麻疹 [ 2 ] 是现今儿童非常常见的急性呼吸道传染病之一，它的传染性很强，特别是在人口密集但没有普种疫苗的地区易发生流行。麻疹病毒属于副黏液病毒，通过呼吸道分泌物飞沫传播。其发病特征是：发热、上呼吸道炎症、眼结膜炎及皮肤出现红色斑丘疹和颊黏膜上有麻疹黏膜斑，疹退后遗留色素沉着伴糠麸样脱屑。常并发呼吸道疾病如中耳炎、喉–气管炎、肺炎等，麻疹脑炎、亚急性硬化性全脑炎等严重并发症。目前尚无特效药物进行治疗。

本文研究旨在利用历年的麻疹监测数据，通过曲线拟合和参数估计建立数学模型，对麻诊发病进行预测和预警，为麻疹的预防控制提供理论依据 [ 3 ] 。

本文的数据资料来自公共卫生科学数据中心，其采集了从1950年到2014年期间，北京市，安徽省，河北省等三十多个省市地区的发病人数，死亡人数，发病率以及死亡率。

首先，我们来看一下从1950年到2014年期间，全国的麻疹 [ 4 ] 发病率和死亡率如图1，图2所示，我们可以看出在1956年之前，麻疹的发病率呈直线上升趋势，但死亡率呈周期性变化，在1956年到1974

图1. 发病率时间序列图

图2. 死亡率时间序列图

年之间，麻疹发病率和死亡率呈周期性波动，从1974年到2014年，麻疹的发病率以及死亡率逐渐减小，趋于一个定值。下面我们就全国麻疹发病率数据进行研究。

20世纪60年代，George Box与Gwilym Jenkins提出了一种关于时间序列分析、预测的方法，称之为B-J模型，也叫做ARMA (Auto Regression Moving Average)模型。ARMA模型 [ 5 ] 的基本模型有三种情况：自回归模型(AR模型)；滑动平均模型(MA模型)；自回归滑动平均模型(ARMA模型) [ 6 ] 。

下面介绍一下指数平滑法 [ 7 ] ，这是一种加权移动平均，即可以用来描述时间序列的变化趋势，也可以实现时间序列的预测。它实现预测的基本原理是：用时间序列过去取值的加权平均来作为未来的预测值，离当前时间越近，它的权重就越大。

其模型的数学表达式为：对于一个时间序列 X ( t ) ，满足：

X ^ t + 1 = α X t + α ( 1 − α ) X ^ t

X ^ t + 1 = α X t + α ( 1 − α ) X t − 1 + α ( 1 − α ) 2 X t − 2 + ⋯ + α ( 1 − α ) t − 1 X 1 + ( 1 − α ) t X ^ 1

其中， X ^ t + 1 表示时间序列第 t + 1 时刻的预测值， X t 表示时间序列在第 t 时刻的实际观测值， X ^ t 表示时间序列在第 t 时刻的预测值， α 表示平滑系数，其中 0 < α < 1 。

下面我们对每年全国麻疹发病率进行拟合，则模型统计指标如表1，表2所示。

我们可以看一下2010年到2014年的真实值与预测值(置信区间为95%)如表3所示。

如图3所示，我们可以看出，拟合效果较好。且模型参数 α 的估计值为0.491。

由上述的模型，我们可以很好的预测短期麻疹发病率，并基于所得到的预测值进行麻疹预防工作 [ 8 ] ，有效防止麻疹的传染，并对麻疹病人进行有效治疗与控制，不过我们的模型还可以进一步的改进，使预测值更加准确。我们可以观察一下我国各个省份的麻疹发病率如图4所示。

从图4可以看出，不同的地域，麻疹的发病率并不相同，前期，上海，北京的麻疹发病率明显高于其他地区，但后期的麻疹发病率低于其他地区，其原因可能与人口密集度有关，由于北京和上海的人口密度明显大于其他地区，人口流动性也最快，后期由于其医疗水平提升的最快，所以麻疹的发病率低于其他地区，当然麻疹的发病率也有其他原因，还需要我们进一步研究。

表1. 模型统计量

表2. 指数平滑法模型参数

表3. 预测值与实际值

图3. 观测统计图

图4. 各地麻疹发病率统计图