研究阈值分红策略下带扩散的二维对偶模型，得到分红现值的期望所满足的积分微分方程组，并用此方程组解得收入服从指数分布时的分红折现的期望具体表达式，应用拉普拉斯变换求得收益服从任意分布时的解，最后解得了此模型下的最优边界。 We study the two-dimensional dual model with diffusion under a threshold dividend strategy. We obtain a group of integro-differential equations satisfied by the expected total sum of discount dividends until ruin. And explicit results when the gains of the two projects are exponentially distributed are derived. By applying the method of the Laplace transform, we solve the case where gains follow general distributions. We also illustrate how to calculate the optimal dividend threshold.
韩咪，马世霞，李 桐
河北工业大学，天津
收稿日期：2017年12月1日；录用日期：2017年12月15日；发布日期：2017年12月22日
研究阈值分红策略下带扩散的二维对偶模型，得到分红现值的期望所满足的积分微分方程组，并用此方程组解得收入服从指数分布时的分红折现的期望具体表达式，应用拉普拉斯变换求得收益服从任意分布时的解，最后解得了此模型下的最优边界。
关键词 :二维对偶模型，阈值策略，扩散，比例交易费用，拉普拉斯变换
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在风险理论研究中分红问题是一个研究热点，以研究经典风险模型和对偶风险模型的分红问题为主。经典的风险模型主要适用于有长时间持续收入和随机支出的公司，在保险公司中的表现最为明显。对偶模型则适用于有长时间持续花费和随机收入的公司，在研发公司中的表现尤为明显。
近些年，有许多学者对二维的模型进行了研究。在2003年Chan等 [
设定一个完备的概率空间 ( Ω , F , { F t } t ≥ 0 , P ) 。 { X 1 ( t ) ; t ≥ 0 } 和 { X 2 ( t ) ; t ≥ 0 } 分别表示投资公司在 t 时刻两种项目的盈余且它们关于 { F t } t ≥ 0 是适应的。两种项目盈余过程为
X 1 ( t ) = x 1 − c 11 t + ∑ n = 1 N 1 ( t ) U n , X 2 ( t ) = x 2 − c 12 t + ∑ n = 1 N 2 ( t ) V n ,
其中， x 1 ≥ 0 ， x 2 ≥ 0 为两种项目的初始准备金， c 11 ≥ 0 和 c 12 ≥ 0 是对应的固定花费率。 { N 1 ( t ) ; t ≥ 0 } ， { N 2 ( t ) ; t ≥ 0 } 是两个参数分别为 λ 1 ， λ 2 的相互独立的泊松过程。 { U n ; n ≥ 1 } 是第一种项目的收益额， { V n ; n ≥ 1 } 是第二种项目的收益额。我们设定 U 1 , U 2 , U 3 , ⋯ 是相互独立且同分布的正随机变量，其分布函数为 F U ( x ) 。 V 1 , V 2 , V 3 , ⋯ 是相互独立且同分布的正随机变量，其分布函数为 F V ( x ) 。
因主要考虑公司总的盈余情况，即
X ( t ) = x − c 1 t + S 1 ( t ) + S 2 ( t ) + σ W ( t ) , t ≥ 0
此处， x = x 1 + x 2 ， c 1 = c 11 + c 12 ， S 1 ( t ) = ∑ n = 1 N 1 ( t ) U n ， S 2 ( t ) = ∑ n = 1 N 2 ( t ) V n ， { W ( t ) ; t ≥ 0 } 为标准的布朗运动， σ 是 { W ( t ) ; t ≥ 0 } 的扩散系数。此外， { N 1 ( t ) ; t ≥ 0 } ， { N 2 ( t ) ; t ≥ 0 } ， { U n ; n ≥ 1 } ， { V n ; n ≥ 1 } 和 { W ( t ) ; t ≥ 0 } 是相互独立的。
公司执行以 b 为边界的阈值分红策略来控制公司盈余。当盈余超过 b 时，公司以速率 c 2 − c 1 进行分红，即盈余下降速率为 c 2 ( c 2 > c 1 )；盈余未达 b 时，没有分红，盈余下降速率为 c 1 。可表示为
d X ( t ) = − C ( X ( t ) ) d t + d S 1 ( t ) + d S 2 ( t ) + σ d W ( t ) , X ( 0 ) = x ,
其中，
C ( x ) = { c 1 , 0 < x ≤ b , c 2 , x > b . (1)
定义 T = i n f { t : X ( t ) < 0 } (任意 t ≥ 0 ， X ( t ) > 0 则 T = ∞ )为公司的破产时刻。 I ( A ) 表示：事件 A 发生，则 I ( A ) 取值为1， A 事件未发生，则 I ( A ) 取值为0。设定交易比例为 η ∈ ( 0 , 1 ] ，即若公司分红为 ϑ ，则股东实际可以得到 η ϑ 。故到破产时刻公司分红现值的期望表达式为
V ( x , b ) = E [ ∫ 0 T η ( c 2 − c 1 ) e − δ t I ( X ( t ) > b ) d t ] ,
其中， δ > 0 为折现因子。
定理1： V ( x , b ) 满足以下的积分微分方程组，
当 0 ≤ x < b 时，
σ 2 2 V x x ( x , b ) − c 1 V x ( x , b ) − ( λ 1 + λ 2 + δ ) V ( x , b ) + λ 1 ∫ 0 ∞ V ( x + u , b ) d F U ( u ) + λ 2 ∫ 0 ∞ V ( x + v , b ) d F V ( v ) = 0 , (2)
当 x > b 时，
σ 2 2 V x x ( x , b ) − c 2 V x ( x , b ) − ( λ 1 + λ 2 + δ ) V ( x , b ) + λ 1 ∫ 0 ∞ V ( x + u , b ) d F U ( u ) + λ 2 ∫ 0 ∞ V ( x + v , b ) d F V ( v ) + η ( c 2 − c 1 ) = 0 , (3)
初始条件为 V ( 0 , b ) = 0 ，连续条件为 V ( b − , b ) = V ( b + , b ) 且 V x ( b − , b ) = V x ( b + , b ) 。
证明：首先我们考虑 x > b 时的情况，取一个足够小的时间 h 使得 x − c 2 h > b ，则在区间 ( 0 , h ) 内发生的时间分为以下四种情况：
(1) 在到时刻 h 前，两类项目均无收益；
(2) 在到时刻 h 前，第一类项目有收益第二类项目无收益；
(3) 在到时刻 h 前，第一类项目无收益第二类项目有收益；
(4) 在到时刻 h 前，两类项目都有收益；
V ( x , b ) = η ( c 2 − c 1 ) ∫ 0 h e − δ t d t + ( 1 − δ h ) { ( 1 − λ 1 h ) ( 1 − λ 2 h ) E [ V ( x − c 2 h + σ W ( h ) , b ) ] + λ 1 h ( 1 − λ 2 h ) ∫ 0 ∞ E [ V ( x + u − c 2 h + σ W ( h ) , b ) ] d F U ( u ) + ( 1 − λ 1 h ) λ 2 h ∫ 0 ∞ E [ V ( x + v − c 2 h + σ W ( h ) , b ) ] d F V ( v ) } + o ( h ) . (4)
用泰勒公式展开 V ( x − c 2 h + σ W ( h ) , b ) ，得到
V ( x − c 2 h + σ W ( h ) , b ) = V ( x , b ) + V x ( x , b ) ( − c 2 h + σ W ( h ) ) + V x x ( x , b ) ( − c 2 h + σ W ( h ) ) 2 2 + o ( h ) .
由布朗运动的性质，对上式取期望可得
E [ V ( x − c 2 h + σ W ( h ) , b ) ] = V ( x , b ) − c 2 h V x ( x , b ) + σ 2 2 h V x x ( x , b ) + o ( h ) . (5)
将(5)代入(4)可得
σ 2 2 h V x x ( x , b ) + η h ( c 2 − c 1 ) − c 2 h V x ( x , b ) − ( λ 1 + λ 2 + δ ) h V ( x , b ) + λ 1 h ∫ 0 ∞ V ( x + u , b ) d F U ( u ) + λ 2 h ∫ 0 ∞ V ( x + v , b ) d F V ( v ) + o ( h ) = 0. (6)
然后对(6)式两侧关于 h 求导并令 h → 0 可得(3)。利用类似的讨论方式可以得到积分微分方程(2)。
当公司的初始准备金为零时，公司立即破产，即分红现值的期望为零。故初始条件满足。
注1：① 尽管 V ( x , b ) 和 V x ( x , b ) 在点 b 是连续的，但 V x x ( x , b ) 未必是连续的。而由(2)可得
σ 2 2 V x x ( b − , b ) − c 1 V x ( b − , b ) − ( λ 1 + λ 2 + δ ) V ( b − , b ) + λ 1 ∫ 0 ∞ V ( b + u , b ) d F U ( u ) + λ 2 ∫ 0 ∞ V ( b + v , b ) d F V ( v ) = 0 ,
由(3)可得
σ 2 2 V x x ( b + , b ) − c 2 V x ( b + , b ) − ( λ 1 + λ 2 + δ ) V ( b + , b ) + λ 1 ∫ 0 ∞ V ( b + u , b ) d F U ( u ) + λ 2 ∫ 0 ∞ V ( b + v , b ) d F V ( v ) + η ( c 2 − c 1 ) = 0.
将以上两式相减可得
σ 2 2 [ V x x ( b − , b ) − V x x ( b + , b ) ] + c 2 V x ( b + , b ) − c 1 V x ( b − , b ) = η ( c 2 − c 1 ) ,
上式说明当 V x x ( b − , b ) = V x x ( b + , b ) 时，若 V x ( b + , b ) = V x ( b − , b ) = η 则上式成立。这一结论在后面确定最优分红边界时会用到。
② V ( x , b ) 是有界的。
因为 ( c 2 − c 1 ) ∫ 0 T e − δ t η I ( X ( t ) > b ) d t ≤ ( c 2 − c 1 ) ∫ 0 ∞ e − δ t η I ( X ( t ) > b ) d t ,
易得 0 ≤ V ( x , b ) ≤ η ( c 2 − c 1 ) δ 。
注2：为方便起见，我们做如下定义：
V ( x , b ) = { V 1 ( x ) , 0 < x < b , V 2 ( x ) , x > b . (7)
则(2)和(3)可重新改写成如下方程组
当 0 ≤ x < b 时，
σ 2 2 V ″ 1 ( x ) − c 1 V ′ 1 ( x ) − ( λ + δ ) V 1 ( x ) + λ 1 ∫ 0 b − x V 1 ( x + u ) d F U ( u ) + λ 1 ∫ b − x ∞ V 2 ( x + u ) d F U ( u ) + λ 2 ∫ 0 b − x V 2 ( x + v ) d F V ( v ) + λ 2 ∫ b − x ∞ V 2 ( x + v ) d F V ( v ) = 0 , (8)
当 x > b 时，
σ 2 2 V ″ 2 ( x ) − c 2 V ′ 2 ( x ) − ( λ + δ ) V 2 ( x ) + λ 1 ∫ 0 ∞ V 2 ( x + u ) d F U ( u ) + λ 2 ∫ 0 ∞ V 2 ( x + v ) d F V ( v ) + η ( c 2 − c 1 ) = 0 , (9)
其中， λ = λ 1 + λ 1 ，初始条件为 V 1 ( 0 ) = 0 ，连续条件为 V 1 ( b − ) = V 2 ( b + ) 且 V ′ 1 ( b − ) = V ′ 2 ( b + ) 。
第一类项目的收益分布为 d F U ( u ) = α e − α u ，第二类项目的收益分布为 d F V ( v ) = β e − β v 。不失一般性，我们给定 α > β 。将分布函数代入到(9)式，变量替换后得到
当 x > b 时，
σ 2 2 V ″ 2 ( x ) − c 2 V ′ 2 ( x ) − ( λ + δ ) V 2 ( x ) + λ 1 ∫ x ∞ V 2 ( u ) α e − α ( u − x ) d u + λ 2 ∫ x ∞ V 2 ( v ) β e − β ( v − x ) d v + η ( c 2 − c 1 ) = 0. (10)
令 I 表示值函数 V 2 ( x ) 的恒等算子， Q 表示值函数 V 2 ( x ) 的微分算子。对(10)两侧进行 Q ( Q − α I ) − β ( Q − α I ) 运算得到
σ 2 2 V 2 ( 4 ) ( x ) − [ σ 2 2 ( α + β ) + c 2 ] V 2 ( 3 ) ( x ) + [ c 2 ( α + β ) − ( λ + δ ) + α β σ 2 2 ] V 2 ( 2 ) ( x ) + [ ( α + β ) ( δ + λ ) − λ 1 α − λ 2 β − α β c 2 ] V ′ 2 ( x ) − α β δ V 2 ( x ) + α β η ( c 2 − c 1 ) = 0.
易见上面的四阶非齐次微分方程有一个特解 η ( c 2 − c 1 ) δ 。其所对应的特征微分方程为
σ 2 2 r 4 − [ σ 2 2 ( α + β ) + c 2 ] r 3 + [ c 2 ( α + β ) − ( λ + δ ) + α β σ 2 2 ] r 2 + [ ( α + β ) ( δ + λ ) − λ 1 α − λ 2 β − α β c 2 ] r − α β δ = 0 ,
其有一个负根 r 1 和三个正根 r 2 , r 3 , r 4 ( r 1 < 0 < r 2 < β < r 3 < α < r 4 )，故
V 2 ( x ) = D 1 e r 1 x + D 2 e r 2 x + D 3 e r 3 x + D 4 e r 4 x + η ( c 2 − c 1 ) δ , (11)
其中， D 1 , D 2 , D 3 和 D 4 是待定的系数。
由注2可推知 D 4 ≤ 0 。为证 D 4 = 0 ，我们需研究 V 2 ( x ) 的微分
V ′ 2 ( x ) = D 1 r 1 e r 1 x + D 2 r 2 e r 2 x + D 3 r 3 e r 3 x + D 4 r 4 e r 4 x .
若 D 4 < 0 ，当 x 足够大时有 V ′ 2 ( x ) < 0 ，这与 V 2 ( x ) 是递增的事实相矛盾，所以 D 4 = 0 。同样可证得 D 3 = D 2 = 0 且 D 1 < 0 ，故
V 2 ( x ) = D 1 e r 1 x + η ( c 2 − c 1 ) δ .
为求解 V 1 ( x ) ，需将 V 1 和 V 2 代入(8)得
当 0 ≤ x ≤ b 时，
σ 2 2 V ″ 1 ( x ) − c 1 V ′ 1 ( x ) − ( λ + δ ) V 1 ( x ) + α λ 1 e α x [ ∫ x b V 1 ( u ) e − α u d u + D 1 ∫ b ∞ e ( r 1 − α ) u d u + η c 2 − c 1 δ ∫ b ∞ e − α u d u ] + β λ 2 e β x [ ∫ x b V 1 ( v ) e − β v d v + D 1 ∫ b ∞ e ( r 1 − β ) v d v + η c 2 − c 1 δ ∫ b ∞ e − β v d v ] = 0 , (12)
对上式两侧进行 Q ( Q − α I ) − β ( Q − α I ) 运算可得
σ 2 2 V 1 ( 4 ) ( x ) − [ σ 2 2 ( α + β ) + c 1 ] V 1 ( 3 ) ( x ) + [ c 1 ( α + β ) − ( λ + δ ) + α β σ 2 2 ] V 1 ( 2 ) ( x ) + [ ( α + β ) ( δ + λ ) − λ 1 α − λ 2 β − α β c 1 ] V ′ 1 ( x ) − α β δ V 1 ( x ) = 0.
因此 V 1 ( x ) = E 1 e s 1 x + E 2 e s 2 x + E 3 e s 3 x + E 4 e s 4 x ，
其中， E 1 , E 2 , E 3 和 E 4 是待定的系数。 s 1 , s 2 , s 3 和 s 4 ( s 1 < 0 < s 2 < β < s 3 < α < s 4 )是对应特征方程的解，特征方程如下
σ 2 2 s 4 − [ σ 2 2 ( α + β ) + c 2 ] s 3 + [ c 1 ( α + β ) − ( λ + δ ) + α β σ 2 2 ] s 2 + [ ( α + β ) ( δ + λ ) − λ 1 α − λ 2 β − α β c 1 ] s − α β δ = 0.
因初始条件为 V 1 ( 0 ) = 0 ，即
E 1 + E 2 + E 3 + E 4 = 0 (13)
又由连续条件 V 1 ( b − ) = V 2 ( b + ) 得
D 1 e r 1 b + η ( c 2 − c 1 ) δ = E 1 e s 1 b + E 2 e s 2 b + E 3 e s 3 b + E 4 e s 4 b . (14)
此外，由一阶连续性 V ′ 1 ( b − ) = V ′ 2 ( b + ) 可得
D 1 r 1 e r 1 b = E 1 s 1 e s 1 b + E 2 s 2 e s 2 b + E 3 s 3 e s 3 b + E 4 s 4 e s 4 b . (15)
将 V 1 和 V 2 的表达式代入(12)，可得
然后将 e α x 和 e β x 的系数化为零，得到
E 1 s 1 − α e s 1 b + E 2 s 2 − α e s 2 b + E 3 s 3 − α e s 3 b + E 4 s 4 − α e s 4 b − D 1 r 1 − α e r 1 b + η ( c 2 − c 1 ) α δ = 0 , (16)
E 1 s 1 − β e s 1 b + E 2 s 2 − β e s 2 b + E 3 s 3 − β e s 3 b + E 4 s 4 − β e s 4 b − D 1 r 1 − β e r 1 b + η ( c 2 − c 1 ) β δ = 0. (17)
联立(13)~(17)可解得 E i ( i = 1 , 2 , 3 , 4 ) 和 D 1 。故 V ( x , b ) 的表达式为
V ( x , b ) = { E 1 e s 1 x + E 2 e s 2 x + E 3 e s 3 x + E 4 e s 4 x , 0 ≤ x ≤ b , D 1 e r 1 x + η ( c 2 − c 1 ) δ , x > b . (18)
当收益服从指数分布时，我们得到
V 2 ( x ) = D 1 e r 1 x + η ( c 2 − c 1 ) δ , (19)
本节证明当收益服从任何分布时 V ( x , b ) 可以用 V 1 ( x ) 来表示，因此只需求解 V 1 ( x ) 就可以得到值函数。
引理1：考虑没有分红的二维复合泊松模型，其以 c 速率进行花费，
X ˜ ( t ) = x − c t + S 1 ( t ) + S 2 ( t ) + σ W ( t ) .
破产时刻的Laplace变换 ψ 满足
ψ ( x ) = E [ e − δ T ˜ | X ˜ ( 0 ) = x ] = e R δ x (20)
其中， T ˜ = i n f { t : X ˜ ( t ) < 0 } (任意 t ≥ 0 有 X ˜ ( t ) > 0 则 T ˜ = ∞ )是破产时刻。 R δ 是以下拓展的Lundberg基本方程的非正根
− δ − c θ + λ 1 ( M U ( θ ) − 1 ) + λ 2 ( M V ( θ ) − 1 ) + σ 2 θ 2 2 = 0 ,
其中， M U ( θ ) 是 { U i , i ≥ 1 } 的矩母生成函数， M V ( θ ) 是 { V i , i ≥ 1 } 的矩母生成函数。
证明：定义一个过程 Z θ ( t ) = e − δ t + θ X ˜ ( t ) ，考虑过程 { Z θ ( t ) : t ≥ 0 } ，因 { X ˜ ( t ) } 具有独立平稳增量性，且 { Z θ ( t ) } 是鞅当且仅当 E ( Z θ ( t ) ) = Z θ ( 0 ) ，即
e − δ t + θ x − c t θ + λ 1 t ( M U ( θ ) − 1 ) + λ 2 t ( M V ( θ ) − 1 ) + t σ 2 θ 2 2 = e θ x .
于是可以得到拓展的Lundberg基本方程
− δ − c θ + λ 1 ( M U ( θ ) − 1 ) + λ 2 ( M V ( θ ) − 1 ) + σ 2 θ 2 2 = 0.
令 ϕ ( θ ) : = − c θ + λ 1 ( M U ( θ ) − 1 ) + λ 2 ( M V ( θ ) − 1 ) + σ 2 θ 2 2 ，可得到
lim θ → − ∞ ϕ ( θ ) = + ∞ , ϕ ( 0 ) = 0 ,
ϕ ″ ( θ ) = λ 1 ∫ 0 ∞ u 2 e − θ u d F U ( u ) + λ 2 ∫ 0 ∞ v 2 e − θ v d F V ( v ) + σ 2 > 0 ,
因此 ϕ ( θ ) 在 ( − ∞ , 0 ) 是凹函数， ϕ ( θ ) − δ = 0 ( δ > 0 ) 有唯一非正根记为 R δ 。当 0 ≤ t ≤ T ˜ 时，有 0 < Z R δ ( t ) ≤ 1 ，故 { Z R δ ( t ∧ T ˜ ) } 为有界鞅。又由最优停时定理得到对任意 t 有 E ( Z R δ ( t ∧ T ˜ ) ) = Z R δ ( 0 ) 。应用局部收敛定理得 E ( Z R δ ( T ˜ ) ) = Z R δ ( 0 ) ，也就是(20)。
定理2：当 x > b 时，
V ( x , b ) = η ( c 2 − c 1 ) 1 − e R ¯ δ ( x − b ) δ + e R ¯ δ ( x − b ) V ( b , b ) , (21)
R ¯ δ 是以下拓展的Lundberg基本方程的唯一非正根
σ 2 θ 2 2 + λ 1 ( M U ( θ ) − 1 ) + λ 2 ( M V ( θ ) − 1 ) = δ + c 2 θ .
证明：盈余第一次下降 χ 个单位所用时间记为 T ¯ − χ ，其中 χ = x − b 。以 δ 为折现率，在 T ¯ − χ 时刻支付1个单位的数额折现值的期望表达式为 E [ e − δ T ¯ | X ( 0 ) − b = χ ] ，由引理1知其等值于 e R δ ¯ χ 。在盈余下降到
b 后到破产时的分红现值期望为
V ( b + χ ) = V ( x , b ) = E [ η ( c 2 − c 1 ) ∫ 0 T ¯ − χ e − δ t | X ( 0 ) − b = χ ] + e R δ ¯ χ V ( b , b ) = − η ( c 2 − c 1 ) δ ( e R δ ¯ χ − 1 ) + e R δ ¯ χ V ( b , b ) = η ( c 2 − c 1 ) 1 − e R ¯ δ ( x − b ) δ + e R ¯ δ ( x − b ) V ( b , b ) .
由定理2可知在对 V 2 ( x ) 求解时可以不用(8)。当 0 < x ≤ b 时，可直接将(21)代入(2)得到一个如下的积分微分方程来求解 V ( x , b ) 。
σ 2 2 V x x ( x , b ) − c 1 V x ( x , b ) − ( λ + δ ) V ( x , b ) + λ 1 ∫ 0 b − x V ( x + u , b ) d F U ( u ) + λ 1 { ∫ b − x ∞ η ( c 2 − c 1 ) δ d F U ( u ) + [ V ( b , b ) − η ( c 2 − c 1 ) δ ] ∫ b − x ∞ e R ¯ δ ( x + u − b ) d F U ( u ) } + λ 2 ∫ 0 b − x V ( x + v , b ) d F V ( v ) + λ 2 { ∫ b − x ∞ η ( c 2 − c 1 ) δ d F V ( v ) + [ V ( b , b ) − η ( c 2 − c 1 ) δ ] ∫ b − x ∞ e R ¯ δ ( x + v − b ) d F V ( v ) } = 0. (22)
在二维的对偶模型中，当 0 < x ≤ b 时，也可以类似于 [
H ( z , b ) = V ( b − z , b ) , 0 ≤ z ≤ b . (23)
初始条件为 H ( 0 , b ) = V ( b , b ) ，边界条件为 H ( b , b ) = 0 。(22)式可变为
σ 2 2 H z z ( z , b ) − c 1 H z ( z , b ) − ( λ + δ ) H ( z , b ) + λ 1 ∫ 0 z H ( y , b ) P U ( z − y ) d y + λ 1 { η ( c 2 − c 1 ) δ ( 1 − F U ( u ) ) + [ H ( 0 , b ) − η ( c 2 − c 1 ) δ ] ∫ z ∞ e R ¯ δ ( u − z ) d F U ( u ) } + λ 2 ∫ 0 z H ( y , b ) P V ( z − y ) d y + λ 2 { η ( c 2 − c 1 ) δ ( 1 − F V ( v ) ) + [ H ( 0 , b ) − η ( c 2 − c 1 ) δ ] ∫ z ∞ e R ¯ δ ( u − z ) d F V ( v ) } = 0. (24)
将(24)的定义域扩展为 z ≥ 0 ，用 w 来表示的解，则 w 满足
σ 2 2 w ″ ( z ) − c 1 w ′ ( z ) − ( λ + δ ) w ( z ) + λ 1 ∫ 0 z w ( y ) P U ( z − y ) d y + λ 1 { η ( c 2 − c 1 ) δ ( 1 − F U ( u ) ) + [ w ( 0 ) − η ( c 2 − c 1 ) δ ] ∫ z ∞ e R ¯ δ ( u − z ) d F U ( u ) } + λ 2 ∫ 0 z w ( y ) P V ( z − y ) d y + λ 2 { η ( c 2 − c 1 ) δ ( 1 − F V ( v ) ) + [ w ( 0 ) − η ( c 2 − c 1 ) δ ] ∫ z ∞ e R ¯ δ ( u − z ) d F V ( v ) } = 0. (25)
并且 w ( 0 ) = V ( b , b ) ， w ( b ) = 0 。
令 w ^ ， P ^ U 和 P ^ V 分别表示 w ， P U 和 P V 的Laplace变换。对上式中 w ( z ) ， P U ( u ) 和 P V ( v ) 均做Laplace变换，可得
σ 2 ξ 2 2 w ^ ( ξ ) − σ 2 ξ 2 w ( 0 ) − σ 2 2 w ′ ( 0 ) − c 1 ξ w ^ ( ξ ) + c 1 w ( 0 ) − ( λ + δ ) w ^ ( z ) + λ 1 w ^ ( ξ ) P ^ U ( ξ ) + λ 1 η ( c 2 − c 1 ) δ 1 − P ^ U ( ξ ) ξ + λ 1 [ w ( 0 ) − η ( c 2 − c 1 ) δ ] P ^ U ( − R ¯ δ ) − P ^ U ( ξ ) ξ + R ¯ δ + λ 2 w ^ ( ξ ) P ^ v ( ξ ) + λ 2 η ( c 2 − c 1 ) δ 1 − P ^ v ( ξ ) ξ + λ 2 [ w ( 0 ) − η ( c 2 − c 1 ) δ ] P ^ v ( − R ¯ δ ) − P ^ v ( ξ ) ξ + R ¯ δ = 0 ,
其中， ξ 是Laplace变换参数。可解得
w ^ ( ξ ) = f ( ξ ) σ 2 ξ 2 2 − c 1 ξ − ( λ + δ ) + λ 1 P ^ U + λ 2 P ^ V , (26)
其中，
f ( ξ ) = − λ 1 η ( c 2 − c 1 ) δ 1 − P ^ U ( ξ ) ξ − λ 1 [ w ( 0 ) − η ( c 2 − c 1 ) δ ] P ^ U ( − R ¯ δ ) − P ^ U ( ξ ) ξ + R ¯ δ − λ 2 η ( c 2 − c 1 ) δ 1 − P ^ v ( ξ ) ξ − λ 2 [ w ( 0 ) − η ( c 2 − c 1 ) δ ] P ^ v ( − R ¯ δ ) − P ^ v ( ξ ) ξ + R ¯ δ + σ 2 ξ 2 w ( 0 ) + σ 2 2 w ′ ( 0 ) − c 1 w ( 0 ) .
由 w ( 0 ) = V ( b , b ) 和 w ′ ( 0 ) = V x ( b , b ) 可解得 V ( x , b ) 和 b 。过程如下：对(26)式求逆得到 w ( z ) ，由 w ( b ) = 0 可解得 b 值，最后代换得到当 0 ≤ x ≤ b 时， V ( x , b ) = w ( b − x ) 。
本部分主要是求解阈值策略下的最优边界。在初始准备金为 x 的条件下，我们需要找到最优的边界 b * 使得到破产时刻分红现值的期望 V ( x , b ) 最大化。故 V ( x , b ) 必满足
∂ V ( x , b ) ∂ b | b = b * = 0. (27)
若我们微分 V x ( b − , b ) = V x ( b + , b ) ，可以得到另外一个恒等式
V x x ( b − , b ) + ∂ 2 V ( x , b ) ∂ x ∂ b | b = b − = V x x ( b + , b ) + ∂ 2 V ( x , b ) ∂ x ∂ b | b = b + .
由(27)可知当 b = b * 时上式两侧第二部分变为零。得
V x x ( b * − , b * ) = V x x ( b * + , b * ) .
因此 V x x ( x , b * ) 在点 b * 是连续的。由注1可得
V x ( b * , b * ) = V x ( b * − , b * ) = V x ( b * + , b * ) = η .
由定理2知
V x ( x , b ) = − η ( c 2 − c 1 ) δ R ¯ δ e R ¯ δ ( x − b ) + R ¯ δ e R ¯ δ ( x − b ) V ( b , b ) ,
所以
V x ( b * , b * ) = − η ( c 2 − c 1 ) δ R ¯ δ + R ¯ δ V ( b * , b * ) = η ,
故
V ( b * , b * ) = η ( c 2 − c 1 δ + 1 R ¯ δ ) . (28)
(28)式是进行Laplace变换非常关键的一个条件，它等价于 H ( 0 , b * ) = η ( c 2 − c 1 δ + 1 R ¯ δ ) 。在(26)式中给出了 w ( 0 ) = η ( c 2 − c 1 δ + 1 R ¯ δ ) 和 w ′ ( 0 ) = η 这两个条件，进而可由 w ^ ( ξ ) 求逆得 w ( z ) 。 b * 由 w ( z ) = 0 可解得，且当 0 ≤ x ≤ b * 时有 V ( x , b * ) = w ( b * − x ) ，又由定理2可求当 x ≥ b 时 V ( x , b ) 的表达式。
国家自然科学基金(11301133; 11471218)。
韩 咪,马世霞,李 桐. 二维对偶模型的最优分红 Optimal Dividend in the Two-Dimensional Dual Model[J]. 统计学与应用, 2017, 06(05): 516-525. http://dx.doi.org/10.12677/SA.2017.65058
https://doi.org/10.1016/S0167-6687(03)00115-X
https://doi.org/10.1016/j.insmatheco.2007.02.004
https://doi.org/10.1214/08-AAP529
https://doi.org/10.1080/15326349.2011.567930
https://doi.org/10.1016/j.insmatheco.2006.10.002