AAM Advances in Applied Mathematics 2324-7991 Scientific Research Publishing 10.12677/AAM.2017.63048 AAM-20812 AAM20170300000_46707637.pdf 数学与物理 二阶半线性中立型微分方程的振动性 Oscillation of Second-Order Semilinear Differential Equations 苏 新晓 2 1 戴 丽娜 2 1 伍 思敏 2 * 林 全文 2 1 广东石油化工学院理学院数学系，广东 茂名 null * E-mail: 520wsmsam@163.com(伍思) ; 12 05 2017 06 03 417 422 © Copyright 2014 by authors and Scientific Research Publishing Inc. 2014 This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

利用广义Riccati变换技巧，本文对二阶半线性中立型微分方程 做进一步的研究，给出了新的振动准则，改进了部分文献中的结果，为说明主要结果的应用给出了例子。 By generalized Riccati transformation, this paper mainly studies oscillation of a class of second- order semilinear equation of the form . A new oscillation criterion is given, and the results of some references are improved. The results are illustrated and some examples are given.

 半线性，二阶微分方程，广义Riccati变换, Semilinear Second-Order Differential Equation Generalized Riccati Transformation 二阶半线性中立型微分方程的振动性<sup> </sup>

苏新晓，戴丽娜，伍思敏*，林全文

广东石油化工学院理学院数学系，广东 茂名

收稿日期：2017年5月11日；录用日期：2017年5月28日；发布日期：2017年5月31日

 摘 要

利用广义Riccati变换技巧，本文对二阶半线性中立型微分方程做进一步的研究，给出了新的振动准则，改进了部分文献中的结果，为说明主要结果的应用给出了例子。

关键词 :半线性，二阶微分方程，广义Riccati变换

Copyright © 2017 by authors and beplay安卓登录

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

 1. 引言

考虑二阶半线性中立型微分方程

其中 ， ，对每一 ，都有 ， ，按照习惯，(E)的解称为振动的，如果它有任意大的零点；否则称它为非振动的。

[ 1 ] - [ 8 ] 对二阶半线性时滞性微分方程

建立了一系列的振动法则，但是，所得结果不够完善， [ 9 ] 利用Riccati变换经典不等式

，对方程(E0)建立了新的振动准则，它改进了 [ 2 ] 和 [ 7 ] 中的结果。

定理A [ 9 ] 设 是两个奇数的商， ，存在函数 满足

和

其中 ， ，

; , .

则方程(E0)振动。

我们注意到 [ 9 ] 中限制 是两个奇数的商，在 [ 9 ] 工作的启发下，我们在本文中利用Riccati变换技巧，建立了方程(E)的振动准则，它改进了文献中的结果，为说明主要结果的应用给出了例子。

 2. 主要结果

使用记号：对 ，令

, , ,

, ,

下面我们来建立(E)当 时的振动准则

定理2.1设 ，若存在函数 满足

且

则方程(E)振动。

证：设方程有一个非振动解 ，不失一般性，设存在 ，使 ，对所有 都成立，此时 ，由方程(E)可得

即 在 上是减函数，因此 是不变号的，设存在 ，分两种情况来展开讨论：

(i) 假设 ， 。

证明过程与文 [ 7 ] 的定理2.1证明类似，得到条件(2.1)，在此就不多做讨论了。

(ii) 假设 ， 。此时，(2.3)式变成

于是对于 有 ，即

在 上对(2.4)式中的s进行积分，得

令 ，得

于是得到 ，则 ，即有

即

由方程(E)和(2.6)式得

即

考虑广义Riccati变换

(2.8)式对t进行求导，并由(2.7)知

又由(2.5)得： ，所以

以 乘(2.9)式两边，从 到 关于 积分，有

利用 ，上不等式变为

即

显然(2.10)式与条件(2.2)矛盾，因此，方程(E)振动。

 3. 应用

例：考虑二阶微分方程

其中，我们取 ，

显然， ， ，

,

于是，

,

显然当 时，方程满足条件(2.1)和(2.2)，故由定理2.1知方程(3.1)振动。

 基金项目

国家自然科学基金(11271380)、茂名市科技局软科学项目(20140340；2015038)。

 文章引用

苏新晓,戴丽娜,伍思敏,林全文. 二阶半线性中立型微分方程的振动性Oscillation of Second-Order Semilinear Differential Equations[J]. 应用数学进展, 2017, 06(03): 417-422. http://dx.doi.org/10.12677/AAM.2017.63048

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