本文遵从Brock and Hommes (1997, 1998)的分析框架，考虑一个带有一种风险资产和一种无风险资产的金融市场模型，假定风险资产的弹性总收益为R = 1 + r/K，r表示无风险资产的年利率，K表示年交易频次，一般地，K = 1, 12, 52, 250。本文以金融市场的日收盘价为研究对象，所以K = 250。

记 p t 为t时点风险资产的每股价格(不包括红利)， { D t } 为随机分红过程，则t + 1时h类投资者财富为

W h , t + 1 = R W h , t + [ p t + 1 + D t + 1 − R P t ] z h , t , (2.1)

这里， W h , t 和 z h , t 分别表示h类投资者t时点的财富和风险资产持仓量， E h , t 和 V h , t 分别表示基于t时点信息集下h类投资者t + 1时点的条件期望和方差，另 R t + 1 表示t + 1时点的每股超额收益，即

R t + 1 = P t + 1 + D t + 1 − R P t . (2.2)

因此2.1和2.2式可以写为

E h , t ( W t + 1 ) = R W t + E h , t ( R t + 1 ) z h , t ,     V h , t ( W t + 1 ) = z h , t 2 V h , t ( R t + 1 ) . (2.3)

假定市场中h类交易者有相同的风险厌恶效用函数为 U h ( W ) = − e − a h W ，其中 a h 为h类交易者的风险厌恶系数，依据期望效用最大化，h类投资者对风险资产的需求总和为：

z h , t = E h , t ( R t + 1 ) a h V h , t ( R t + 1 ) . (2.4)

考虑到投资者的异质性和信息的不对称性，我们假定市场中仅存在两类交易者，基本面者和图表分析者。假定基本面者和图表分析者的市场分数分别为 n 1 和 n 2 ，风险厌恶系数为 a 1 和 a 2 ，令 m = n 1 − n 2 ∈ [ − 1 , 1 ] 。假定外部供应为零，依据式(2.4)，投资者的总额外需求为

z e , t ≡ n 1 z 1 , t + n 2 z 2 , t = 1 + m 2 E 1 , t [ R t + 1 ] a 1 V 1 , t [ R t + 1 ] + 1 − m 2 E 2 , t [ R t + 1 ] a 2 V 2 , t [ R t + 1 ] . (2.5)

本文运用的是做市商机制，令 μ 表示做市商的价格调整速度，为了表示突来的市场信息或者噪声者的投机行为，我们引入噪声需求 δ t ˜ ， δ t ˜ ∼ N ( 0 , σ δ 2 ) ，基于上述假设，市场价格如下：

P t + 1 = P t + μ z e , t + δ t ˜ .

结合(2.5)式，整理为

P t + 1 = P t + μ 2 [ ( 1 + m ) E 1 , t [ R t + 1 ] a 1 V 1 , t [ R t + 1 ] + ( 1 − m ) E 2 , t [ R t + 1 ] a 2 V 2 , t [ R t + 1 ] ] + δ t ˜ . (2.6)

定义 F t = { P t , P t − 1 , ⋯ , D t , D t − 1 , ⋯ } 为t时点的一般信息集，我们假定，除一般信息集之外，基本面者对风险资产基础价值 P t ∗ 有额外信息，假设其服从平稳随机游走过程

P t + 1 ∗ = P t ∗ [ 1 + σ ε ε t ˜ ] ,     ε t ˜ ∼ N ( 0 , 1 ) ,   σ ε ≥ 0 ,   P 0 ∗ = P ¯ > 0. (2.7)

ε t ˜ 与噪声需求 δ t ˜ 相互独立，这种模式设定确保厚尾和波动聚集现象不是由基础价值过程产生的。因此，在后面的讨论中，任何风险资产自相关结构的出现将是由交易过程自身产生的。

对基本面者来说，因为他们也意识到了非基本面交易者的存在，例如下面要讨论的趋势追随者，所以他们认为即使股票价格短期会偏离基础价值，但长期来看，最终会收敛到基础价值。我们假定基本面者的条件均值和方差是

E 1 , t ( P t + 1 ) = P t + α ( P t + 1 ∗ − P t ) ,     V 1 , t ( P t + 1 ) = σ 1 2 . (2.8)

这里 σ 1 2 是恒定不变的，参数 α ∈ [ 0 , 1 ] 表示价格向基础价值回归的速度，衡量了基本面者对基础价值的依赖程度。等式表明，基本面者的预期价格是基础价值和最新市场价格的加权平均。

不同于基本面者，趋势追随者是技术型交易者，他们相信未来价格可由不同的模式或者历史价格形成的趋势预测得到，假定趋势追随者通过长期样本平均推断最新价格变化，并且调整他们的方差估计，确切来说，假定他们的条件均值和方差是

E 2 , t ( P t + 1 ) = P t + γ ( P t − u t ) ,     V 2 , t ( P t + 1 ) = σ 1 2 + b 2 V t . (2.9)

这里 γ ， b 2 ≥ 0 是常数， u t 和 v t 是样本均值和方差，他们分别服从某些认知过程，参数 γ 是外推率，参数 γ 的大小反映了趋势追随者外推的强弱，系数 b 2 表示样本方差对条件方差的影响。有多种认知过程可以估计样本均值 u t 和样本方差 v t ，本文假设

u t = δ u t − 1 + ( 1 − δ ) p t , (2.10)

v t = δ v t − 1 + δ ( 1 − δ ) ( P t − u t − 1 ) 2 , (2.11)

δ ∈ [ 0 , 1 ] 是常数，当记忆滞后长度趋于无穷大时，样本期望和方差是个几何衰减受限过程。从根本上说，几何衰减概率过程 ( 1 − δ ) { 1 , δ , δ 2 , ⋯ } 与历史价格 { P t , P t − 1 , P t − 2 , ⋯ } 是相关联的。参数 δ 是几何衰减率。选择这个过程有两点原因：第一，估计样本均值和方差时，交易者倾向于对当前价格附以很大权重，对以前或者更早的价格附以很小的权重；第二，我们相信几何衰减过程可能有确定的自相关结构，甚至是在真实金融市场观察到的长记忆特征，另外，它也有数学处理的优势。

为了简化计算，我们假设随机红利过程 D t 服从正态分布 D t ∼ N ( D ¯ , σ D 2 ) ，预测长期基础价格为 P ¯ = D ¯ / ( R − 1 ) ，价格和红利的无条件方差联系为 σ D 2 = q σ 1 2 ，基于式(2.8)~(2.9)，有

E 1 , t ( R t + 1 ) = P t + α ( P t + 1 ∗ − P t ) + D ¯ − R P t = α ( P t + 1 ∗ − P t ) − ( R − 1 ) ( P t − P ¯ ) ,

V 1 , t ( R t + 1 ) = ( 1 + q ) σ 1 2 .

因此，基本面者的最优需求为

z 1 , t = 1 a 1 ( 1 + q ) σ 1 2 [ α ( P t + 1 ∗ − P t ) − ( R − 1 ) ( P t − P ¯ ) ] . (2.12)

特别的，当 P t ∗ = P ¯ ，

z 1 , t = ( α + R − 1 ) ( P ¯ − P t ) a 1 ( 1 + q ) σ 1 2 . (2.13)

同样，基于(2.9)式(应用 D ¯ = ( R − 1 ) P ¯ )，有

E 2 , t ( R t + 1 ) = P t + γ ( P t − u t ) + D ¯ − R P t = γ ( P t − u t ) − ( R − 1 ) ( P t − P ¯ ) ,

V 2 , t ( R t + 1 ) = σ 1 2 ( 1 + q + b v t ) ,

这里， b = b 2 / σ 1 2 。因此，趋势追随者的最优需求为

z 2 , t = γ ( P t − u t ) − ( R − 1 ) ( P t − P ¯ ) a 2 σ 1 2 ( 1 + q + b v t ) . (2.14)

将式(2.12)和(2.14)带入式(2.6)，我们得到在做市商机制下的价格动力系统，一个4维随机差分系统(SDS)：

{ P t + 1 = P t + μ 2 [ 1 + m a 1 ( 1 + q ) σ 1 2 [ α ( P t + 1 ∗ − P t ) − ( R − 1 ) ( P t − P ¯ ) ] + ( 1 − m ) γ ( P t − u t ) − ( R − 1 ) ( P t − P ¯ ) a 2 σ 1 2 ( 1 + q + b v t ) ] + δ t ˜ , u t = δ u t + 1 + ( 1 − δ ) P t , v t = δ v t − 1 + δ ( 1 − δ ) ( P t − u t − 1 ) 2 , P t + 1 ∗ = P t ∗ [ 1 + σ ε ε t ˜ ] . (2.15)

本文以深证综指(399106)日收盘价为基准反映真实金融市场特征，数据来源为深圳财富趋势科技股份有限公司通达信软件，选取上证指数日收盘价作为数据集，共5118个观测值，样本区间为1996.05.10~2017.06.20，记 P t ( t = 1 , 2 , ⋯ , 5118 ) 为t时点的价格指数， r t = ln P t − ln P t − 1 为收益率。

金融时间序列常表现出不稳定的特点，Mandelbrot (1983)指出：“大的波动倾向于伴随着大的波动(或正向或反向)，而小的波动倾向于伴随着小的波动。”这种现象后来被称为波动的聚集效应，在股市中有为常见。对于股价反向冲击所产生的波动将大于等量正向冲击所产生的波动，这就是所谓的股市波动的杠杆效应。一般认为，当等量的正负冲击对股市波动产生不同的影响时，就称为股市波动的非对称性。

我们分别画出深证综指的收益率、平方收益和绝对收益的自相关系数图，结果如图2所示，从图中我们发现，收益的自相关系数不显著，而绝对收益和平方收益的自相关系数显著，衰减缓慢且绝对收益自相关系数大于平方收益自相关系数，自相关系数的这种特征表明波动具有长记忆性或者说是幂率行为特征。

除了从图形上初步判断r_t、 r t 2 和|r_t|的自相关结构外，我们也可以构造模型来估计自相关衰减率，Geweke and Poter-Hudak (1983)提出基于对数谱坐标回归，用半参数法估计分数差分参数d，其中谱坐标为 ω j = 2 π   j / T ( j = 1 , 2 , ⋯ , m ) ，GPH估计法如下所示：

log I ( ω j ) = c − d log ( 4 sin 2 ( ω j / 2 ) ) + v j ,

其中假设 v j ∼ N ( 0 , π 2 6 ) 。如果纵坐标 m = g ( T ) 满足 lim T → ∞ g ( T ) = ∞ ， lim T → ∞ g ( T ) / T = 0 且

表2. 深证综指GARCH(1,1)参数估计

表3. 深证成指TGARCH模型参数估计

图2. 深证综指r_t、 r t 2 、|r_t|自相关图

lim T → ∞ ( log ( T ) 2 ) / g ( T ) = 0 ，则OLS估计满足以下极限分布：

m ( d ^ G P H − d ) → d N ( 0 , π 2 24 ) .

这里我们分别估计 m = 50 , 100 , 150 , 200 时的 d 值，结果如表4所示。

我们发现收益率序列的d值在任意显著性水平下均不显著，而绝对收益和平方收益的 d 值在任意显著性水平下均显著，这说明平方收益和绝对值收益具有幂率行为特征，而且绝对收益率的持续性比平方收益率强。

以上主要讨论验证了真实金融市场收益率的一些特征，下面我们对应讨论模型的有效性。基于Monte-Carlo模拟统计检验，模拟独立运行1000次，每次生成4000个观测值。根据He and Li (2015)，参数选取如下所示：