EMD方法依据输入信号自身的特点，自适应地将信号分解成若干个本征模态函数(intrinsic mode function, IMF)之和。每个IMF分量必须满足以下两个条件：1) 在整个时间范围内，局部极值点和过零点的数目必须相等，或最多相差一个；2) 在任意时刻点，局部最大值的包络(上包络线)和局部最小值的包络(下包络线)的平均值必须为零 [ 5 ] 。

EMD方法实际上是一种循环迭代算法，该算法的具体过程如下：

1) 分别找出原数据序列 X ( t ) 所有的极大值点和极小值点，并用三次样条插值函数拟合形成原数据的上包络线和下包络线。

2) 计算上包络线和下包络线的均值，记作 m 1 ( t ) ，用原数据序列 X ( t ) 减去该均值，即可得到一个去掉低频的新数据序列 h 1 ( t ) ：

X ( t ) − m 1 ( t ) = h 1 (t)

3) 由原数据序列减去均值后得到的新数据序列 h 1 ( t ) ，若满足IMF的条件，则作为第一个IMF分量序列，否则，需要对它重复进行上述处理过程。重复进行上述处理过程k次后，直到 h 1 ( t ) 符合IMF的定义要求，所得到的均值趋于零为止，这样就得到了第1个IMF分量 c 1 ( t ) ，它代表信号 X ( t ) 中最高频率的分量：

h 1 ( k − 1 ) ( t ) − m 1 k ( t ) = h 1 k ( t )   c 1 ( t ) = h 1 k (t)

4) 将 c 1 ( t ) 从 X ( t ) 中分离出来，即得到一个去掉高频分量的差值信号 r 1 ( t ) ，即有：

r 1 ( t ) = X ( t ) − c 1 (t)

将 r 1 ( t ) 作为原始数据，重复步骤(1)~(3)，即可得到第二个IMF分量 c 2 ( t ) ，重复n次，得到n个IMF分量，则有：

{ r 1 ( t ) − c 2 ( t ) = r 2 ( t )                                                                                 ⋮ r n − 1 ( t ) − c n ( t ) = r n (t)

当 r n ( t ) 满足给定的终止条件(通常使 r n ( t ) 成为一个单调函数)时，循环结束。原始信号 X ( t ) 经过n次分解后可以写成以下表达式：

X ( t ) = ∑ j = 1 n c j ( t ) + r n (t)

其中， r n ( t ) 为残余分量，代表信号的平均趋势，而 c 1 ( t ) ,     c 2 ( t ) ,   ⋯ ,     c n ( t ) 分别为包含了信号不同频率的IMF分量。

EEMD方法、CEEMD方法以及CEEMDAN方法如图1所示。

为了减少模态中所包含的噪声总量，文献 [ 7 ] 进一步提出了ICEEMDAN方法，该方法能够避免杂散模态的产生。定义 E j ( ⋅ ) 为由EMD分解产生的第j个模态分量， M ( ⋅ ) 为信号的局部均值。该算法的具体分解过程如下：

1) 对信号 X ( i ) ( t )   = X ( t ) +       β 0 E 1 ( w ( i ) ( t ) ) 进行I次EMD分解，计算出局部均值，得到第一个剩余分量，即 r 1 ( t ) = 〈 M ( X ( i ) ( t ) ) 〉 。其中， β 0 = ε 0 s t d ( X ( t ) ) / s t d ( E 1 ( w ( i ) ( t ) ) ) 。

2) 当 k = 1 时，计算出第一个固有模态分量为 I M F 1 ¯ ( t ) = X ( t ) − r 1 ( t ) 。

图1. EMD以及相关方法

3) 对信号 r 1 ( t ) + β 1 E 2 ( w ( i ) ( t ) ) 进行I次EMD分解，计算出局部均值，得到第二个剩余分量，即 r 2 ( t ) = 〈 M ( r 1 ( t ) + β 1 E 2 ( w ( i ) ( t ) ) ) 〉 。则第二个固有模态分量为

I M F 2 ¯ ( t ) = r 1 ( t ) − r 2 ( t ) = r 1 ( t ) − 〈 M ( r 1 ( t ) + β 1 E 2 ( w ( i ) ( t ) ) ) 〉

4) 计算出第k个剩余分量和第k个固有模态分量 ( k = 3 , ⋯ , K ) ：

r k ( t ) = 〈 M ( r k − 1 ( t ) + β k − 1 E k ( w ( i ) ( t ) ) ) 〉

I M F k ¯ ( t ) = r k − 1 ( t ) − r k (t)

5) 重复步骤(4)，计算出下一个k。直到获得的残余分量不能被EMD进一步分解，即残余分量为一个单调函数为止。

曲率是指在一条曲线或不同曲线上不同点的弯曲程度 [ 8 ] 。曲率的倒数就是曲率半径，即 R = 1 k 。设曲线方程为 y = f ( x ) ，且 f ( x ) 具有二阶导数，则曲率k为：

k = | y ″ ( 1 + y ′ 2 ) 3 2 | (1)

Frechet距离(Frechet Distance, FD) [ 9 ] 是法国数学家Maurice Rene Frechet在1906年提出的一种空间路径的相似性描述，指利用两个目标的路径以及两条曲线上所有离散点的距离，量化两条曲线的相似度。这种方法直观，而且与Hausdorff距离等其他相似度量化方法相比，其可以更好地刻画折线曲线的相似度。设定t是时间点，该时刻，曲线a上的采样点为 A ( α ( t ) ) ，曲线B上采样点为 B ( β ( t ) ) 。如果使用欧氏距离，则容易定义 d ( A ( α ( t ) ) , B ( β ( t ) ) ) = ‖ A ( α ( t ) ) − B ( β ( t ) ) ‖ 。在每次采样中t离散的遍历区间 [ 0 , 1 ] ，得到该种采样下的最大距离 max t ∈ [ 0 , 1 ] { d ( A ( α ( t ) ) , B ( β ( t ) ) ) } 。Frechet距离就是使该最大距离最小化的采样方式下的值。在离散方式下，我们不可能得到真实的Frechet距离，而可以无限的趋近。离散Frechet距离 F ( A , B ) 定义为：

F ( A , B ) = lim n → ∞ , max | t k − t k + 1 | → 0 F ˜ n ( A , B )                                                                                     = lim n → ∞ , max | t k − t k + 1 | → 0 inf   max α , β       t ∈ [ 0 , 1 ] { d n ( A ( α ( t ) ) , B ( β ( t ) ) ) } (2)

对于信号 y ( t ) = x ( t ) + n ( t ) ， x ( t ) 为原信号， n ( t ) 为噪声信号。信号 y ( t ) 可以被分解为n个本征模态分量 ( I M F 1 , I M F 2 , ⋯ , I M F n ) 和一个残余分量，所有的本征模态分量按照从高频到低频依次排列。一般情况下，前几个IMF分量为噪声，后几个IMF为原信号，因此信号 y ( t ) 可以表示为：

y ( t ) = ∑ i = 1 k − 1 I M F i + ∑ i = k n I M F i + r n ( t ) (3)

由于所有的本征模态分量都有它固有的特性，所以每个本征模态分量的曲线曲率均不相同。为了简化，将本征模态分量的曲率记为Cur_IMFs。原信号的曲率波形与信号 y ( t ) 的曲率波形相似，而噪声信号的曲率波形与信号 y ( t ) 的曲率波形不同。因此，可以通过本征模态分量的曲率波形的突变来区分噪声信号和原信号。计算出各个本征模态分量的曲率曲线与信号 y ( t ) 曲率曲线的离散Frechet距离，则可以找出重构分量的模态序号k值。具体步骤如下：

1) 运用EMD、EEMD、CEEMD、CEEMDAN和ICEEMDAN 5种方法分解信号 y ( t ) ，得到本征模态分量。

2) 分别计算出信号 y ( t ) 和每个本征模态分量的曲率。

3) 计算信号 y ( t ) 的曲率和每个本征模态分量曲率之间的离散Frechet距离。

4) 取离散Frechet距离的最小值所对应的本征模态分量的序号为k值。

5) 信号 y ( t ) 可以重构为：

y ( t ) = ∑ i = k n I M F i + r n ( t ) (4)