本文研究了一类具有外部扩散及非线性边界流问题，利用构造辅助函数，结合极值原理，利用经典的微分不等式，分别得到了其在Neumman边界和Dirichlet边界下爆破解存在的充分条件，爆破时刻的上界估计，最后给出了定理在两个非线性问题中的具体应用。 In this paper, we study a class of problems with external diffusion and nonlinear boundary flow. By using the construction auxiliary function and the maximum principle, the sufficient conditions for the existence of the blow-up solution under the Neumman boundary and the Dirichlet boundary are obtained respectively by using the classical differential inequality. The upper bound of the “blow-up time” is estimated, and finally the concrete application of the theorem in two nonlinear problems is given.
李颖韬1,2，潘志刚1
1西南交通大学数学学院，四川 成都
2四川大学数学学院，四川 成都
收稿日期：2017年11月7日；录用日期：2017年11月21日；发布日期：2017年11月27日
本文研究了一类具有外部扩散及非线性边界流问题，利用构造辅助函数，结合极值原理，利用经典的微分不等式，分别得到了其在Neumman边界和Dirichlet边界下爆破解存在的充分条件，爆破时刻的上界估计，最后给出了定理在两个非线性问题中的具体应用。
关键词 :外部扩散，非线性边界，爆破解，爆破时刻
Copyright © 2017 by authors and beplay安卓登录
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).
http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
偏微分方程中，非线性抛物方程式具有重要意义，在非线性科学中，它也是重要的研究方向之一。非线性抛物方程本身的非线性性质使得其解有爆破奇性可以对现实世界中许多扩散现象有一个科学的描述，在化学、物理、工程领域，非线性方程的爆破解问题可以应用到物质扩散与热传导问题，反映系统的不稳定状态 [
本文我们首先考虑一类非线性热传导模型：
{ ( h ( u ) ) t = ∇ ⋅ ( a ( u , t ) b ( x ) ∇ u ) + g ( t ) f ( u ) in D × ( 0 , T ) ∂ u ∂ n = k ( x , u , t ) on ∂ D × ( 0 , T ) u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) > 0 in D ¯ (1.1)
其中 D ⊂ R N ( N ≥ 2 ) 是一个有界区域且具有光滑边界 ∂ D ， ∂ u / ∂ n 是在边界 ∂ D 上向外的法向导数， T 是最终时间， D ¯ 是有界区域 D 的闭包。定义 R + = ( 0 , + ∞ ) 。在本文中假定： u 0 ( x ) 是正的 C 2 ( D ¯ ) 函数。 a 是正的 C 2 ( ℝ + × ℝ ¯ + ) 函数， b 是正的 C 3 ( R + ) 函数， f 是正的 C 2 ( ℝ + ) 函数， g 是正的 C 2 ( ℝ ¯ + ) 函数，对于任意 s ∈ ℝ + ， h ′ ( s ) > 0 ， k 是负的 C 2 ( ℝ ¯ + ) 函数。 ∇ ( a ( u , t ) b ( x ) ∇ u ) 为反应项， g ( t ) f ( u ) 为扩散项， ∂ u ∂ n = k ( x , u , t ) 通过边界区域向区域内部的热流。该模型可以解释成一个具有外部扩散和非线性边界流的
混合介质中的热传播过程、化学反应过程等 [
随后我们考虑这类非线性热传导模型在Dirichlet边界条件下的爆破解：
{ ( h ( u ) ) t = ∇ ⋅ ( a ( u , t ) b ( x ) ∇ u ) + g ( t ) f ( u ) in D × ( 0 , T ) u ( x , t ) = k ( x , u , t ) on ∂ D × ( 0 , T ) u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) > 0 in D ¯ (1.2)
其中 D ⊂ R N ( N ≥ 2 ) 是一个有界区域且具有光滑边界 ∂ D ， ∂ u / ∂ n 是在边界 ∂ D 上向外的法向导数， T 是最终时间， D ¯ 是有界区域 D 的闭包。定义 R + = ( 0 , + ∞ ) 。在本文中假定： u 0 ( x ) 是正的 C 2 ( D ¯ ) 函数。 a 是正的 C 2 ( ℝ + × ℝ ¯ + ) 函数， b 是正的 C 3 ( R + ) 函数， f 是正的 C 2 ( ℝ + ) 函数， g 是正的 C 2 ( ℝ ¯ + ) 函数，对于任意 s ∈ ℝ + ， h ′ ( s ) > 0 ， k 是正的 C 2 ( ℝ ¯ + ) 函数。该方程为附加非线性边界条件 u ( x , t ) = k ( x , u , t ) 和适当初值的热方程。该模型揭示了非线性扩散系统中非线性的相互作用 [
我们的主要结果是：
定理1.1 设 u 是问题(1.1)的一个解，如果以下条件成立：
(i) 对于任意 ( s , t ) ∈ ℝ + × ℝ + ，
( 1 a ( s , t ) ( a ( s , t ) f ( s ) h ′ ( s ) ) s ) s + 1 g ( t ) ( a s ( s , t ) a ( s , t ) ) t ≥ 0 (2.1.2)
(ii)
∫ M 0 + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) d s < ∫ 0 + ∞ g ( t ) d t , M 0 = max D ¯ u 0 ( x ) (2.1.3)
(iii)
min D ¯ ∇ ⋅ ( a ( u 0 , 0 ) b ( x ) ∇ u 0 ( x ) ) ≥ 0 (2.1.4)
(iv) 则 u ( x , t ) 是方程的一个爆破解，并且
u ( x , t ) ≤ P − 1 ( ∫ t T g ( t ) d t ) , ∀ ( x , t ) ∈ D ¯ (2.1.5)
其中
P ( z ) = ∫ z + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) d s , ∀ z ≥ M 0 (2.1.6)
证明：构造辅助函数：
P ( x , t ) = h ′ ( u ) u t − g ( t ) f ( u ) (2.1.7)
则，有
∇ P ( x , t ) = h ″ u t ∇ u + h ′ ∇ u t − g f ′ ∇ u (2.1.8)
Δ P ( x , t ) = h ‴ | ∇ u | 2 u t + 2 h ″ ∇ u ⋅ ∇ u t + h ″ u t Δ u + h ′ Δ u t − g f ″ | ∇ u | 2 − g f ′ Δ u (2.1.9)
由(2.1.6)
P t = [ h ′ ( u ) u t − g ( t ) f ( u ) ] t = [ ( h ′ ( u ) ) t − g ( t ) f ( u ) ] t = [ ∇ ( a ( u , t ) b ( x ) ∇ u ) ] t = ( a b Δ u + a u b | ∇ u | 2 + a ∇ b ⋅ ∇ u ) t = a u b u t Δ u + a t b Δ u + a b Δ u t + a u u b | ∇ u | 2 u t + a u t b | ∇ u | 2 + 2 a u b ∇ u ⋅ ∇ u t + a u u t ∇ b ⋅ ∇ u + a t ∇ b ⋅ ∇ u + a ∇ b ⋅ ∇ u t (2.1.10)
由(2.1.8)和(2.1.9)，我们得
a b h ′ Δ P − P t = ( a b h ‴ h ′ − a u u b ) | ∇ u | 2 u t + ( 2 a b h ″ h ′ − 2 a u b ) ∇ u ∇ u t + ( a b h ″ h ′ − a u b ) u t Δ u − ( a b g f ″ h ′ + a u t b ) | ∇ u | 2 − ( a b g f ′ h ′ + a t b ) Δ u − a u u t ∇ b ∇ u − a t ∇ b ∇ u − a ∇ b ∇ u t (2.1.11)
由(2.1.5)我们得：
Δ u = h ′ a b u t − a u a | ∇ u | 2 − 1 b ∇ b ⋅ ∇ u − g f a b (2.1.12)
将(2.1.11)代入(2.1.10)我们可以得到：
a b h ′ Δ P − P t = ( a b h ‴ h ′ − a u u b + ( a u ) 2 b a − a u b h ″ h ′ ) | ∇ u | 2 u t + ( 2 a b h ″ h ′ − 2 a u b ) ∇ u ⋅ ∇ u t + ( h ″ − a u h ′ a ) ( u t ) 2 − a h ″ h ′ u t ∇ b ⋅ ∇ u + ( a u g f a − g f h ″ h ′ − g f ′ − a t h ′ a ) u t + ( a u b g f ′ h ′ + a u a t b a − a b g f ″ h ′ − a u t b ) | ∇ u | 2 + a g f ′ h ′ ∇ b ⋅ ∇ u + g 2 f f ′ h ′ + a t g f a − a ∇ b ⋅ ∇ u t (2.1.13)
由(2.1.7)，我们有：
∇ u t = 1 h ′ ∇ P − h ″ h ′ u t ∇ u + g f ′ h ′ ∇ u (2.1.14)
将(2.1.13)代入(2.1.12)可得
a b h ′ Δ P + [ 2 b ( a h ′ ) u ∇ u + a h ′ ∇ b ] ⋅ ∇ P − P t = ( a b h ‴ h ′ − a u u b + ( a u ) 2 b a + a u b h ″ h ′ − 2 a b ( h ″ ) 2 ( h ′ ) 2 ) | ∇ u | 2 u t + ( 2 a b h ″ g f ′ ( h ′ ) 2 − a u b g f ′ h ′ − a b g f ″ h ′ + a u a t b a − a u t b ) | ∇ u | 2 + ( h ″ − a u h ′ a ) ( u t ) 2 + ( a u g f a − g f h ″ h ′ − g f ′ − a t h ′ a ) u t + g 2 f f ′ h ′ + a t g f a (2.1.15)
由(2.1.6)我们得
u t = 1 h ′ P + g f h ′ (2.1.16)
将(2.1.15)代入(2.1.14)我们可得
a b h ′ Δ P + [ 2 b ( a h ′ ) u ∇ u + a h ′ ∇ b ] ⋅ ∇ P + { a b [ 1 a ( a h ′ ) u ] u | ∇ u | 2 + 1 a ( a h ′ ) u ( P + g f ) + g f h ′ + a t a } P − P t = − a b g { [ 1 a ( a f h ′ ) u ] u + 1 g ( a u a ) t } | ∇ u | 2 (2.1.17)
由(2.1.1)得等式右边(2.1.16)是非负的，即
a b h ′ Δ P + [ 2 b ( a h ′ ) u ∇ u + a h ′ ∇ b ] ⋅ ∇ P + { a b [ 1 a ( a h ′ ) u ] u | ∇ u | 2 + 1 a ( a h ′ ) u ( P + g f ) + g f h ′ + a t a } P − P t ≥ 0 (2.1.18)
由(2.1.5)，我们知道
P ( x , 0 ) = ∇ ⋅ ( a ( M 0 , 0 ) b ( x ) ∇ M 0 ) = 0 (2.1.19)
与
∂ P ∂ n = h ″ u t ∂ u ∂ n + h ′ ∂ u t ∂ n − g f ′ ∂ u ∂ n = h ′ ( ∂ u ∂ n ) t = h ′ k ( x , u , t ) (2.1.20)
结合(2.1.17)~(2.1.19)，通过极值原理，我们可知 P ≥ 0 in D ¯ × [ 0 , T ]
因此
h ′ ( u ) f ( u ) u t ≥ g ( t ) (2.1.21)
设存在 x 0 ∈ D ¯ ，使得 u 0 ( 0 ) = M 0 对(2.1.20)在 [ 0 , t ] 上积分得：
∫ 0 t h ′ ( u ) f ( u ) u t d t = ∫ M 0 u ( x 0 , t ) h ′ ( s ) f ( s ) d s ≥ ∫ 0 t g ( t ) d t (2.1.22)
如果 u 在有限时间 t = T 内不爆破，当 t → + ∞ 时(2.1.21)变形为
∫ 0 + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) u t d t ≥ ∫ 0 + ∞ g ( t ) d t (2.1.23)
与条件矛盾，所以 u 一定在有限时间 t = T 内爆破，即当 t → T 时， u ( x , t ) → + ∞
并且有下式成立
lim t → T ∫ M 0 u ( x 0 , t ) h ′ ( s ) f ( s ) d t ≥ lim t → T ∫ 0 t g ( t ) d t
因此
∫ M 0 + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) d s ≥ ∫ 0 T g ( t ) d t = η (T)
我们可以得到
T ≤ η − 1 ( ∫ M 0 + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) d s )
对每一个固定的 x ∈ D ¯ ，对(2.1.20)在 [ t , s ] ( 0 < t < s < T ) 上积分得
P ( u ( x , t ) ) ≥ P ( u ( x , t ) ) − P ( u ( x , s ) ) = ∫ u ( x , t ) u ( x , s ) h ′ ( s ) f ( s ) d s ≥ ∫ t s g ( t ) d t
因此，令 s → T 有
P ( u ( x , t ) ) ≥ ∫ t T g ( t ) d t
由于 P 是严格减函数，所以有
u ( x , t ) ≤ P − 1 ( ∫ t T g ( t ) d t )
这里 P − 1 是 P 的反函数，证毕。
定理1.2 设 u 是问题(1.2)的一个解，如果以下条件成立：
(i) 对于任意 ( s , t ) ∈ ℝ + × ℝ + ，
( 1 a ( s , t ) ( a ( s , t ) f ( s ) h ′ ( s ) ) s ) s + 1 g ( t ) ( a s ( s , t ) a ( s , t ) ) t ≥ 0 (2.2.2)
(ii)
∫ M 0 + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) d s < ∫ 0 + ∞ g ( t ) d t , M 0 = max D ¯ u 0 ( x ) (2.2.3)
(iii)
min D ¯ ∇ ⋅ ( a ( u 0 , 0 ) b ( x ) ∇ u 0 ( x ) ) = 0 (2.2.4)
(iv) 则 u ( x , t ) 是方程的一个爆破解，并且
u ( x , t ) ≤ Q − 1 ( ∫ t T g ( t ) d t ) , ∀ ( x , t ) ∈ D ¯ (2.2.5)
其中
Q ( z ) = ∫ u ( x , t ) u ( x , s ) h ′ ( s ) f ( s ) d s , ∀ z ≥ M 0 (2.2.6)
证明：由(2.2.1)可知
Δ u + a h ′ ∇ b ⋅ ∇ u − u t = − g f h ′ − a u b h ′ | ∇ u | 2 < 0
根据极值原理可知
u ( x , t ) = k ( x , u , t ) ≥ 0
构造辅助函数：
Q ( x , t ) = h ′ ( u ) u t − g ( t ) f ( u ) (2.2.7)
则，有
∇ Q ( x , t ) = h ″ u t ∇ u + h ′ ∇ u t − g f ′ ∇ u (2.2.8)
Δ Q ( x , t ) = h ‴ | ∇ u | 2 u t + 2 h ″ ∇ u ⋅ ∇ u t + h ″ u t Δ u + h ′ Δ u t − g f ″ | ∇ u | 2 − g f ′ Δ u (2.2.9)
由(2.6)
P t = [ h ′ ( u ) u t − g ( t ) f ( u ) ] t = [ ( h ′ ( u ) ) t − g ( t ) f ( u ) ] t = [ ∇ ⋅ ( a ( u , t ) b ( x ) ∇ u ) ] t = ( a b Δ u + a u b | ∇ u | 2 + a ∇ b ⋅ ∇ u ) t = a u b u t Δ u + a t b Δ u + a b Δ u t + a u u b | ∇ u | 2 u t + a u t b | ∇ u | 2 + 2 a u b ∇ u ⋅ ∇ u t + a u u t ∇ b ⋅ ∇ u + a t ∇ b ⋅ ∇ u + a ∇ b ⋅ ∇ u t (2.2.10)
由(2.2.8)和(2.2.9)，我们得
a b h ′ Δ Q − Q t = ( a b h ‴ h ′ − a u u b ) | ∇ u | 2 u t + ( 2 a b h ″ h ′ − 2 a u b ) ∇ u ⋅ ∇ u t + ( a b h ″ h ′ − a u b ) u t Δ u − ( a b g f ″ h ′ + a u t b ) | ∇ u | 2 − ( a b g f ′ h ′ + a t b ) Δ u − a u u t ∇ b ⋅ ∇ u − a t ∇ b ⋅ ∇ u − a ∇ b ⋅ ∇ u t . (2.2.11)
由(2.2.5)我们得：
Δ u = h ′ a b u t − a u a | ∇ u | 2 − 1 b ∇ b ⋅ ∇ u − g f a b (2.2.12)
将(2.2.11)代入(2.2.10)我们可以得到：
a b h ′ Δ Q − Q t = ( a b h ‴ h ′ − a u u b + ( a u ) 2 b a − a u b h ″ h ′ ) | ∇ u | 2 u t + ( 2 a b h ″ h ′ − 2 a u b ) ∇ u ⋅ ∇ u t + ( h ″ − a u h ′ a ) ( u t ) 2 − a h ″ h ′ u t ∇ b ⋅ ∇ u + ( a u g f a − g f h ″ h ′ − g f ′ − a t h ′ a ) u t + ( a u b g f ′ h ′ + a u a t b a − a b g f ″ h ′ − a u t b ) | ∇ u | 2 + a g f ′ h ′ ∇ b ⋅ ∇ u + g 2 f f ′ h ′ + a t g f a − a ∇ b ⋅ ∇ u t (2.2.13)
由(2.2.7)，我们有：
∇ u t = 1 h ′ ∇ Q − h ″ h ′ u t ∇ u + g f ′ h ′ ∇ u (2.2.14)
将(2.2.13)代入(2.2.12)可得
a b h ′ Δ Q + [ 2 b ( a h ′ ) u ∇ u + a h ′ ∇ b ] ⋅ ∇ Q − Q t = ( a b h ‴ h ′ − a u u b + ( a u ) 2 b a + a u b h ″ h ′ − 2 a b ( h ″ ) 2 ( h ′ ) 2 ) | ∇ u | 2 u t + ( 2 a b h ″ g f ′ ( h ′ ) 2 − a u b g f ′ h ′ − a b g f ″ h ′ + a u a t b a − a u t b ) | ∇ u | 2 + ( h ″ − a u h ′ a ) ( u t ) 2 + ( a u g f a − g f h ″ h ′ − g f ′ − a t h ′ a ) u t + g 2 f f ′ h ′ + a t g f a (2.2.15)
由(2.2.6)我们得
u t = 1 h ′ Q + g f h ′ (2.2.16)
将(2.2.15)代入(2.2.14)我们可得
a b h ′ Δ Q + [ 2 b ( a h ′ ) u ∇ u + a h ′ ∇ b ] ⋅ ∇ Q + { a b [ 1 a ( a h ′ ) u ] u | ∇ u | 2 + 1 a ( a h ′ ) u ( Q + g f ) + g f h ′ + a t a } Q − Q t = − a b g { [ 1 a ( a f h ′ ) u ] u + 1 g ( a u a ) t } | ∇ u | 2 (2.2.17)
由(2.2.1)得等式右边(2.2.16)是非负的，即
a b h ′ Δ Q + [ 2 b ( a h ′ ) u ∇ u + a h ′ ∇ b ] ⋅ ∇ Q + { a b [ 1 a ( a h ′ ) u ] u | ∇ u | 2 + 1 a ( a h ′ ) u ( P + g f ) + g f h ′ + a t a } Q − Q t ≥ 0 (2.2.18)
由(2.2.5)，我们知道；
Q ( x , 0 ) = ∇ ⋅ ( a ( M 0 , 0 ) b ( x ) ∇ M 0 ) = 0 (2.2.19)
结合(2.2.17)~(2.2.19)，通过极值原理，我们可知 Q ≥ 0 , in D ¯ × [ 0 , T ]
因此
h ′ ( u ) f ( u ) u t ≥ g ( t ) (2.2.21)
设存在 x 0 ∈ D ¯ ，使得 u 0 ( 0 ) = M 0 对(2.2.20)在 [ 0 , t ] 上积分得：
∫ 0 t h ′ ( u ) f ( u ) u t d t = ∫ M 0 u ( x 0 , t ) h ′ ( s ) f ( s ) d s ≥ ∫ 0 t g ( t ) d t (2.2.22)
如果 u 在有限时间 t = T 内不爆破，当 t → + ∞ 时(2.2.21)变形为
∫ 0 + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) u t d t ≥ ∫ 0 + ∞ g ( t ) d t (2.2.23)
与条件矛盾，所以 u 一定在有限时间 t = T 内爆破，即当 t → T 时， u ( x , t ) → + ∞
并且有下式成立
lim t → T ∫ M 0 u ( x 0 , t ) h ′ ( s ) f ( s ) d t ≥ lim t → T ∫ 0 t g ( t ) d t
因此
∫ M 0 + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) d s ≥ ∫ 0 T g ( t ) d t = η (T)
我们可以得到
T ≤ η − 1 ( ∫ M 0 + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) d s )
对每一个固定的 x ∈ D ¯ ，对(2.2.20)在 [ t , s ] ( 0 < t < s < T ) 上积分得
Q ( u ( x , t ) ) ≥ Q ( u ( x , t ) ) − Q ( u ( x , s ) ) = ∫ u ( x , t ) u ( x , s ) h ′ ( s ) f ( s ) d s ≥ ∫ t s g ( t ) d t
因此，令 s → T 有
Q ( u ( x , t ) ) ≥ ∫ t T g ( t ) d t
由于 Q 是严格减函数，所以有
u ( x , t ) ≤ Q − 1 ( ∫ t T g ( t ) d t )
这里 Q − 1 是 Q 的反函数，证毕。
这里，我们分别给出定理1.1和定理1.2的应用举例。
例1.1 设 u 是下面问题的一个解：
{ ( u e u ) t = ∇ ⋅ ( 1 u + t e | x | 2 ∇ u ) + ( 1 + t ) ( e u ⋅ u 3 ) in D × ( 0 , T ) ∂ u ∂ n = − 2 e u − 2 + t | x | 2 on ∂ D × ( 0 , T ) u ( x , 0 ) = 1 + | x | 2 in D ¯
其中 D = { x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) | | x | 2 = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 < 1 } 是 R 3 上的单位球，我们有
h ( u ) = u e u , a ( u , t ) = 1 u + t , b ( x ) = e | x | 2 , g ( t ) = 1 + t , f ( u ) = e u u 3
k ( x , u , t ) = − 2 e u − 2 + t | x | 2
u 0 ( x ) = 1 + | x | 2
假设
s = | x | 2
可知 0 < s < 1 且
β = min D ∇ { a ( u 0 , 0 ) b ( x ) ∇ u 0 ( x ) } = ∇ ⋅ { ( 1 1 + | x | 2 ) e | x | 2 ∇ ( 1 + | x | 2 ) } = ∇ ⋅ { ( 1 1 + s ) e s ∇ ( 1 + s ) } = s e s ( 1 + s ) 2 = 0
根据定理2.1可知， u 一定在有限时间 T 爆破，并且有：
T ≤ η − 1 ( ∫ 2 + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) d s ) = η − 1 ( 3 4 ) = 0.6514
u ( x , t ) ≤ P − 1 ( ( T − t ) + ( T − t ) 2 2 )
这里：
P ( z ) = ∫ t s h ′ ( t ) f ( t ) d t = ∫ t s 1 + t t 3 d t , ∀ z ≥ M 0
其中 P − 1 是 P 的反函数。
例1.2 设 u 是下面问题的一个解：
{ ( u + e u ) t = ∇ ⋅ ( e − u − t e | x | 2 ∇ u ) + t ( 2 e u + 2 ) in D × ( 0 , T ) ∂ u ∂ n = e 1 2 ( u − 2 ) + e u − 2 + t | x | 2 on ∂ D × ( 0 , T ) u ( x , 0 ) = 1 + | x | 2 in D ¯
其中 D = { x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) | | x | 2 = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 < 1 } 是 R 3 上的单位球，我们有
h ( u ) = u + e u , a ( u , t ) = e − u − t , b ( x ) = e | x | 2 , g ( t ) = t , f ( u ) = 2 e u + 2
k ( x , u , t ) = e 1 2 ( u − 2 ) + e u − 2 + t | x | 2
u 0 ( x ) = 1 + | x | 2
假设
s = | x | 2
可知 0 < s < 1 且
β = min D ∇ { a ( u 0 , 0 ) b ( x ) ∇ u 0 ( x ) } = ∇ { e − | x | 2 e | x | 2 ∇ ( 1 + | x | 2 ) } = ∇ { ∇ ( 1 + s ) } = 0
根据定理2.1可知， u 一定在有限时间 T 爆破，并且有：
T ≤ η − 1 ( ∫ 2 + ∞ h ′ ( s ) f ( s ) d s ) = η − 1 ( 2 ) = 2
u ( x , t ) ≤ P − 1 ( ( T − t ) 2 2 )
这里：
P ( z ) = ∫ t s h ′ ( t ) f ( t ) d t = ∫ t s 1 2 d t , ∀ z ≥ M 0
其中 P − 1 是 P 的反函数。
中央高校理科创新基金项目(No. A0920502051619-113)。
李颖韬,潘志刚. 一类具有外部扩散及非线性边界流问题解的爆破 A Class of Blow-Up Solution with External Diffusion and Nonlinear Boundary Flow Problems[J]. 应用数学进展, 2017, 06(08): 975-984. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.68117