惠敏

宝鸡文理学院，陕西 宝鸡

收稿日期：2017年12月20日；录用日期：2018年1月2日；发布日期：2018年1月12日

基于Rodney James的文(The groups of order p⁶(p an odd prime). Mathematics of Computation, 1980, 34 (150): 613-637. [ 1 ] )和schreier扩张理论的思想，将被扩元作用于被扩群，通过换位子结构及幂结构得到存在与Z(G)为循环群的矛盾，进而得到一类中心商不存在的有限p-群，即给出当H为p⁶阶Φ₃₉家族中的群且满足条件 G / Z ( G ) ≅ H 时群G的不存在性问题。

关键词 :有限p-群，LA-群，中心商，阶

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在有限群自同构群的研究中，值得一提的是悬而未决的著名的LA-猜想：设 G 是阶大于 p 2 的有限非循环p-群，则必有 | G | | | Aut ( G ) | ，满足LA-猜想的群称为LA-群。通过计算自同构群的阶来判断一个群是否是LA-群是很困难的，因为计算自同构群的阶比较复杂且能用到的工具也比较少 [ 2 ] [ 3 ] 。对于这个猜想的研究到目前已有半个多世纪，但还未得到彻底解决。基于前人对满足条件 | G / Z ( G ) | ≤ p 4 和 | G / Z ( G ) | ≤ p 5 的LA-群的研究 [ 4 ] [ 5 ] ，开始对满足条件 | G / Z ( G ) | ≤ p 6 的LA-群进行研究，近年来已产生了许多好的结果 [ 6 ] - [ 12 ] 。尽管如此，中心商的阶为 p 6 的有限p-群是否全是LA-群还没有完全确立，本文在Rodney James文章 [ 1 ] Φ 39 家族群的基础上，研究了这些群均是中心商不存在的有限p-群，进而这些群一定不是满足条件 | G / Z ( G ) | = p 6 的LA-群，这对中心商的阶为 p 6 的LA-猜想的完全解决具有一定的意义。

引理2.1：令 Z ≤ Z ( G ) ， G / Z = H ¯ 。如果群 H 包含元素 w 和生成子集 S ，使得 S 中每一个元素的某个相同次幂全都等于 w ，则有 [ w , H ] = 1 , w ∈ Z ( G ) 。

证明：令 s ∈ S , s m = w ，因为 [ w , s ] = [ s m , s ] = 1 ，所以 [ w , H ] = 1 。又因为 G = H Z ，所以 w ∈ Z ( G ) 。

引理2.2：令 Z ≤ Z ( G ) ， G / Z = A ¯ B ¯ ， [ A ¯ , B ¯ ] = 1 ¯ ，则 [ A ′ , B ] = 1 。

证明：令 a = [ x , y ] ， x , y ∈ A ， b ∈ B ，因为 a [ a , b ] = a b = [ x , y ] b = [ x b , y b ] = [ x , y ] = a ，所以 [ a , b ] = 1 。因为 A ′ = [ A , A ] = 〈 [ x , y ] | x , y ∈ A 〉 ，所以 [ A ′ , B ] = 1 。

根据引理2.1和引理2.2，得到如下推论：

推论2.3：令 A = H K ， [ H , K ] = 1 ， K 是 A 的子集，并且 H ≤ A ，群 A 包含非单位元 w 和生成子集 S ，使得 S 中的每个元素的某个相同次幂全都等于 w ，若 w ∈ H ′ ，则不存在群 G ，使得 G / Z ( G ) ≅ A 。

引理2.4 [ 13 ] ：令 n , k 是非负整数， x , y ∈ G ， c 2 = [ y , x ] ， c 31 = [ y , 2 x ] ， c 32 = [ y , x , y ] ， c 41 = [ y , 3 x ] ， c 42 = [ y , 2 x , y ] ， c 44 = [ y , x , 2 y ] ， c 51 = [ y , 4 x ] ， c 52 = [ y , 3 x , y ] ， c 54 = [ y , 2 x , 2 y ] ， c 58 = [ y , x , 3 y ] ， d 1 = [ y , 2 x , [ y , x ] ] ， d 2 = [ y , x , y , [ y , x ] ] 。如果 c ( G ) ≤ 5 ，

则

( x y ) n = x n y n c 2 ( n 2 ) c 31 ( n 3 ) c 32 ( n 2 ) + 2 ( n 3 ) c 41 ( n 4 ) c 42 ( n 3 ) + 3 ( n 4 ) c 44 2 ( n 3 ) + 3 ( n 4 ) c d ,

其中

c = c 51 ( n 5 ) c 52 3 ( n 4 ) + 4 ( n 5 ) c 54 ( n 3 ) + 6 ( n 4 ) + 6 ( n 5 ) c 58 3 ( n 4 ) + 4 ( n 5 ) , d = d 1 ( n 3 ) + 7 ( n 4 ) + 6 ( n 5 ) d 2 6 ( n 3 ) + 18 ( n 4 ) + 12 ( n 5 ) ,

[ y k , x n ] = c 2 n k c 31 ( n 2 ) k c 32 n ( k 2 ) c 41 ( n 3 ) k c 42 ( n 2 ) ( k 2 ) c 44 n ( k 3 ) c 51 ( n 4 ) k c 52 ( n 3 ) ( k 2 ) c 54 ( n 2 ) ( k 3 ) c 58 n ( k 4 ) e ,

其中

e = d 1 n ( n 2 ) ( k 2 ) + ( n 3 ) k d 2 ( n 2 ) ( k 2 ) + n 2 ( k 2 ) + 2 n 2 ( k 3 ) .

引理2.5 [ 14 ] ：设 G 是群， a , b ∈ G 且 [ a , b ] ∈ Z ( G ) ，又设 n 是正整数。则有

1) [ a n , b ] = [ a , b ] n ；

2) [ a , b n ] = [ a , b ] n ；

3) ( a b ) n = a n b n [ b , a ] ( n 2 ) 。

引理2.6 [ 14 ] ：设 G 是亚交换群， x , y , z ∈ G ，

1) 若 y ∈ G ′ ，则 [ z , x y ] = [ z , x ] [ z , y ] ， [ x y , z ] = [ x , z ] [ y , z ] ；

2) 对 ∀ x , y , z ∈ G ，有 [ x , y , z ] [ y , z , x ] [ z , x , y ] = 1 。

引理2.7 [ 14 ] ：设 G 是亚交换群， a , b ∈ G , m ≥ 2 ， i , j 为正整数，

[ i a , j b ] = [ a , b , a , ⋯ , a ︸ i − 1 , b , ⋯ , b ︸ j − 1 ] ,

则

( a b − 1 ) m = a m ∏ i + j ≤ m [ i a , j b ] ( m i + j ) b − m .

定理： H 为 p 6 阶第三十九家族的群，当 H = Φ 39 ( 21 4 ) a r ， Φ 39 ( 21 4 ) b r ， Φ 39 ( 21 4 ) b p + r ， Φ 39 ( 1 6 ) 时，不存在群 G 使得 G / Z ( G ) ≅ H 。

证明：令 H = Φ 39 ，则我们有 H = 〈 α , α 1 〉 ， H i + 1 = 〈 α i + 1 , ⋯ , α 5 〉 。此时令 S = 〈 α 2 , α 〉 ， T = 〈 α 1 , α 2 , α 3 〉 ，则 S 2 = H 3 , T 2 = H 4 ，所以 S 和 T 是亚交换群。令 x = α , y = α 1 x ，由引理2.4，知

c 2 = [ α 1 x , α ] = α 1 − x ( α 1 α 2 ) x = α 1 − x α 1 x ∏ i + j ≤ p [ i α 1 , j α 2 − 1 ] ( p i + j ) α 2 x = α 4 − ( x 2 ) [ α 4 − 1 , α 1 ] ( x 3 ) α 2 x = α 2 x α 4 − ( x 2 ) α 5 − ( x 3 )

c 31 = [ c 2 , α ] = [ α 2 x α 4 − ( x 2 ) α 5 − ( x 3 ) , α ] = [ α 2 x , α ] = α 3 x α 5 − ( x 2 ) ,

c 32 = [ c 2 , α 1 x ] = [ α 2 x α 4 − ( x 2 ) α 5 − ( x 3 ) , α 1 x ] = [ α 2 , α 1 x ] x α 5 − x ( x 2 ) = α 4 − x 2 α 5 − 2 x ( x 2 ) ,

c 41 = [ c 31 , α ] = [ α 3 x α 5 − ( x 2 ) , α ] = α 4 x , c 42 = [ c 31 , α 1 x ] = [ α 3 x α 5 − ( x 2 ) , α 1 x ] = α 5 x 2 ,

c 44 = [ c 32 , α 1 x ] = [ α 4 − x 2 α 5 − 2 x ( x 2 ) , α 1 x ] = α 5 − x 3 , c 51 = [ c 41 , α ] = [ α 4 x , α ] = 1 ,

c 52 = [ α 4 x , α 1 x ] = α 5 x 2 , c 54 = [ c 42 , α 1 x ] = [ α 5 x 2 , α 1 x ] = 1 ,

c 58 = [ c 44 , α 1 x ] = [ α 5 − x 3 , α 1 x ] = 1 , d 1 = [ c 31 , c 2 ] = α 5 − x 2 ,

d 2 = [ c 32 , c 2 ] = [ α 4 − x 2 α 5 − 2 x ( x 2 ) , α 2 x α 4 − ( x 2 ) α 5 − ( x 3 ) ] = 1 , ( α α 1 x ) p = α p α 1 x p α 5 − 2 x 2 ( p 5 ) .

1) 令 H = Φ 39 ( 21 4 ) a r ≅ G / Z ( G ) = 〈 α ¯ , α 1 ¯ , α 2 ¯ , α 3 ¯ , α 4 ¯ , α 5 ¯ | [ α i ¯ , α ¯ ] = α i + 1 ¯ ， [ α 4 ¯ , α 1 ¯ ] k = α ¯ p = [ α 2 ¯ , α 3 ¯ ] k = [ α 3 ¯ , α 1 ¯ ] k = α 5 ¯ k ， [ α 1 ¯ , α 2 ¯ ] = α 4 ¯ ， α 1 ¯ p = α i + 1 ¯ p = α 5 ¯ p = 1 ¯ ( i = 1 , 2 , 3 ) 〉 ，则有 ( α α 1 x ) p = α 5 k − 2 x 2 ( p 5 ) 。如果 p > 5 ，则不存在群 G 使得 G / Z ( G ) ≅ H 。此时若假设 p = 5 ，因为 k − 2 x 2 ≡ 0 至多有两个根，所以存在 x 且 1 ≤ x ≤ 4 使得 k − 2 x 2 ≡ 0 。因为 H = 〈 α , α α 1 x 〉 ，所以不存在群 G 使得 G / Z ( G ) ≅ H 。

2) 令 H = Φ 39 ( 21 4 ) b r ≅ G / Z ( G ) = 〈 α ¯ , α 1 ¯ , α 2 ¯ , α 3 ¯ , α 4 ¯ , α 5 ¯ | [ α i ¯ , α ¯ ] = α i + 1 ¯ ， [ α 4 ¯ , α 1 ¯ ] r = α ¯ p = [ α 2 ¯ , α 3 ¯ ] r = α 1 ¯ p = α 5 ¯ r ， [ α 1 ¯ , α 2 ¯ ] = α 4 ¯ , α i + 1 ¯ p = α 5 ¯ p = 1 ¯ ( i = 1 , 2 , 3 ) 〉 ，则 ( α α 1 x ) p = α 5 r + r x − 2 x 2 ( p 5 ) 。如果 p > 5 ，则不存在群 G 使得 G / Z ( G ) ≅ H 。此时假设 p = 5 ，则 ( α α 1 x ) 5 = α 5 r + r x − 2 x 2 。因为 r + r x − 2 x 2 ≡ 0 至多有两个根，所以存在 x 且 1 ≤ x ≤ 4 使得 r + r x − 2 x 2 ≡ 0 。因为 H = 〈 α , α α 1 x 〉 ，所以不存在群 G 使得 G / Z ( G ) ≅ H 。

3) 令 H = Φ 39 ( 21 4 ) b p + r ≅ G / Z ( G ) = 〈 α ¯ , α 1 ¯ , α 2 ¯ , α 3 ¯ , α 4 ¯ , α 5 ¯ | [ α i ¯ , α ¯ ] = α i + 1 ¯ ， [ α 1 ¯ , α 2 ¯ ] = α 4 ¯ ,

[ α 2 ¯ , α 3 ¯ ] k = [ α 3 ¯ , α 1 ¯ ] k = [ α 4 ¯ , α 1 ¯ ] k = α 1 ¯ p = α 5 ¯ k ， α ¯ p = α i + 1 ¯ p = α 5 ¯ p = 1 ¯   ( i = 1 , 2 , 3 ) 〉 ，则 ( α α 1 x ) p = α 5 k x − 2 x 2 ( p 5 ) 。如果 p > 5 ，则不存在群 G 使得 G / Z ( G ) ≅ H 。此时假设 p = 5 ，则 ( α α 1 x ) 5 = α 5 k x − 2 x 2 。因为 k x − 2 x 2 ≡ 0 至多有两个根，所以存在 x 使 k x − 2 x 2 ≡ 0 。因为 〈 α 1 , α α 1 x 〉 = H ，所以不存在群 G 使得 G / Z ( G ) ≅ H 。

4) 令 H = Φ 39 ( 1 6 ) ≅ G / Z ( G ) = 〈 α ¯ , α 1 ¯ , α 2 ¯ , α 3 ¯ , α 4 ¯ , α 5 ¯ | [ α i ¯ , α ¯ ] = α i + 1 ¯ ， [ α 1 ¯ , α 2 ¯ ] = α 4 ¯ ， α 1 ¯ p = α ¯ p = α i + 1 ¯ p = α 5 ¯ p = 1 ¯ ， [ α 2 ¯ , α 3 ¯ ] = [ α 3 ¯ , α 1 ¯ ] = [ α 4 ¯ , α 1 ¯ ] = α 5 ¯ ， ( i = 1 , 2 , 3 ) 〉 ，则 ( α α 1 x ) 5 = α 5 − 2 x 2 。因为 H = 〈 α α 1 , α α 1 2 〉 ，如果 p = 5 ，则不存在群 G 使得 G / Z ( G ) ≅ H 。此时假设 p > 5 。不妨设 [ α i , α ] = α i + 1 ， [ α 4 , α 1 ] = α 5 ，由于 [ α i , α ] = α i + 1 a i ， [ α 4 , α 1 ] = α 5 b ， a i , b ∈ Z ( G ) ，令 α ′ i + 1 = α i + 1 a i ， α ′ 5 = α 5 b ，则 α i + 1 = α ′ i + 1 a i − 1 ， α 5 = α ′ 5 b − 1 。此时 [ α , α i + 3 ] ， [ α 1 , α 5 ] ， [ α 4 , α 5 ] ， [ α 2 , α i + 3 ] ， [ α 3 , α i + 3 ] ∈ Z ( G ) 。 因为 [ α 5 , α i ] = [ α 5 , α i ] α = [ α 5 , α i α i + 1 ] = [ α 5 , α i + 1 ] [ α 5 , α i ] ，所以 [ α 5 , α i + 1 ] = 1 。 因为 [ α 2 , α 4 ] = [ α 2 , α 4 ] α = [ α 2 α , α 4 α ] = [ α 2 α 3 , α 4 ] = [ α 2 , α 4 ] [ α 3 , α 4 ] ，所以 [ α 3 , α 4 ] = 1 。 因为 α 5 α = [ α 4 α , α 1 α ] = [ α 4 , α 1 α 2 ] = [ α 4 , α 2 ] α 5 ，所以 [ α 5 , α ] = [ α 4 , α 2 ] 。 因为 [ α 3 , α 1 ] = [ α 3 , α 1 ] α 2 = [ α 3 α 2 , α 1 α 2 ] = [ α 3 α 5 − 1 , α 1 α 4 ] = [ α 3 , α 1 ] [ α 5 − 1 , α 1 ] ，所以 [ α 5 , α 1 ] = 1 。令 [ α 2 , α 3 ] = α 5 z ，其中 z ∈ Z ( G ) ，则因为有 α 5 [ α 5 , α ] = α 5 α = [ α 2 , α 3 ] α z − 1 = [ α 2 α 3 , α 3 α 4 ] z − 1 = [ α 2 , α 4 ] [ α 2 , α 3 ] z − 1 = [ α 2 , α 4 ] α 5 ，所以 [ α 5 , α ] = [ α 2 , α 4 ] ，这意味着 [ α 5 , α ] = 1 。又因为 G = 〈 α , α 1 , Z ( G ) 〉 ， α 5 ∈ Z ( G ) ，矛盾，所以不存在群 G 使得 G / Z ( G ) ≅ H 。至此，定理证明完毕。

陕西省教育厅科研计划项目资助(项目编号：17JK0040)；宝鸡文理学院重点项目(zk16050)。

惠 敏. 若干中心商的阶为p⁶的有限p-群的不存在性问题Nonexistence of Some Finite p-Groups of the Central Quotient Order of p⁶[J]. 理论数学, 2018, 08(01): 29-33. http://dx.doi.org/10.12677/PM.2018.81005