ S × S | a x a = b x b } .

引理 1.2.设S是半群， x ∈ S ，则 η x ， δ x 和 α x 都是S上的等价关系，并且 λ x ⊆ δ x ， ρ x ⊆ δ x ， η x ⊆ δ x 。

引理 1.3.如果S是交换半群， x ∈ S ，那么 λ x = ρ x = η x ，但是 λ x ≠ α x 。

例 1.4.令半群 S = { e , g , a } ，则由乘法运算有

则 λ e -类 = ρ e -类 = η e -类 = { { a , g } , { a } } 。并且 a | g ， e | g ， g | e ， a | e 。

命题 1.5.设S是半群， a , b ∈ S ，如果 ( a , b ) ∈ λ a ∩ ρ b ，那么有

a 4 = a b 2 a = b a 2 b = ( a b ) 2 = ( b a ) 2 = b 4 .

证明由 ( a , b ) ∈ λ a ∩ ρ b 得 a 2 = a b = b 2 。于是

( a b ) 2 = ( a 2 ) 2 = a 4 ,

( a b ) ( b a ) = a b 2 a = a a 2 a = a 4 ,

( b a ) ( a b ) = b a 2 b = b b 2 b = ( b 2 ) 2 = ( a 2 ) 2 = a 4 ,

( b a ) 2 = b ( a b ) a = b b 2 a = b 2 b a = a 2 b a = a ( a b a ) = a a 2 a = a 4 .

因此， a 4 = a b 2 a = b a 2 b = ( a b ) 2 = ( b a ) 2 = b 4 。

命题 1.6.设S是半群， x ∈ S ， a , b ∈ S 。如果 ( a , b ) = λ x ∩ α x ，那么有

( a x ) 2 = a x b x = b x a x = ( b x ) 2 .

证明如果 ( a , b ) = λ x ∩ α x ，那么 x a = x b ， a x a = b x b 。于是

a x a = a x b = b x a = b x b ,

( a x ) 2 = ( a x a ) x = ( a x b ) x = ( a x ) ( b x )

同理， ( a x ) 2 = ( b x ) ( a x ) ,   ( a x ) 2 = ( b x ) 2 。

命题 1.7.设S是半群，e是S的一个幂等元， a , b ∈ S ，如果 ( a , b ) ∈ λ e ，那么

( e a ) 2 = e b e a = e a e b = ( e b ) 2 ,   e a b = e b 2 ,   e b a = e a 2 .

证明根据 ( a , b ) ∈ λ e ，则 e a = e b 。于是

( e a ) 2 = e b e a ,   ( e b ) 2 = e a e b = e b e a = ( e a ) 2 ,   e a b = e b 2 ,   e b a = e a 2 .

命题 1.8.设半群S只有一个幂等元e， a , b ∈ S 。如果 a b = e ，那么 b e a = e 。

证明根据 a b = e ，则

( b e a ) 2 = b e a b e a = b e a .

既然S只有一个幂等元e，则 b e a = e 。

命题 1.9.设半群S只有一个幂等元e， a ∈ S 。则

a | e ⇔ e ∈ S a S .

证明先证必要性。如果 a | e ，那么有 x , y ∈ S 使得 a x = y a = e 。则 e ∈ S a S 。

再证明充分性。如果 e ∈ S a S ，那么有 s , t ∈ S 使得 e = s a t 。于是

( a t e s ) 2 = a t e s ,   ( t e s a ) 2 = t e s a .

既然S只有一个幂等元e，则 e = s a t ， e = s a t 。因此 a | e 。

在本节中，将给出关于群膨胀的一些性质。

定理 2.1.设S为交换群G的膨胀， a , b , x ∈ S 。如果 ( a , b ) ∈ λ x ，那么 a 2 = a b = b a = b 2 。

证明由S为交换群G的膨胀， a , b , x ∈ S 得 x 2 ∈ G 。如果 ( a , b ) ∈ λ x ，那么 x a = b x 。于是

x 2 a 2 = x 2 a b = x 2 b a = x 2 b 2 .

因此 a 2 = a b = b a = b 2 。

定理 2.2.设S为交换群G的膨胀， a , b ∈ S 。如果 a 4 = a 2 b 2 = b 2 a 2 = b 4 ，那么 a 2 = b 2 。

证明由S为交换群G的膨胀， a , b ∈ S 得 a 2 , b 2 ∈ G 。于是 a 2 ∈ G a 4 ， b 2 ∈ b 4 G ，故存在 x , y ∈ S 使得 a 2 = x a 4 ， b 2 = b 4 y 。由 a 4 = a 2 b 2 = b 2 a 2 = b 4 得到 a 2 b 4 = a 2 b 2 b 2 = a 4 b 2 。于是

a 2 = x a 4 = x a 2 b 2 = ( x a 2 ) b 2 = x a 2 b 4 y = x a 4 b 2 y = a 2 b 2 y = b 4 y = b 2 .

定理 2.3.设S为交换群G的膨胀， a , b , x ∈ S 。则 ( a , b ) ∈ δ x 的充分必要条件是 ( a , b ) ∈ λ x ∩ ρ x 。

证明充分性显然。在此仅仅证明必要性。由S为交换群G的膨胀，得 x a x ∈ G 。如果 ( a , b ) ∈ δ x ，那么 x a x = x b x 。于是 a x = b x ， x a = b x ，故 ( a , b ) ∈ λ x ∩ ρ x 。

定理 2.4.设S为交换群G的膨胀， a , b ∈ S 。如果 ( a , b ) ∈ λ a ， a b = b a ， ( b , c ) ∈ λ b ， b c = c b ，那么 ( a , c ) ∈ λ a ， a c = c a 。

证明由 ( a , b ) ∈ λ a ， a b = b a ， ( b , c ) ∈ λ b ， b c = c b 得

a 2 = a b = b a ,     b 2 = b c = c b .

于是 a 4 = ( a 2 ) 2 = ( b a ) 2 = b 2 a 2 = c b a 2 = c b a a = c a 3 。

由S为交换群G的膨胀知 a 2 ∈ G ，于是存在 x ∈ G 使得 a 2 x = e ， a 2 = a 4 x ，其中e为G的单位元，所以

a 2 = a 4 x = c a 3 x = c a 。

同理 a 2 = a c ，即 ( a , c ) ∈ λ a ，并且 a c = c a 。

定理 2.5.设S为群G的膨胀，e为G的单位元。如果e为S的强幂等元，那么 G = { e } ，并且对S中的任意元素s有 s 2 = e s = s e = e 。

证明设g是G中的任意元素由e为S的强幂等元得 e g e = e ，而 e g e = g 。故 g = e ，即 .

由S为群G的膨胀得 ， ， ，因此 。

推论 2.6.设S为群 的膨胀，那么S是强周期半群。

定理 2.7. 设S为群G的膨胀，e为G的单位元。则对S中的任意元素s有 。

定理 2.8.设S为群G的膨胀，e为G的单位元。如果 ，那么对S中的任意元素s有 ， 。

定理 2.9.设 为群G的膨胀。则S是左 半群当且仅当对于G中单位元e， 是S上的同余。

证明必要性显然成立。下面证明充分性。设 是S中的任意元素。若 ，由S为群G的膨胀得 。由 是S上的同余得 ， ， 。因此 是同余。

如果S是群G的膨胀，e是G的单位元，那么e是S的中心幂等元。交换群的膨胀是交换半群。特别地，循环群是交换群，循环群的膨胀也是交换半群，但是循环群的交并不一定是交换半群。

例3.1. 令半群 为 矩阵半群，其 ， ， ( 表示第i行第j列的元素1，其余元素全部为零的 矩阵)。则由乘法运算有S的乘法表。

则S不是交换半群。 。 是循环群 的膨胀。

定理 3.2.设n为正整数，半群 ，并且 。G是由g生成的n阶循环群，e为G中单位元，S是G的膨胀。则对任意 ，有 ， 。

证明因为 ，所以由命题1.9得 。由 为群G的膨胀得 。于是有 使得 ，从而 ， 。故 。

定理 3.3.设n为正整数，半群 ，并且 。G是由g生成的n阶循环群，e为G中单位元。则下列条件等价：

i) S是G的膨胀；

ii) ， ；

iii) ， 。

证明 i) ii) 因为S为循环群G的膨胀，所以存在 是S到G的膨胀映射。由 ， 得 ， ， ， 。于是 。同理 。因此 。

ii) iii) 显然。

iii) i) 由于 ，所以 。任取 ，令 ，则知 是S到G的膨胀映射，即S是G的膨胀。

定理 3.4.设n为正整数，半群 ，并且 。G是由g生成的n阶循环群，e为G中单位元。如果有非负整数 使得 ， ，那么S是G的膨胀，并且对于任意 有 ， ，其中 ， 。

证明由 得

因此 ，即S为交换半群。由定理3.3得S是G的膨胀。由于 ， ，所以 ，从而 ， 。

定理 3.5.设n为正整数，半群 ，并且 。G是由g生成的n阶循环群，e为G中单位元，S是G的膨胀。则 是S上的同余。

证明显然 是S上的右同余。设 为S中元素，并且 ，d是S中任意元素。则 ， 。由S是G的膨胀得 ，故 ，即 是S上的左同余。因此， 是S上的同余。

设n为正整数，半群 ，并且 。S是n阶循环群G的膨胀。下面给出 时G的乘法表(表1~6)。

表1. ， 和 时 的乘法表

表2. ， ， 时半群 的乘法表

表3. ， 和 时半群 的乘法表

表4. ， 和 时半群 的乘法表

表5. ， 和 时半群 的乘法表

表6. ， 和 时半群 的乘法表

设半群 ，G是由g生成的n阶循环群，S是G的膨胀。下面给出S的乘法表(表7)。

表7. 的乘法表

设半群 ，G是由g生成的n阶循环群，S是G的膨胀。下面给出 时l和k的取值表(表8)。

表8. n，l和k的取值表

本文由宁夏高等学校科研项目(NGY2017011)资助。

杜 兰,龙品红. 有限循环群的膨胀 The Inflations of Finite Cyclic Groups[J]. 理论数学, 2018, 08(01): 113-119. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2018.81014