本课题组经过多年研究，确定该限滑差速器设计的传动比函数为

i 21 = z 1 z 2 ( 1 + c cos 3 θ 1 ) (2)

式中 z 1 为非圆齿轮齿数， z 2 为面齿轮齿数， c 为小于1且大于0的常数，其值直接决定差速器的紧锁系数。合并两个方程式，即得

i 21 = d θ 2 d θ 1 = ω 2 ω 1 = r ( θ 1 ) R = z 1 z 2 ( 1 + c cos 3 θ 1 ) (3)

非圆齿轮节曲线的极坐标方程也可求出，为

r ( φ ) = R z 1 z 2 ( 1 + c cos 3 φ ) (4)

式中 φ 为非圆齿轮节曲线的极角，极角与转角大小相等，方向相反， r ( φ ) 为非圆齿轮节曲线的极径。

根据上图所示， A 点为非圆齿轮节曲线上的一点， A ′ 点为面齿轮节曲线上与 A 点相对应的点。当非圆齿轮转过角度为 θ 1 、面齿轮转过角度为 θ 2 时， A 点与 A ′ 点重合。

非圆齿轮的动坐标系 s 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 到面齿轮动坐标系 s 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 的变换矩阵为

M S 2 , S 1 = [ sin θ 1 sin θ 2 − cos θ 1 sin θ 2 cos θ 2 − R cos θ 2 − cos θ 2 sin θ 1 cos θ 1 cos θ 2 sin θ 2 − R sin θ 2 − cos θ 1 − sin θ 1 0 r ( 0 ) 0 0 0 1 ] (5)

根据齿轮啮合原理，在非圆齿轮动坐标系中的节曲线上 A 点经过坐标变换，就可以得到面齿轮动坐标系中的节曲线上对应的 A ′ 点。 A 点在 s 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 坐标系下坐标为 ( r ( θ 1 ) cos θ 1 , r ( θ 1 ) sin θ 1 , 0 ) ，因此 A ′ 在 s 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 坐标系下坐标为

[ x 2 y 2 z 2 1 ] = M s 2 , s 1 [ r ( θ 1 ) cos θ 1 r ( θ 1 ) sin θ 1 0 1 ] = [ − R cos θ 2 − R sin θ 2 r ( 0 ) − r ( θ 1 ) 1 ] (6)

圆齿轮的齿廓是在基圆的基础上进行设计的渐开线，每个齿轮的齿廓形状都是完全相同的。非圆齿轮没有基圆，其齿形是根据齿形的渐屈线求出，其不同齿的齿廓以及同一个齿的左右齿廓都不尽相同。本文基于齿形法线法求解非圆齿轮的解析方程，如图2所示。

如图所示，令直角坐标系的X轴与极坐标系的极轴重合。图中 n 为齿形上任一点， a 为齿形上 n 点处的法线与节曲线的交点， φ 为点 a 的极角， t 为节曲线上 a 处的正向切线， r φ 为 a 点的向径， μ 为 r φ 与矢量 t 的夹角， α n 为 t 与 a n 的夹角， a 0 为齿形与节曲线交点， r f 为齿形上任意一点 n 的向径。从图中可以看出齿形上任一点 n 的向量方程式为

r f = r φ + a n (7)

a n = S cos α n ，其中 S 为 a 0 点与 a 点之间的弧长。令 a 点处节曲线切线正方向与X轴正向夹角为 β ，即 β = φ + μ ， β 可通过 a 点的斜率求出

{ β = π + arctan d y d x , φ ≤ π β = 2 π + arctan d y d x , π ≤ φ ≤ 2 π (8)

d y d x = d ( r sin α ) d α / d ( r cos φ ) d φ = − 3 c sin 3 φ sin φ + ( 1 + c cos 3 φ ) cos φ − 3 c sin 3 φ cos φ − ( 1 + c cos 3 φ ) sin φ (9)

综上所述，非圆齿轮齿形的方程式为

图2. 求解非圆齿轮齿廓示意图

左齿形： { x l = r φ cos φ ± S cos α n cos ( β − α n ) y l = r φ sin φ ± S cos α n sin ( β − α n ) (10)

右齿形： { x r = r φ cos φ ∓ S cos α n cos ( β + α n ) y r = r φ sin φ ∓ S cos α n sin ( β + α n ) (11)

当齿形上的点在节曲线上段时，取上面符号；当齿形上的点在节曲线下段时，取下面符号。

1) 在SolidWorks中依次点击插入—曲线—通过XYZ点的曲线，将求解的坐标值导入，生成相应的曲线。

2) 选取前视基准面正视，然后点击绘制草图，选择转换实体引用，将导入的曲线转换为草图中的实体。

3) 选取样条曲线命令，将齿根底部用圆滑过渡的曲线与齿根曲线进行衔接，然后选取裁剪实体命令，将齿廓、齿顶曲线、齿根曲线的多余部分裁剪掉，得到非圆齿轮的二维图。如图3所示，浅蓝色部分为被裁剪部分，深蓝色和黑色为实体部分。

4) 隐藏导入的曲线，对实体部分进行拉伸，然后进行镜像，得到非圆齿轮的三分之一部分，如图4所示。

5) 新建一个装配体，将三个三分之一齿轮通过配合关系组合成一个完整的非圆齿轮，如图5所示。

SolidWorks现有功能无法满足对面齿轮进行建模，需要编辑宏指令，实现非圆齿轮和面齿轮的连续布尔操作，可以模拟刀具加工齿轮，最终包络出面齿轮。

图3. 非圆齿轮齿廓二维图

图4. 非圆柱齿轮部分三维模型图

图5. 非圆齿轮三维模型图

刀具的模型即非圆柱齿轮模型，可以直接导入装配体使用。根据装配关系，将非圆齿轮和非圆面齿轮毛坯装配在一起，如图6所示。

根据两齿轮节曲线纯滚动的运动关系，加工过程中令非圆齿轮刀具绕其回转中心转动一个角度 d θ 1 ，非圆面齿轮毛坯相应转过的 d θ 2 角度。转动角度关系根据传动比函数求得

θ 2 = ∫ 0 θ 1 z 1 / z 2 [ 1 + c cos 3 θ 1 ] d θ 1 = z 1 / z 2 ( θ 1 + c / 3 sin 3 θ 1 ) (12)

图6. 非圆齿轮和毛坯装配图

在该步骤完成后，进行布尔减操作，实现刀具的切削毛坯的第一步过程。将上述过程采用宏录制记录下来，即自动生成刀具切削毛坯的编码，然后根据传动比函数，对编码中的相关参数指令进行修改，然后再加入循环指令，可以实现的刀具和毛坯的连续布尔减运算，最终模拟加工出非圆面齿轮，如图7所示。

在ADAMS里添加非圆柱齿轮一个转动驱动，设定角速度 ω 1 = 3600 ，输入 θ 1 = 3600 t 。根据传动比关系可以求得理论的非圆面齿轮角速度为

ω 2 = ω 1 i 21 = ω 1 z 1 z 2 ( 1 + c cos 3 θ 1 ) = 2700 ( 1 + 0.1 cos 60 π t ) (13)

设置仿真终止持续为0.5S，步数为5000，开始仿真，得到仿真曲线如图9所示。

将仿真后得到的A点的角速度曲线导出，然后将该仿真曲线与理论曲线放在MATLAB同一窗口下进行比较，如图10所示。其中红色虚线表示仿真值，蓝色实线表示理论值。

图7. 非圆面齿轮三维模型图

图8. 非圆面齿轮副模型装配图

将刚才定义的非圆柱齿轮的转动驱动的角速度参数改为 ω 1 = 3600 t ，输入 θ 1 = 1800 t 2 。根据传动比关系求得理论的非圆面齿轮角速度为

ω 2 = ω 1 i 21 = ω 1 z 1 z 2 ( 1 + c cos 3 θ 1 ) = 2700 t ( 1 + 0.1 cos 10 π t 2 ) (14)

设置仿真终止持续为0.5S，步数为5000，开始仿真，得到仿真曲线如图11所示。

图9. A点角速度仿真曲线

图10. A点角速度理论与仿真曲线

将仿真后得到的A点的角速度曲线导出，然后将该仿真曲线与理论曲线放在MATLAB同一窗口下进行比较，如图12所示。其中红色虚线表示仿真值，蓝色实线表示理论值。

当非圆柱齿轮做匀速转动时，A点角速度的理论值曲线与仿真值曲线的变化规律一致，极值点和极值也基本吻合；当非圆柱齿轮做加速运动时，A点角速度的仿真值曲线有几处波动，但与理论值曲线的

图11. A点角速度仿真曲线

图12. A点角速度理论与仿真曲线

变化规律基本一致，因此验证了该模型的有效性，也证明了该齿轮设计理论和设计思想的正确性。

分析仿真曲线出现波动、产生误差的原因为：

1) 齿轮在开始啮合和离开啮合时出现冲击，导致速度变化异常。

2) 非圆面齿轮是由非圆柱齿轮包络生成，面齿轮表面不平滑，导致出现仿真曲线的波峰处跟理论值偏差较大。

3) ADAMS处理接触力接触的问题时算法计算不连续。