薛定谔映射问题中的等变解的同伦指数k与解本身是有一定的关系的，可以通过定义的拓扑度来表达。举了一个例子验证了一下，没有证明。但证明了方程保证了解的狄里克雷能量是保持不变的，并计算出了随着初值变化，解的能量的最小值。 K-equivariant solutions have a relationship with its homotopy index k in the Schrodinger map problem. We can explain it by topological degree. We give an example to verify it without certification. Then we proved that the equation keeps the Dirichlet energy constant. At last we calculate its minimum value.
李良
云南民族大学，数学与计算机科学院，云南 昆明
收稿日期：2017年12月19日；录用日期：2018年1月18日；发布日期：2018年1月25日
薛定谔映射问题中的等变解的同伦指数k与解本身是有一定的关系的，可以通过定义的拓扑度来表达。举了一个例子验证了一下，没有证明。但证明了方程保证了解的狄里克雷能量是保持不变的，并计算出了随着初值变化，解的能量的最小值。
关键词 :薛定谔映射，k等变解，狄里克雷能量
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薛定谔映射如下：
{ ∂ t u = u ∧ Δ u u | t = 0 = u 0 ∈ H 0 1 , ( t , x ) ∈ R × R 2 , u ( t , x ) ∈ S 2 (1)
该方程是由Landau和Lifshitz在1935年研究铁磁流体的色散理论时在 [
定义1：方程(1)的如下形式的解称为k等变解： u ( t , x ) = e k θ R | u 1 ( t , r ) u 2 ( t , r ) u 3 ( t , r ) , R = ( 0 − 1 0 1 0 0 0 0 0 ) , k ∈ Z
其中 ( r , θ ) 是 R 2 中的极坐标。
定义2：解的拓扑度为：
定义3：解的狄利克雷能量为： E ( u ( t ) ) = ∫ R 2 | ∇ u ( t , x ) | 2 d x
例如： V = e k θ R ( 2 r k 1 + r 2 k 0 r 2 k − 1 r 2 k + 1 ) 就是一个等变解。根据定义就可以验证。
定理1：方程的解保持狄里克雷能量
E ( u ( t ) ) = ∫ R 2 | ∇ u ( t , x ) | 2 d x = E ( u o )
定理2：等变解V的拓扑度为k.
定理3：等变解V的狄里克雷能量为 8 | k | π
方程两边点乘 Δ u 再积分：
⇒ Δ u ⋅ ∂ t u = Δ u ⋅ ( u ∧ Δ u ) = 0
⇒ ∫ R 2 Δ u ⋅ ∂ t u d x = − 1 2 d d t ∫ R 2 | ∇ u | 2 d x 0 = 0
⇒ ∫ R 2 | ∇ u | 2 d x = C
⇒ E ( u ( t ) ) = E ( u o )
先用数学归纳法可求得 R k = ( cos k π 2 − sin k π 2 0 sin k π 2 cos k π 2 0 0 0 0 )
K = 1 时显然成立，若 K = n ( n > 1 ) 时成立，则
R n + 1 = ( cos n π 2 − sin n π 2 0 sin n π 2 cos n π 2 0 0 0 0 ) ( 0 − 1 0 1 0 0 0 0 0 ) = ( − sin n π 2 − cos n π 2 0 cos n π 2 − sin n π 2 0 0 0 0 ) = ( cos ( n + 1 ) π 2 − sin ( n + 1 ) π 2 0 sin ( n + 1 ) π 2 cos ( n + 1 ) π 2 0 0 0 0 )
再计算 e k θ R ：
e k θ R = ∑ h = 0 ∞ 1 n ! ( k θ R ) n = ∑ h = 0 ∞ 1 n ! ( k θ ) n ( cos n π 2 − sin n π 2 0 sin n π 2 cos n π 2 0 0 0 0 )
分别计算得： ∑ h = 0 ∞ 1 n ! ( k θ ) n cos n π 2 = ∑ h = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! ( k θ ) 2 n ( − 1 ) n = cos k θ
同理可得： e k θ R = ( cos k θ − sin k θ 0 sin k θ cos k θ 0 0 0 1 )
记： A = e k θ R = ( cos k θ − sin k θ 0 sin k θ cos k θ 0 0 0 1 ) ，
deg V = 1 4 π ∫ R 2 | V x 1 V V x 2 | d x = 1 4 π ∫ R 2 | ( A Q ) x 1 A Q ( A Q ) x 2 | d x = 1 4 π ∫ R 2 | A θ θ x 1 Q + A Q r R x 1 A Q A θ θ x 2 Q + A Q r R x 2 | d x
| A θ θ x 1 Q + A Q r R x 1 A Q A θ θ x 2 Q + A Q r R x 2 | = | − sin θ r A θ Q + A Q r cos θ A Q cos θ r A θ Q + A Q r sin θ | = | − sin θ r A θ Q A Q cos θ r A θ Q + A Q r sin θ | + | A Q r cos θ A Q cos θ r A θ Q + A Q r sin θ | = | − sin θ r A θ Q A Q A Q r sin θ | + | A Q r cos θ A Q cos θ r A θ Q | = ( sin θ ) 2 r | − A θ Q A Q A Q r | + ( sin θ ) 2 r | A Q r A Q A θ Q | = 1 r | A Q r A Q A θ Q |
deg V = 1 4π ∫ R 2 1 r | A Q r A Q A θ Q | d x
记： Q r = ( 2 r k 1 + r 2 k 0 r 2 k − 1 r 2 k + 1 ) r = ( M r 0 N r ) ， A θ = ( − k sin k θ − k cos k θ 0 k cos k θ − k sin k θ 0 0 0 0 )
deg V = 1 4 π ∫ 0 + ∞ ∫ 0 2π | cos k θ M r cos k θ M − k sin k θ M sin k θ M r sin k θ M k cos k θ M N r N 0 | d r d θ = 1 4 π ∫ 0 + ∞ ∫ 0 2π | 0 cos k θ M − k sin k θ M 0 sin k θ M k cos k θ M N r − M r M N N 0 | d r d θ = 1 4 π ∫ 0 + ∞ ∫ 0 2π | 0 0 − k sin k θ M 0 1 sin k θ M k cos k θ M N r − M r M N N 0 | d r d θ
= k 2 ∫ 0 + ∞ M 2 N r − M N M r d r = k 2 ( M 2 N | 0 + ∞ − 3 ∫ 0 + ∞ M N M r d r ) = − 3 k 2 ∫ 0 + ∞ M N M r d r = − 3 k 4 ∫ 0 + ∞ ( M 2 ) r N d r = 3 k 4 ∫ 0 + ∞ M 2 N r d r = 3 k 4 ∫ 0 + ∞ 4 r 2 k ( 1 + r 2 k ) 2 ⋅ 4 k r 2 k − 1 ( 1 + r 2 k ) 2 d r = 12 k 2 ∫ 0 + ∞ r 4 k − 1 ( 1 + r 2 k ) 4 d r = 12 k 2 ∫ 0 + ∞ s 4 k − 1 2 k ( 1 + s ) 4 ⋅ 1 2 k ⋅ s 1 2 k − 1 d s = 6 k ∫ 0 + ∞ s ( 1 + s ) 4 d s = 6 k ∫ 0 + ∞ 1 ( 1 + x ) 3 − 1 ( 1 + x ) 4 d x = 6 k × ( 1 3 ( 1 + x ) 3 − 1 2 ( 1 + x ) 2 | 0 + ∞ ) = k
由定理2知：
V = ( 2 r k 1 + r 2 k cos ( k θ ) 2 r k 1 + r 2 k sin ( k θ ) r 2 k − 1 r 2 k + 1 ) = ( A cos ( k θ ) A sin ( k θ ) B )
∂ u ∂ x 1 = ∂ u ∂ r ⋅ ∂ r ∂ x 1 + ∂ u ∂ θ ⋅ ∂ θ ∂ x 1 = cos θ ⋅ ∂ u ∂ r − sin θ r ∂ u ∂ θ ∂ u ∂ x 2 = ∂ u ∂ r ⋅ ∂ r ∂ x 2 + ∂ u ∂ θ ⋅ ∂ θ ∂ x 2 = sin θ ⋅ ∂ u ∂ r + cos θ r ∂ u ∂ θ
| ∇ u | 2 = | ( ∂ u ∂ x 1 , ∂ u ∂ x 2 , ∂ u ∂ t ) | 2 = | ∂ u ∂ x 1 | 2 + | ∂ u ∂ x 2 | 2 + | ∂ u ∂ t | 2 = | cos θ ⋅ ∂ u ∂ r − sin θ r ∂ u ∂ θ | 2 + | sin θ ⋅ ∂ u ∂ r + cos θ r ∂ u ∂ θ | 2 = | ∂ u ∂ r | 2 + | ∂ u ∂ θ ⋅ 1 r | 2
E ( V ) = ∫ R 2 | ∇ V | 2 d x = ∫ R 2 | ∂ V ∂ r | 2 + | ∂ V ∂ θ ⋅ 1 r | 2 d x
| ∂ V ∂ r | 2 = A r 2 cos 2 ( k θ ) + A r 2 sin 2 ( k θ ) + B r 2 = A r 2 + B r 2
| ∂ V ∂ θ ⋅ 1 r | 2 = 1 r 2 ( A 2 k 2 sin 2 ( k θ ) + A 2 k 2 cos 2 ( k θ ) + 0 ) = k 2 r 2 A 2
E ( V ) = ∫ R 2 A r 2 + B r 2 + k 2 r 2 A 2 d x = ∫ R 2 8 k 2 r 2 k − 2 ( 1 + r 2 k ) 2 d x = 16 π k 2 ∫ 0 + ∞ r 2 k − 2 ( 1 + r 2 k ) 2 ⋅ r d r
k > 0 时，令 S = r 2 k ，则 d r = 1 2 k S 1 2 k − 1 d s ，带入得： 16 π k 2 ∫ 0 + ∞ 1 2 k ( 1 + s ) 2 d s = 8 k π
k < 0 时，令 S = r 2 k ，则 d r = 1 2 k S 1 2 k − 1 d s ，带入得： 16 π k 2 ∫ + ∞ 0 1 2 k ( 1 + s ) 2 d s = − 8 k π
综上： E ( V ) = 8 π | k | 。
李 良. 薛定谔映射问题的k等变解的性质 The Nature for k-Equivariant Solutions to the Schrodinger Map Problem[J]. 应用数学进展, 2018, 07(01): 74-79. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2018.71009