范成念，闫理坦

东华大学数学系，上海

收稿日期：2017年12月5日；录用日期：2017年12月22日；发布日期：2017年12月29日

本文研究 [ 0 , 1 ] 区间中离散时间 t i = { i n , i = 1 , ⋯ , n } 观测的α-稳定Lévy噪声驱动的Vasicek利率模型的参数估计问题。

d X t = ( a − b X t ) d t + σ d Z t

采用最小二乘法得到了a和b的估计量。在 σ → 0 和 n → ∞ 同时成立的条件下，完成了最小二乘估计量的相合性和渐近性的证明。

关键词 :Vasicek利率模型，α-稳定Lévy噪声，最小二乘估计

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设 ( Ω , F , P ) 为基本概率空间，具备右连续和增的σ-代数族 ( F t , t ≥ 0 ) 。设 Z = { Z t , t ≥ 0 } 为概率空间 ( Ω , F , P ) 上的标准α-稳定Lévy运动， Z 1 ~ S α ( 1 , β , 0 ) ， β ∈ [ − 1 , 1 ] 为偏度参数。本文我们考虑由标准稳定过程 驱动的Vasicek利率模型的参数估计问题。Vasicek利率模型是一种均值回复Ornstein-Uhlenbeck过程，由Vasicek在1977年首次提出(当 α = 2 ) [ 1 ] ，可由下列线性随机微分方程刻画：

d X t = ( a − b X t ) d t + σ d Z t (1)

其中， a 和 b 为未知参数。由于技术原因，我们假设 1 < α < 2 ，离散观测时间点为 t i = { i n , i = 1 , 2 , ⋯ , n } ，即时间间隔固定为 Δ t i − 1 = t i − t i − 1 = 1 / n 。本文的目标是基于样本数据 ( X t i ) i = 1 n 研究漂移项参数 a 和 b 的最小

二乘估计量。

当研究由Brownian运动驱动的扩散过程的参数估计时，一种比较普遍的方法是连续观测的基于Girsanov密度的极大似然法。当离散观测时，转移密度函数和似然函数难于计算。为了克服这一困难，有学者提出了近似极大似然法。

一方面，Shimizu和Yoshida [ 2 ] [ 3 ] 通过极大似然法研究了离散时间观测的带跳的扩散过程的参数估计问题，并建立了估计量的相合性和渐近正态性，其中就考虑了Lévy过程中的跳过程。Masuda [ 4 ] 研究了由有限阶的零均值适应过程(包括Lévy过程)驱动的轨迹拟合估计量和最小二乘估计量的相合性和渐近正态性。Brockwell [ 5 ] 、Valdivieso [ 6 ] 、Spiliopoulos [ 7 ] 也研究了Lévy过程驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程的参数估计。然而，上述文献皆没有考虑一类重要的Lévy过程，即a-稳定Lévy运动。直到胡耀忠和龙红卫在2007年和2009年开始研究由a-稳定Lévy运动驱动的Ornstein-Uhlenbeck的参数估计问题 [ 8 ] [ 9 ] 。

另一方面，连续时间观测的小噪声驱动的参数估计理论已经得到了很好的发展。Genon-Catalot [ 10 ] 、Laredo [ 11 ] 研究了当 σ → 0 ， n → ∞ 时离散时间观测的小噪声驱动的漂移系数的有效估计量。S∅rensen [ 12 ] 利用鞅估计函数建立了当 σ → 0 ，n固定时，漂移系数和扩散系数的估计量的相合性和渐近正态性。S∅rensen [ 13 ] 、Gloter [ 14 ] 通过构造对比函数研究了漂移和扩散系数均未知的参数的有效估计量。在 σ 和n的适当假设条件下，小噪声驱动的参数估计量的渐近分布为正态分布。

然而，对于带有小的a-稳定Lévy噪声的随机过程的参数估计的研究较少，难点在于a-稳定过程的无限变差性质。胡耀忠和龙红卫在固定扩散参数(亦称波动率参数) σ = 1 的前提下讨论了离散时间观测的a-稳定Lévy噪声驱动的O-U过程的最小二乘估计 [ 9 ] 。龙红卫研究了当 a = 0 时小的Lévy噪声驱动的O-U过程漂移系数 b 的最小二乘估计问题 [ 15 ] 。本文我们假设时间间隔固定，旨在研究满足方程(1)的离散时间观测的参数估计，我们将采用最小二乘法得到相合、渐近估计量。

为了得到最小二乘估计量，我们构造如下对比函数：

ρ n , σ ( a , b ) = ρ n , σ ( a , b ; ( X t i ) i = 1 n ) = ∑ i = 1 n | X t i − X t i − 1 + b X t i − 1 Δ t i − 1 − a Δ t i − 1 | 2

b ^ n , σ 和 a ^ n , σ 的最小二乘估计量即求 b ^ n , σ = arg min b ρ n , σ ( a , b ) 和 a ^ n , σ = arg min a ρ n , σ ( a , b ) ，解得

b ^ n , σ = − n ∑ i = 1 n     X t i − 1 ( X t i − X t i − 1 ) ∑ i = 1 n     X t i − 1 2 + a ^ n , σ ∑ i = 1 n     X t i − 1 ∑ i = 1 n     X t i − 1 2 (2)

a ^ n , σ = ∑ i = 1 n ( X t i − X t i − 1 ) + 1 n ⋅ b ^ n , σ ∑ i = 1 n     X t i − 1 (3)

Vasicek利率模型的解为：

X t i = e − b n X t i − 1 + a b ( 1 − e − b n ) + σ Z i , 1 n (4)

其中，

Z i , 1 n = ∫ t i − 1 t i   e − b ( t i − s ) d z s

记

ϒ ( n , σ ) = σ n 2 ∑ i = 1 n     X t i Z i , 1 n − σ n ∑ i = 1 n   Z i , 1 n ∑ i = 1 n     X t i − 1 ,     Θ ( n , σ ) = n ∑ i = 1 n     X t i − 1 2 − ( ∑ i = 1 n     X t i − 1 ) 2

由(2)、(3)、(4)得

b ^ n , σ = ( 1 − e − b n ) n − ϒ ( n , σ ) Θ ( n , σ )

本文我们考虑高频 ( n → ∞ ) 、小扩散 ( σ → 0 ) 情形下 b ^ n , σ 和 a ^ n , σ 的最小二乘参数估计。我们的目标是证明 b ^ n , σ 依概率收敛至 b ， a ^ n , σ 依概率收敛至 a ，并证明其渐近分布为α-稳定分布。主要结果概括为以下两个定理。

定理1 当 n → ∞ ,   σ → 0 ,   σ n ( 1 − 1 α ) ∨ ( 1 p − 1 2 ) → 0 时， b ^ n , σ → p b ， a ^ n , σ → p a 。

定理2 当 n → ∞ ,   σ → 0 ,   σ n → ∞ ,   σ n ( 1 − 1 α ) ∨ ( 1 p − 1 2 ) → 0 时，

σ − 1 ( b ^ n , σ − b ) → d ( X 0 + a b ) ( 1 − e − α b α b ) 1 α ( C 1 + C 2 + C 3 ) − ( C 4 + C 5 + C 6 ) U

σ − 1 ( a ^ n , σ − a − σ ∑ i = 1 n     Z i , 1 n ) → d D ( X 0 + a b ) ( 1 − e − α b α b ) 1 α ( C 1 + C 2 + C 3 ) − ( C 4 + C 5 + C 6 ) U

其中， U ~ S α ( 1 , β , 0 ) ， C 1 = X 0 2 2 b ( 1 − e − 2 b ) ， C 2 = − a 2 2 b 3 ( e − b − 1 ) ( e − b − 3 ) ， C 3 = a b 2 X 0 ( e − b − 1 ) 2 ， C 4 = X 0 2 b 2 ( e − b − 1 ) 2 ， C 5 = a 2 b 4 ( e − b − 1 + b ) 2 ， C 6 = 2 a X 0 b 3 ( e − b − 1 ) ( e − b − 1 − b ) ， D = a − X 0 b ( e − b − 1 ) + a b 。

注 定理1和定理 2中的 p ∈ [ 1 , α ) 被选定且尽可能地靠近 α 。

首先考虑 b ^ n , σ 的相合性。

b ^ n , σ − b = [ ( 1 − e − b / n ) n − b ] − σ ∑ i = 1 n   X t i − 1 Z i , 1 n − n − 1 σ ∑ i = 1 n   Z i , 1 n ∑ i = 1 n   X t i − 1 n − 1 ∑ i = 1 n   X t i − 1 2 − ( n − 1 ∑ i = 1 n   X t i − 1 ) 2 : = Λ n − Φ 1 ( n , σ ) − Φ 2 ( n , σ ) Φ 3 ( n , σ ) − Φ 4 ( n , σ )

易知，当 n → ∞ 时， Λ n → 0 。引理3.1考虑 Φ 1 ( n , σ ) 和 Φ 2 ( n , σ ) 的收敛性，引理3.2考虑 Φ 3 ( n , σ ) 和 Φ 4 ( n , σ ) 的收敛性。

引理3.1 当 n → ∞ ， σ → 0 ，且 σ n 1 − 1 α → 0 时， Φ 1 ( n , σ ) → p 0 ， Φ 2 ( n , σ ) → p 0 。

证明：Vasicek利率模型的解又可以写作

X t i − 1 = e − b t i − 1 X 0 + a b ( 1 − e − b t i − 1 ) + σ ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s

因此我们有如下分解

Φ 1 ( n , σ ) = σ X 0 ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 ∫ t i − 1 t i   e − b ( t i − s ) d Z s + σ a b ∑ i = 1 n   ∫ t i − 1 t i   e − b ( t i − s ) d Z s     − σ a b ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s + σ 2 ∑ i = 1 n   ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s ∫ t i − 1 t i   e − b ( t i − s ) d Z s : = ∑ i = 1 4     Φ 1 , i ( n , σ )

下面分别考虑 Φ 1 , i ( n , σ ) ,   i = 1 , 2 , 3 , 4 的收敛性。由Markov不等式和和引理2.1，对 ∀ ε > 0 ，有

P ( | Φ 1 , 1 ( n , σ ) | > ε ) ≤ ε − 1 E | σ X 0 ∑ i = 1 n   e − b t i − 1 ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s | ≤ ε − 1 σ E | X 0 | E | ∫ 0 1 ∑ i = 1 n   e − b ( t i − 1 + t i ) e b s 1 ( t i − 1 , t i ] d Z s | ≤ C ε − 1 σ ( ∫ 0 1 | ∑ i = 1 n   e − b ( t i − 1 + t i ) e b s 1 ( t i − 1 , t i ] | α d s ) 1 α = C ε − 1 σ ( e α b / n − 1 α b ∑ i = 1 n   e − α b t i ) 1 α

当 n → ∞ ， σ → 0 时，上式趋向于0。 Φ 1 , 3 ( n , σ ) 与 Φ 1 , 1 ( n , σ ) 的证明类似，当 n → ∞ ， σ → 0 时， Φ 1 , 3 ( n , σ ) 依概率收敛到0。

P ( | Φ 1 , 2 ( n , σ ) | > ε ) ≤ ε − 1 E | σ a b ∑ i = 1 n ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s | ≤ C ε − 1 σ ∑ i = 1 n ( ∫ t i − 1 t i e − α b ( t i − s ) d s ) 1 α = C ε − 1 σ n ( 1 − e − α b / n α b ) 1 α = O ( σ n 1 − 1 α ) (5)

当 σ n 1 − 1 α → 0 时上式趋向于0。

P ( | Φ 1 , 4 ( n , σ ) | > ε ) ≤ ε − 1 E | σ 2 ∑ i = 1 n ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s | ≤ C ε − 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( ∫ 0 t i − 1 e − α b ( t i − 1 − s ) d s ) 1 α ( ∫ t i − 1 t i e − α b ( t i − s ) d s ) 1 α = C ε − 1 σ 2 ( 1 − e − α b / n α b ) 1 α ∑ i = 1 n ( 1 − e − α b t i − 1 α b ) 1 α = O ( σ 2 n 1 − 1 α )

因为 α − 1 2 α < 1 − 1 α ，所以 σ n 1 − 1 α → 0 蕴含 σ n α − 1 2 α → 0 ，从而上式收敛到0。 Φ 2 ( n , σ ) 可具体展开如下

Φ 2 ( n , σ ) = n − 1 σ ∑ i = 1 n ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s ∑ i = 1 n   e − b t i − 1 X 0 + σ a b ∑ i = 1 n ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s     − n − 1 σ a b ∑ i = 1 n ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s ∑ i = 1 n   e − b t i − 1     + n − 1 σ 2 ∑ i = 1 n ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s ∑ i = 1 n   ∫ 0 t i   e − b ( t i − s ) d Z s : = ∑ i = 1 4     Φ 2 , i ( n , σ )

P ( | Φ 2 , 1 ( n , σ ) | > ε ) ≤ ε − 1 E | n − 1 σ ∑ i = 1 n ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s ∑ i = 1 n   e − b t i − 1 X 0 | ≤ ε − 1 n − 1 σ ∑ i = 1 n   e − b t i − 1 E | X 0 | ∑ i = 1 n E | ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s | ≤ C ε − 1 σ ∑ i = 1 n ( ∫ t i − 1 t i e − α b ( t i − s ) d s ) 1 α = C ε − 1 σ ( 1 − e − α b / n α b ) 1 α → 0 ,     当 n → ∞ ,   σ → 0

同样地，当 n → ∞ ， σ → 0 时， Φ 2 , 3 ( n , σ ) 依概率收敛到0。利用(5)的证明方法易得 Φ 2 , 2 ( n , σ ) → p 0 。对于 Φ 2 , 4 ( n , σ ) ，类似于 Φ 1 , 4 ( n , σ ) 的证明，有

P ( | Φ 2 , 4 ( n , σ ) | > ε ) ≤ ε − 1 E | n − 1 σ 2 ∑ i = 1 n ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − s ) d Z s ∑ i = 1 n ∫ 0 t i   e − b ( t i − s ) d Z s | ≤ C ε − 1 n − 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( ∫ t i − 1 t i e − α b ( t i − s ) d s ) 1 α ∑ i = 1 n ( ∫ 0 t i   e − α b ( t i − s ) d s ) 1 α = C ε − 1 σ 2 ( 1 − e − α b / n α b ) 1 α ∑ i = 1 n ( 1 − e − α b t i − 1 α b ) 1 α = O ( σ 2 n 1 − 1 α )

至此我们证明了引理3.1。

引理3.2 当 n → ∞ ,   σ → 0 ,   σ n 1 p − 1 2 → 0 时，

Φ 3 ( n , σ ) − Φ 4 ( n , σ ) → p ( C 1 + C 2 + C 3 ) − ( C 4 + C 5 + C 6 )

其中， C 1 = − X 0 2 2 b ( e − 2 b − 1 ) ， C 2 = − a 2 2 b 3 ( e − b − 1 ) ( e − b − 3 ) ， C 3 = a b 2 X 0 ( e − b − 1 ) 2 ， C 4 = X 0 2 b 2 ( e − b − 1 ) 2 ， C 5 = a 2 b 4 ( e − b − 1 + b ) 2 ， C 6 = 2 a X 0 b 3 ( e − b − 1 ) ( e − b − 1 − b ) 。

证明：对 Φ 3 ( n , σ ) 进行分解

Φ 3 ( n , σ ) = 1 n ∑ i = 1 n ( e − b t i − 1 X 0 + a b ( 1 − e − b t i − 1 ) + σ ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s ) 2 = X 0 2 n ∑ i = 1 n     e − 2 b t i − 1 + a 2 b 2 n ∑ i = 1 n ( 1 − e − b t i − 1 ) 2 + σ 2 n ∑ i = 1 n ( ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s ) 2     + 2 a b n X 0 ∑ i = 1 n ( e − b t i − 1 − e − 2 b t i − 1 ) + 2 σ n X 0 ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s     + 2 a σ b n ∑ i = 1 n ( 1 − e − b t i − 1 ) ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s : = Φ 3 , 1 ( n ) + Φ 3 , 2 ( n ) + Φ 3 , 3 ( n , σ ) + Φ 3 , 4 ( n ) + Φ 3 , 5 ( n , σ ) + Φ 3 , 6 ( n , σ )

分别考虑 Φ 3 , 1 ( n ) , Φ 3 , 2 ( n ) , Φ 3 , 3 ( n , σ ) , Φ 3 , 4 ( n ) , Φ 3 , 5 ( n , σ ) , Φ 3 , 6 ( n , σ ) 的收敛性。通过简单计算，有

Φ 3 , 1 ( n ) → X 0 2 ∫ 0 1     e − 2 b s d s = X 0 2 2 b ( 1 − e − 2 b )

Φ 3 , 2 ( n ) → a 2 b 2 − a 2 2 b 3 ( e − b − 1 ) ( e − b − 3 )

Φ 3 , 4 ( n ) → a b 2 X 0 ( e − b − 1 ) 2

通过Markov不等式和引理2.1，对 1 ≤ p < α

P ( | Φ 3 , 3 ( n , σ ) | > ε ) ≤ ε − p 2 E | σ 2 n ∑ i = 1 n ( ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s ) 2 | p 2 ≤ ε − p 2 σ p n − p 2 ∑ i = 1 n     e − p b t i − 1 E | ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s | p ≤ C ε − p 2 σ p n − p 2 ∑ i = 1 n     e − p b t i − 1 ( ∫ 0 t i − 1 e − α b ( t i − 1 − s ) d s ) p α = O ( σ p n 1 − p 2 )

当 n → ∞ ,   σ → 0 ,   σ n 1 p − 1 2 → 0 时，上式趋向于0。

P ( | Φ 3 , 5 ( n , σ ) | > ε ) ≤ ε − 1 E | 2 σ n X 0 ∑ i = 1 n   e − 2 b t i − 1 ∫ 0 t i − 1 e b s d Z s | ≤ C ε − 1 σ n ∑ i = 1 n   e − 2 b t i − 1 ( ∫ 0 t i − 1 e α b s d s ) 1 α

当 n → ∞ , σ → 0 时，上式收敛到0。与 Φ 3 , 5 ( n , σ ) 证明类似， Φ 3 , 6 ( n , σ ) 依概率收敛到0。下面分解 Φ 4 ( n , σ ) 如下：

Φ 4 ( n , σ ) = n − 2 ( ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 X 0 + n a b − a b ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 + σ ∑ i = 1 n   ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s ) 2 = X 0 2 n 2 ( ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 ) 2 + a 2 n 2 b 2 ( n − ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 ) 2 + σ 2 n 2 ( ∑ i = 1 n   ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s ) 2     + 2 a X 0 b n 2 [ n ∑ i = 1 n   e − b t i − 1 − ( ∑ i = 1 n   e − b t i − 1 ) 2 ] + 2 σ X 0 n 2 ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 ∑ i = 1 n   ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s     + 2 a σ b n 2 ( n − ∑ i = 1 n   e − b t i − 1 ) ∑ i = 1 n   ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s : = Φ 4 , 1 ( n ) + Φ 4 , 2 ( n ) + Φ 4 , 3 ( n , σ ) + Φ 4 , 4 ( n ) + Φ 4 , 5 ( n , σ ) + Φ 4 , 6 ( n , σ )

通过简单计算，有

Φ 4 , 1 ( n ) → X 0 2 b 2 ( e − b − 1 ) 2

Φ 4 , 2 ( n ) → a 2 b 2 + 2 a 2 b 3 ( e − b − 1 ) + a 2 b 4 ( e − b − 1 ) 2

Φ 4 , 4 ( n ) → − 2 a X 0 b 2 ( e − b − 1 ) + 2 a X 0 b 3 ( e − b − 1 ) 2

P ( | Φ 4 , 3 ( n , σ ) | > ε ) ≤ ε − 1 E | σ 2 n 2 ∑ i = 1 n     ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s ∑ i = 1 n     ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s | ≤ C ε − 1 σ 2 n 2 ∑ i = 1 n     e − α b t i − 1 ( ∫ 0 t i − 1 e α b s d s ) 1 α ∑ i = 1 n     e − α b t i − 1 ( ∫ 0 t i − 1 e α b s d s ) 1 α

当 n → ∞ , σ → 0 时，上式收敛到0。

P ( | Φ 4 , 5 ( n , σ ) | > ε ) ≤ ε − 1 E | 2 σ X 0 n 2 ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 ∑ i = 1 n     ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s | ≤ C ε − 1 σ n 2 ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 ( ∫ 0 t i − 1 e α b s d s ) 1 α → 0

综上，引理3.2证毕。

当 n → ∞ 时，由 Λ n → 0 和引理3.1、引理3.2，我们直接得到 b ^ n , σ − b = Λ n − Φ 1 ( n , σ ) − Φ 2 ( n , σ ) Φ 3 ( n , σ ) − Φ 4 ( n , σ ) → p 0 。

下面考虑 a ^ n , σ 的相合性。

a ^ n , σ − a = ∑ i = 1 n ( X t i − X t i − 1 ) + 1 n ⋅ b ^ n , σ ∑ i = 1 n   X t i − 1                       = ∑ i = 1 n [ e − b n X t i − 1 + a b ( 1 − e − b n ) + σ Z i , 1 n − X t i − 1 ] + 1 n b ^ n , σ ∑ i = 1 n   X t i − 1                       = n ( e − b n − 1 ) ⋅ 1 n ∑ i = 1 n   X t i − 1 + b 1 n ∑ i = 1 n   X t i − 1 + n a b ( 1 − e − b n ) − a                             + σ ∑ i = 1 n   Z i , 1 n + ( b ^ n , σ − b ) 1 n ∑ i = 1 n   X t i − 1 → 0

结合 b ^ n , σ 的相合性和(5)知，当 n → ∞ , σ → 0 时上式成立。

σ − 1 ( b ^ n , σ − b ) = σ − 1 [ ( 1 − e − b / n ) n − b ] − ∑ i = 1 n   X t i − 1 Z i , 1 n − n − 1 ∑ i = 1 n   Z i , 1 n ∑ i = 1 n   X t i − 1 n − 1 ∑ i = 1 n   X t i − 1 2 − ( n − 1   X t i − 1 ) 2 : = σ − 1 Λ n − σ − 1 Φ 1 ( n , σ ) − σ − 1 Φ 2 ( n , σ ) Φ 3 ( n , σ ) − Φ 4 ( n , σ )

为方便起见，我们设 Ψ 1 ( n , σ ) = σ − 1 Φ 1 ( n , σ ) : = Ψ 1 , 1 ( n ) + Ψ 1 , 2 ( n ) + Ψ 1 , 3 ( n ) + Ψ 1 , 4 ( n , σ ) ， Ψ 2 ( n , σ ) = σ − 1 Φ 2 ( n , σ ) 。

引理4.1 当 n → ∞ , σ → 0 , n σ → ∞ 时， σ − 1 Λ n → 0 。

证明：通过基本计算我们有 | σ − 1 Λ n | ≤ C b 2 n σ → 0 。

引理4.2 当 n → ∞ , σ → 0 , σ n 1 − 1 α → ∞ 时， Ψ 1 ( n , σ ) − Ψ 2 ( n , σ ) → ( X 0 + a b ) ( 1 − e − α b α b ) 1 α U 。

证明：设 U i = ∫ t i − 1 t i e b s d Z s ~ ( ∫ t i − 1 t i e α b s d s ) 1 α S α ( 1 , β , 0 )

Ψ 1 , 1 ( n ) = X 0 ∑ i = 1 n     e − b ( t i − 1 + t i ) U i ~ X 0 ( ∑ i = 1 n     e − α b ( t i − 1 + t i ) ∫ t i − 1 t i e α b s d s ) 1 α S α ( 1 , β , 0 ) ≜ X 0 ( 1 − e − α b α b ) 1 α U

同理

Ψ 1 , 2 ( n ) = a b ∑ i = 1 n     e − b t i U i ~ a b U

Ψ 1 , 3 ( n ) = a b ∑ i = 1 n     e − b ( t i − 1 + t i ) U i ~ a b ( 1 − e − α b α b ) 1 α U

P ( | Ψ 1 , 4 ( n , σ ) | > ε ) ≤ ε − 1 E | σ ∑ i = 1 n ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s ∫ t i − 1 t i e − b ( t i − 1 − s ) d Z s | ≤ ε − 1 σ ∑ i = 1 n   C ( ∫ 0 t i − 1 e − α b ( t i − 1 − s ) d s ) 1 α C ( ∫ t i − 1 t i e − α b ( t i − 1 − s ) d s ) 1 α = C ε − 1 σ ( 1 − e − α b / n α b ) 1 α ∑ i = 1 n ( 1 − e − α b t i − 1 α b ) 1 α = O ( σ n 1 − 1 α )

当 σ n 1 − 1 α → 0 时上式趋向于0。由类似的证明方法， Ψ 2 ( n , σ ) 依概率收敛于 a b U 。

由引理3.2、引理4.1、引理4.2和Slutsky定理，我们有

σ − 1 ( b ^ n , σ − b ) → d ( X 0 + a b ) ( 1 − e − α b α b ) 1 α ( C 1 + C 2 + C 3 ) − ( C 4 + C 5 + C 6 ) U

又因为

1 n ∑ i = 1 n     X t i − 1 = 1 n ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 X 0 + a b − a n b ∑ i = 1 n     e − b t i − 1 + σ n ∑ i = 1 n     ∫ 0 t i − 1 e − b ( t i − 1 − s ) d Z s → a − X 0 b ( e − b − 1 ) + a b ≜ D

σ − 1 σ ∑ i = 1 n Z i , 1 n = O ( n 1 − 1 α ) 发散，所以

σ − 1 ( a ^ n , σ − a − σ ∑ i = 1 n Z i , 1 n ) → d D ( X 0 + a b ) ( 1 − e − α b α b ) 1 α ( C 1 + C 2 + C 3 ) − ( C 4 + C 5 + C 6 ) U

其中， U ~ S α ( 1 , β , 0 ) ， C 1 = − X 0 2 2 b ( e − 2 b − 1 ) ， C 2 = − a 2 2 b 3 ( e − b − 1 ) ( e − b − 3 ) ， C 3 = a b 2 X 0 ( e − b − 1 ) 2 ， C 4 = X 0 2 b 2 ( e − b − 1 ) 2 ， C 5 = a 2 b 4 ( e − b − 1 + b ) 2 ， C 6 = 2 a X 0 b 3 ( e − b − 1 ) ( e − b − 1 − b ) 。

至此完成了定理2的证明。

感谢参考文献中学者的研究和贡献，并感恩导师和师兄师姐一直以来对我的帮助和鼓励。

范成念,闫理坦. 基于离散观测的带有小的α稳定噪声的Vasicek利率模型的最小二乘估计 Least Squares Estimators for Discretely Observed Vasicek Interest Rate Model with Small α Stable Noises[J]. 统计学与应用, 2017, 06(05): 539-549. http://dx.doi.org/10.12677/SA.2017.65061